分類討論思想在高中數學解題中的應用

楊利剛

一、認識分類討論

在數學解題時，會遇到這樣一種情形，當求解到某一步之后，不能再以統一的方法、統一的規則繼續下去了，因為這時被研究的問題包含了多種情況，且無法一并解決，這就需要在條件所給出的總區域內，正確劃分若干個子區域，然后分別在各個子區域內進行求解，這里體現的是由大化小，由整體化為部分，由一般化為特殊的解決問題的方法，其研究的基本方向是“分”，但分類解決問題之后，還必須把它們整合在一起，這種“合—分—合”的解決問題的過程，就體現了分類討論（整合）的思想方法．

二、引發分類討論的因素

數學解題中，引發分類討論的因素較多，常見的情形諸如：

（1）由數學概念及特性，如絕對值的概念；直線斜率的概念；等比數列求和時應考慮公比q=1 及q≠1 等；

（2）由教材中的數學規定，如空集是任何集合的子集；零向量與任意向量共線等；

（3）由函數的性質，如指數函數、對數函數的單調性，需要考慮其底數a 是a>1 還是0

（4）涉及圖形的形狀、位置不能確定，需要對可能的情形作出分類討論；

（5）含有參數的數學問題，需要對參數的可能取值情況，進行分類探討解決，等等．

三、分類討論解題運用的注意點

在運用分類討論思想解題思考時，應該注意以下幾個方面：（1）明確引起分類的原因；（2）掌握準確分類的方法；（3）分類的標準，做到不重復、不遺漏；（4）注意分類結論的整合．

分類討論，作為高中數學重要的思想方法，是高考重點考查內容之一.縱觀近年的數學高考，無論是選擇題、填空題、還是解答題，都非常重視對分類討論思想的考查.為了更好地掌握運用分類討論思想，下面就它在數學解題中的應用舉例分析，供同學們參考．

四、分類討論在數學解題中的運用舉例

上篇：以概念性質，數學規定、位置關系、含有參數、運算需要等為分類依據，確定分類標準，先分而擊之，再統而攝之，正確解答問題．

（1）由數學概念來明確分類標準

按照數學的概念、定義，實施邏輯劃分，解答問題時按部就班地進行分類討論．

例如：分段函數的概念，絕對值的定義：

|a|=a（a>0）

0（a=0）

-a（a<0） ．

例1（2022年新高考Ⅱ卷）曲線y=ln｜x｜ 過坐標原點的兩條切線的方程是______，______．

解析（1）當x>0 時，y=lnx .設切點為（x0，lnx0） ，由y′=1x ，所以y′｜x=x0=1x0 ，所以切線方程為：y-lnx0=1x0（x-x0） ，又切線過坐標原點，所以-lnx0=1x0（-x0） ，得x0=e ，所求切線方程為y-1=1e（x-e） ，即y=1ex.

（2）當x<0 時，y=ln（-x） ，設切點為（x1，ln（-x1）） ，由y′=1x ，所以y′｜x=x1=1x1 ，所以切線方程為y-ln（-x1）=1x1（x-x1） ，又切線過坐標原點，所以-ln（-x1）=1x1（-x1） ，得x1=-e ，所以切線方程為y-1=-1e（x+e） ，即y=-1ex ．

綜上，所求的切線方程為：y=1ex ，y=-1ex ．

點評求解切線的斜率，需要涉及求導，而當前的含絕對值形式無法直接求導，利用絕對值的概念進行去絕對值轉化，使求導成為可能，將問題解決．

例2（2021年新高考1卷）函數f（x）=｜2x-1｜-2lnx 的最小值為______．

解析由題意知函數f（x） 的定義域是（0，+∞） ，

所以（1）當0

（2）當x>12 時，f（x）=2x-1-2lnx ，由f（x）′=2-2x，得121 時，f（x）′>0 ，此時f（x） 單調遞增，又函數f（x） 的圖像不間斷，綜上有：f（x） 在（0，1］ 上單調遞減；在（1，+∞） 上單調遞增，因此，f（x）≥f（1）=1 ，所以所求函數的最小值為1 ．

點評去絕對值，分別考慮函數在0，12 及（12，+∞） 上的單調性，再進行整合，可以判斷函數在定義域上的單調性，即f（x） 在（0，1］ 上單調遞減；在（1，+∞） 上單調遞增，從而將結果得出，特別是得到分類結論后的整合，可以正確反映函數在定義域上單調性的全貌．

例3已知函數

f（x）=

（a-3）x+5，x≤1

2ax， x>1是（-∞，+∞） 是減函數，那么a的取值范圍是（）

A.（0，3） B.（0，3］

C.（0，2） D.（0，2］

解析由于函數

f（x）=（a-3）x+5，x≤x

2ax， x>1是（-∞，+∞） 是減函數，則當x≤1時，是減函數，則a-3<0，……①

當x>1時，是減函數，則2a<0，……②

由單調遞減的定義可得，（a-3）×1+5≥2a，……③

由①②③，解得0

點評分段函數首先分段處理，① 使函數在區間（-∞，1］ 上是單調遞減；② 使得函數在區間（1，+∞） 上單調遞減，然后再整合，要使函數在（-∞，+∞）上單調遞減，還必須滿足③．

（2）由教材中的數學規定引發分類討論

教材中特別的數學規定，是為了知識結論體系的完整而作出的，因此在解題思考中，除

了一般性的正常思考外，不能遺漏特殊的情形，才能保證解題的嚴密性．

例如：空集是任意集合的子集；零向量與任意向量平行；零向量與任一向量的數量積為0，等等．

例3已知集合A=｛x｜x2+2ax-3a2=0｝ ，B=｛x｜x2-3x>0｝ ，若AB ，則實數a 的取值范圍為（）

A.{0} B.{-1，3}

C.（-∞，0）∪（3，+∞）D.（-∞，-1）∪（3，+∞）

解析集合B=｛x｜x2-3x>0｝=（-∞，0）∪（3，+∞） ，求解集合A ，當a=0 時，A=｛0｝ ，不滿足AB ，當 時， 由題設AB ，則（1）a>0 時，-3a<0，a>3，得a>3 ，（2）當a<0 時，-3a>3，得a<-1．

綜上，實數a的取值范圍是a<-1或a>3 ，答案選D．

點評由集合中元素的互異性，求解集合A 時，首先要分a=0 和a≠0 兩種情形，結合條件AB 運算時，要再分a>0 和a<0 兩種情形.如果將集合A 變為A=｛x｜x2+2ax-3a2<0｝ 呢？由教材中的數學規定，空集是任意集合的子集，則要分A 是空集和非空集合考慮，就需要分類討論，請同學們自己思考作答．

（3）根據數學中的性質確定分類標準

數學中的某些公式、性質在不同條件下有不同的結論，在運用它們時，就要分類討論，分類的依據是公式中的條件．

例如，圓錐曲線的性質-范圍，函數的周期性等．

例4設B 是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0） 的上頂點，若C 上的任意一點P 都滿足PB≤2b ，則C 的離心率的取值范圍是（）

A. 22，1B. 12，1

C.0，22D. 0，12

解析設P（x0，y0） ，由B（0，b） 及x20a2+y20b2=1 ，a2=b2+c2 ，得PB2=x20+（y0-b）2=a2（1-y20b2）+（y0-b）2=- c2b2（y0+b3c2）2+b4c2+a2+b2 ，因為-b≤y0≤b ，所以（1）當-b3c2≤-b ，即b2≥c2 時，PB2max=4b2 ，即PBmax=2b ，符合題意，由b2≥c2 得a2≥2c2 ，得0

（2）當-b3c2>-b ，即b2

綜上，當b2≥c2 時，離心率e∈0，22 ，答案選C．

點評本題的實質是二次函數在相應范圍上的最值問題，-b≤y0≤b 來自橢圓的性質1范圍，從而需要分類討論，得到正確結果．

例5已知函數f（x）=lnx-mx（m∈R） ，在區間［1，e］ 上取得最小值4 ，則實數m 的值為______．

解析函數f（x） 的定義域是（0，+∞） ，

（1）當m≥0 時，f（x） 是［1，e］ 上的單調增函數，由題設f（1）=-m=4 ，得m=-4 ，與m≥0 不符，舍去；

（2）當m<0 時，由f′（x）=1x+mx2=x+mx2 ，可得：

① 當-m≤1 ，即-1≤m<0 時，f（x） 是［1，e］ 上的單調增函數，則f（1）=-m=4 ，得m=-4 ，與-1≤m<0 不符，舍去；

② 當1<-m

③ 當-m≥e ，即m≤-e 時，函數f（x） 在［1，e］ 單調減，則f（e）=4 ，即1-me=4 ，得m=-3e ，符合取值要求．

綜上，實數m 的值為-3e.

點評（1）m≥0 及-1≤m<0 的情形，可以通過求導后合并處理，得到函數f（x） 是［1，e］ 上的單調增函數，此處分開思考，目的是幫助同學們培養直接觀察判斷意識．

（2）本題也可先考慮f（1）≥4，f（e）≥4， 得m≤-3e ，此時對x∈［1，e］ ，有f′（x）=x+mx2<0 ，即函數f（x） 在［1，e］ 上單調遞減，從而得f（e）=4 ，得m=-3e .這是先考慮必要性，有效控制m的取值范圍，再求解m的取值，當然不必刻意追求，應該是基本方法扎實掌握基礎上的順勢而為．

（4）根據數學運算的需要確定分類標準

如偶次根式的被開方數為非負數，不等式兩邊同乘以實數對不等號方向的影響，整體求解時尋找規律需要等．

例6正項數列｛an｝ 的前n 項和為Sn ，（an+1）2=4Sn ，記bn=Sn·sinnπ2+Sn+1·sin（n+1）π2 若數列｛bn｝ 的前n 項和為Tn ，則T100 的值為（）

A. -400 B. -200C.200D. 400

解析略解得：an=2n-1 ，Sn=n2 ，那么bn=n2·sinnπ2+（n+1）2sin（n+1）π2 ，

（1）當n=4k，k∈N* 時，b4k=S4k·sin 2kπ+S4k+1·sin4k+12π=（4k+1）2 ；

（2）當n=4k-1，k∈N* 時，b4k-1=S4k-1·sin4k-12π+S4k·sin4k2π=-（4k-1）2 ；

（3）當n=4k-2，k∈N* 時，b4k-2=S4k-2·sin4k-22π+S4k-1·sin4k-12π=-（4k-1）2 ；

（4）當n=4k-3，k∈N* 時，b4k-3=S4k-3·sin4k-32π+S4k-2·sin4k-22π=（4k-3）2 ．

則b4k+b4k-1+b4k-2+b4k-3=（4k+1）2-2（4k-1）2+（4k-3）2=8 ，所以T100=（b1+b2+b3+b4）+…+（b97+b98+b99+b100）=25×8=200．

點評由sinnπ2，n∈N* 周期性的取值，合理地分為四種情形分別進行求解，爾后觀察發現規律特征，采用整體策略處理問題．

（5）根據參數的變化需要確定分類標準

一般指數學中某些含參數的問題，由于參數的取值不同會導致所得結果不同，或由于不同的參數值要運用不同的求解或證明方法．

例7設函數f（x）=13ax3-12（a+1）x2+x+9，（a∈R） ，求f（x） 的單調減區間．

解析依題意得f′（x）=ax2-（a+1）x+1<0（ax-1）（x-1）<0 ，

（1）當a=0 時，原不等式解為x>1 ；

（2）當a≠0 時，原不等式化為a（x-1）（x-1a）<0 ；

①若a<0 ，則原不等式化為（x-1）（x-1a）>0 ，

易知1a<1 ，∴不等式的解為x<1a 或x>1.

②若a>0 ，則原不等式化為（x-1）（x-1a）<0 ，

（ⅰ）當a>1 時，1a<1 ，不等式解為1a

（ⅱ）當a=1 時，1a=1 ，不等式無解；

（ⅲ）當01 ，不等式解為1

綜上所述：當a<0 時，減區間為-∞，1a，（1，+∞） ；當a=0 時，減區間為（1，+∞） ；

當01 時，減區間為1a，1 ．

點評此題為典型的含參一元二次不等式的基本解法，涉及到要討論的情形比較復雜；必須先討論二次項系數是否為 >0，=0，<0 .三種情形，然后再每種條件下單獨討論根的大小，并結合二次函數圖像性質得出解集，解答時做到分類對象確定、標準統一、不重復不遺漏．

例8已知函數f（x）=lnx+2x-2，g（x）=xlnx-ax2-x+1

（1）證明：函數f（x）在a≤0 內有且僅有一個零點；

（2）假設存在常數λ>1，且滿足f（λ）=0，試討論函數a≤0 的零點個數．

解析（1）解略；

（2）令g（x）=0，即xlnx-ax2-x+1=0，從而有ax=lnx-1+1x，令φ（x）=lnx-1+1x（x>0），從而g（x）的零點個數等價于y=ax與φ（x）圖像的交點個數．φ（x）=1x-1x2=x-1x2，令φ（x）=0，得x=1，所以φ（x）在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增，且φmax（x）=φ（1）=0，當a=0 時，y=ax與φ（x）圖像有一個交點．

當a<0 時，y=ax圖像經過二、四象限，與φ（x） 圖像無交點．

當a>0 時，y=ax圖像經過一，三象限，與φ（x）圖像至少有一個交點，當y=ax圖像φ（x）圖像相切時，設切點橫坐標為x0 ，則有a=1x0-1x20

ax0=lnx0-1+11x0，即有lnx0+2x0-2=0，從而x0=λ，此時a=1λ-1λ2=λ-1λ2>0.

所以，當時a＝λ-1λ2時，y=ax 圖像φ（x）圖像有兩個交點；

當0

當a>λ-1λ2時，y=ax圖像與φ（x）圖像有一個交點．

綜上所述，當a<0 時，g（x）沒有零點；當0λ-1λ2或a=0 時，g（x）有一個零點．

點評本題中a≤0 時，情形比較明朗，a>0 時，還需進行二級分類討論，分類標準是λ-1λ2 ，最后將分類結論整合．

（6）由幾何中相對位置不確定引起的分類討論

如直線和圓錐曲線的位置關系、點和圓的位置關系、圓和圓的位置關系，立體幾何中位置關系探討，等等．

例9若雙曲線的漸近線方程是y=±34x ，則該雙曲線的離心率為______．

解析（1）當雙曲線的焦點在x 軸上時，有ba=34 ，得離心率e=ca=54 ；

（2）當雙曲線的焦點在y 軸上時，有ab=34 ，得離心率e=53．

點評上例由雙曲線的焦點位置不同，引起了分類討論，需要考生在學習數學時，扎實掌握數學的基本概念．

例10已知直線l 過點P（1，2） ，且與圓C：x2+y2=2 相交于A，B 兩點，若ΔABC 的面積為1 ，則直線l 的方程為______?.

解析（1）當直線l 的斜率存在時，設直線方程為： y=k（x-1）+2 ，即kx-y-k+2=0 ，因為SΔABC=12，CA·CB·sin∠ACB=1 ，所以sin∠ACB=1 ，得∠ACB=90° ，因此圓心到直線的距離為1 ，那么-k+2k2+1=1 ，解得k=34 ，所以直線方程為：3x-4y+5=0 .

（2）當直線l 的斜率不存在時，直線方程為x=1 ，經驗證，符合題意．

綜上，所求的直線方程為：3x-4y+5=0 或x=1 ．

點評直線的斜率k=tan α ，而當α=90°時，直線的斜率不存在，但直線是存在的，垂直于x 軸，因此，作直線斜率存在與不存在的分類討論，避免漏解．

例11（多選題）已知圓錐的底面半徑為4 ，母線長為5 ，則下列關于圓錐的說法正確的是（）

A. 圓錐的體積為16π

B. 圓錐的側面展開圖的圓心角為45π

C. 該圓錐外接球的表面積為6259π

D. 過圓錐兩條母線的截面面積最大值為 252

解析本題容易漏選D .設圓錐軸截面三角形頂角為 θ ，母線長為l ，則S截面=12l2sin θ ，① 當θ∈（0，π2） 時，S軸截面 最大；如圖（1），② 當θ∈π2，π 時，S截面 的最大值為12l2 ，此時，sin θ=1 ，見圖（2）.所以，正確選項是ACD．

點評過圓錐兩條母線的截面面積最大值，要對圓錐軸截面頂角進行分類討論，當頂角是銳角時，如圖（1），S截面 的最大值為軸截面時，即S截面max=12×AB×PO ；當頂角是鈍角或直角時，如圖（2），S截面max=12×PA×PC=l22 ，l 為母線長．

（7）根據實際問題的具體情況進行分類討論

如排列、組合問題，概率與統計的實際應用題等．

例12某年級舉辦線上小型音樂會，由6個節目組成，演出順序有如下要求：節目甲必須排在前兩位，節目丙必須排在節目乙的下一個，則該小型音樂會節目演出順序的編排方案共有種.（用數字作答）

解析由題意，設6個節目的順序為下圖中1，2，3，4，5，6.

①甲排在第一位，乙與丙挨著，可以在2、3，3、4，4、5，5、5中任選一個，剩余的3個作全排列，共有C14A33=24 種，

②甲排在第二位，乙、丙可以在3、4，4、5，5、6中任選一個，剩余的3個

全排列，共有C13A33=18種，故編排方案共有24+18=42種，故答案為42．

點評甲的位置影響乙的排列，所以甲的位置比較特殊，從甲入手進行分類討論．

例13設集合A=（x1，x2，x3，x4，x5）xi∈-1，0，1，i=1，2，3，4，5 ，求集合A 中滿足條件：1≤x1+x2+x3+x4+x5≤3 的元素個數．

解析分以下三種情況討論：

（1）x1+x2+x3+x4+x5=1 ，則上述五個數中有一個數為1 或-1 ，其余四個數為0 ，此時集合A 含有C15C12=10 個元素；

（2）x1+x2+x3+x4+x5=2 ，則上述五個數中有兩個數為1 或-1 ，其余三個數為0 ，其中這兩個數的所有可能情況有22=4 種，此時A 含有4C25=40 個元素；

（3）x1+x2+x3+x4+x5=3 ，則上述五個數中有三個數為1 或-1 ，其余兩個數為0 ，其中這兩個數的所有可能情況有23=8 種，此時A 含有8C35=80 個元素．

綜上所述，滿足條件的集合A 中有10+40+80=130 個元素．

點評若從反面考慮，同樣也需要三種情況的討論：x1+x2+x3+x4+x5=0 時有1 種；x1+x2+x3+x4+x5=4 時有24C45=80 種；x1+x2+x3+x4+x5=5 時有25=32 種，故集合A 中有35-1-80-32=130 個元素．

下篇：面對復雜問題情形，把握全局，審時度勢地主動出擊，分類討論逐步推進．

當面對復雜問題，其分類因素不明確或無法直接套用分類情形時，應該根據解題目標，主動尋求分類，逐個擊破，展開有條理、有層次的思考和推進，使問題解決富于條理，且有嚴密邏輯，培養發展高階數學能力．

例14已知：函數f（x）=x2+qx+r，1m+2+qm+1+rm=0（m>0）.

（１） 判斷f（mm+1）的符號；

（２） 證明：函數f（x）=r 在區間f（0，1） 上恒有零點．

解析（１）略解由1m+2+qm+1+rm=0，得mm+1q+r=-mm+2，所以fmm+1=m2（m+1）2+mm+1q+r=m2（m+1）2-mm+2=m（m+1）2 （m+2）<0，（因為m>0）．

小題（2）分析：根據函數零點存在定理，結合問題（１）的結論，mm+1∈（0，1） ，且f（mm+1）<0 ，那么只要證明f（0）=r 及f（1）=r 中至少有一個為正即可.而f（0）=r ，f（1）=1+q+r=1+r-m+1mr-m+1m+2=1-rm-m+1m+2=1m+2-rm（m>0）．

雖然無法單獨判斷f（0）及f（1）為正，但緊扣問題所要證的結論，對r的符號進行分類討論的想法，便自然產生了．

（1）當r>0時，得f（0）>0：（2）當r≤0時，得f（1）>0，因此，無論實數r取何值，f（0）及f（1）中必有一個大于零，問題（２）得證．

點評此處對字母 的分類討論，是針對問題所證結論的主動出擊，是經過思維活動后的理性抉擇.我們也可看到，運用分類討論后，其證明過程就顯得巧妙而輕松．

例15設函數f（x） =（x+a）lnx，g（x）=x2ex.已知曲線y =f（x）在點（1， f（1））處的切線與直線2x-y =0平行．

（1）求實數a的值；

（2）是否存在自然數k，使得方程f（x） =g（x）在（k，k+1）內存在唯一的實數根？若存在，求出相應的k值；若不存在，請說明理由．

解析（1）由f′（1） =2，可得a=1．

（2）設h（x） =f（x） -g（x） =（x+1）lnx =x2ex（x>0）.首先明確問題所要解決的目標，即函數h（x）在（0，+∞）上有無零點？若有，會有幾個？零點大致在什么范圍？

結合函數零點存在定理，就需要研究函數值的正負，判斷函數的單調性，從而來確定函數有無零點及零點的大致范圍．

明確了解題的目標和方向，就可以分情況逐一探討和加以推證．

（i）當x∈（0， 1］時，h（x） =（x+1）lnx =x2ex< 0，即在區間（0， 1］上， h（x）的函數值始終為負，因此，函數在區間（0， 1］上不存在零點．

當x∈（1，+∞）時，函數h（x）的符號不能確定，且函數的單調性也不明確，需要從它的導函數入手，加以研究.h（x）的導函數為h′（x） =lnx +1x+1+x（x-2）ex.觀察導函數的代數式結構，并非是通常熟悉的直接求出導函數零點，從而確定函數的單調性的情形．

通過觀察，可以發現在［2，+∞）上，h′（x） >0，即函數h（x）在［2，+∞）上是單調遞增的，那么對x∈［2，+∞）及x∈ （1， 2）繼續進行分類討論．

（ⅱ）當x∈［2，+∞）時，h′（x） >0，因此，h（x）是［2，+∞）上的單調增函數，又h（2） =3ln 2-4e2 =ln 8 =4e2>0，那么h（x）在區間［2， +∞）上的函數值始終是正的，故在區間［2，+∞）上函數h（x）不存在零點．

接下來研究函數在區間（1， 2）上的零點情況．

（ⅲ）在（1， 2）上，由于h（x）， h′（x）的符號都是不明確的，因此需要研究h′（x）的導函數.設φ（x）=h′（x） = lnx =1x+1 =x2-2xex，則φ′（x）=

1x =1x2+2x -2-（x2 -2x）ex

=x-1x2+-x2+4x-2ex =x-1x2+-（x-2）2 +2ex，當x∈ （1， 2）時，φ′（x）>0，即h′（x）在（1， 2）上單調遞增.又h′（x） =h′（1） =2-1e>0，因此h（x）在（1， 2）上是單調遞增的，同時，由h（1） =-1e<0， h（2） =ln 8 =4e2= 0，而函數h（x）的圖像是不間斷的，故函數h（x）在（1， 2）上存在唯一零點．

因此，存在自然數k=1，使方程f（x） =g（x）在（1， 2）上存在唯一的實數根．

點評本例中對x取值的分類討論，是緊緊圍繞問題目標，即探索判斷函數h（x）的零點情況.在解題思考受阻時，深入觀察函數解析式特征的順勢而為，是問題解決的理性抉擇和合理把控.

總之，分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，對于培養考生思維的邏輯性、條理性和概括性，以及提高分析問題和解決問題的能力無疑具有很大的幫助.然而并不是問題中一出現含參數問題就一定得分類討論，我們應弄清楚引起問題分類討論的主要原因，做到有的放矢，這樣才能精準地進行分類討論，從而達到快速、準確的解題效果．

責任編輯徐國堅