基于ARIMA模型的北京市GDP分析與預測

李振亮 樂昕雨

【摘 ?要】GDP是衡量國民經濟發展的重要指標。論文通過選取北京市1978-2020年的GDP年度統計數據，利用R軟件對數據進行分析，構建ARIMA模型，進而預測北京市未來5年的GDP。根據AIC準則構建最優ARIMA（2，2，1）模型，其相對誤差在7%以內，模型預測效果較好。應用該模型預測北京市2021-2025年GDP依次為37 094.89億元、38 831.57億元、39 714.03億元、41 144.21億元、42 623.04億元，可以看出北京市未來5年GDP仍然保持較高的增長速度，為未來北京市的經濟發展提供一個科學的參考和依據。

【關鍵詞】GDP；ARIMA；預測

【中圖分類號】F224 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻標志碼】A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文章編號】1673-1069（2023）01-0153-03

1 引言

國內生產總值（Gross Domestic Product，GDP）是反映國家或地區經濟發展水平和人民生活狀況的重要指標。因此，預測GDP未來趨勢可把握經濟發展情況，具有重要意義。國內已有諸多研究使用ARIMA模型對貴州、重慶、江蘇、廣東、湖北、吉林、陜西、安徽、浙江等地區的GDP進行分析與預測，表明ARIMA模型對GDP預測具有很好的效果。其中，張梓[1]選取貴州省1978-2020年GDP數據，通過構建ARIMA（0，1，1）模型來對貴州省2021-2025年GDP進行預測，且2016-2019年相對誤差均控制在7%以下。夏如玉等[2]選取重慶市2009-2020年GDP數據，建立ARIMA（0，1，0）模型對重慶市2021-2032年GDP進行預測。查華等[3]選取江蘇省1975-2020年GDP數據，建立ARIMA（0，1，1）模型對江蘇省2021-2022年GDP進行預測，且2018-2020年平均相對誤差在5%以下。王錚[4]選取廣東省1995-2020年GDP數據，通過構建ARIMA（0，1，4）模型對廣東省2021-2022年GDP進行預測，且2018-2020年相對誤差均在5%以下。瞿海情等[5]選取湖北省1978-2019年GDP數據，建立ARIMA（0，2，3）模型對湖北省2020-2021年GDP進行預測，且2018-2019年平均相對誤差為10.585%。潘典雅[6]選取吉林省1993-2019年GDP數據，建立ARIMA（2，1，1）模型對吉林省2020-2021年GDP進行預測，且2018-2019年相對誤差均在1%以下。胡詠琪[7]選取陜西省1986-2020年GDP數據，建立ARIMA（1，1，0）模型對陜西省2021-2022年GDP進行預測，且2017-2020年相對誤差均在6%以下。王佳佳[8]選取安徽省1978-2019年GDP數據，建立ARIMA（2，1，3）模型對2020-2022年GDP進行預測，且1978-2019年相對誤差均在8%以下。鄭夢琪等[9]選取浙江省1978-2018年GDP數據，建立ARIMA（5，1，5）模型對浙江省2019-2021年GDP進行預測。

北京市作為我國首都，經濟發展迅速，GDP的總量始終居于全國前列。本文將利用R軟件，選取北京市1978-2020年的GDP年度數據，構建ARIMA模型對北京市2021-2025年未來5年GDP進行預測，為北京市未來GDP的發展提供一個科學的參考和依據。

2 ARIMA模型的基本原理

差分自回歸移動平均（Auto Regressive Integrated Moving Average，ARIMA）模型是由自回歸模型（Auto Regression，AR）、移動平均模型（Moving Average，MA）和差分法結合而來的時間序列預測模型，常用于非平穩時間序列的分析和預測[10]。對于時間序列數據可以使用ARIMA模型進行分析，模型表達式為ARIMA（p，d，q），其中p是自回歸項數，q是移動平均項數，d是差分次數。ARIMA模型的數學通式為：Φ（B）（1-B）dXt

=θ（B）εt；模型的自回歸系數多項式為：Φ（B）=1-Φ1B-Φ2B2

-…-ΦpBp；模型的移動平均系數多項式為：θ（B）=1-θ1B

-θ2B2-…-θqBq；Xt表示需要預測的時間序列，εt表示白噪聲序列[11]。ARIMA模型主要用于平穩時間序列的預測，步驟包括繪制時間序列圖、數據預處理（包括平穩性和白噪聲檢驗）、模型識別與定階和模型預測。

3 基于ARIMA模型的實證分析

3.1 數據預處理與初步分析

1978-2020年北京市GDP年度統計數據來源于《北京市統計年鑒》，通過Excel ?2019軟件建立GDP的時間序列數據庫，使用R軟件（version 4.0.5，the R Foundation for Statistical Computing，Vienna，Austria）對數據進行預處理、建模、診斷、預測等。從時間序列圖（圖1）可以看到，1978-2020年北京市GDP呈現指數增長趨勢，2020年GDP值為36 102.6億元，是1978年的332倍左右。

3.2 平穩性檢驗

從時序圖（圖1）可以發現北京市GDP隨時間呈指數增長趨勢，為非平穩時間序列。因此，首先利用R軟件中log函數對原始數據進行對數處理，再進行差分。隨后利用R軟件中diff函數對其進行一階差分，單位根檢驗結果顯示P=0.413 3＞0.05，表明對數一階差分后的序列還不是一個平穩序列。故對其進行二階差分，單位根檢驗結果顯示P＜0.05，表明其符合平穩時間序列特征。

3.3 ARIMA（p，d，q）的識別

原始序列數據通過取對數和二階差分處理后變為平穩序列，因此d=2，初步確定ARIMA模型為ARIMA（p，2，q）。利用R軟件中acf和pacf函數繪制出上述平穩化序列的自相關圖（圖2）和偏自相關圖（圖3），通過觀察圖形的自相關系數變化趨勢可初步判斷p、q的取值。從序列的自相關圖可以看到序列在零階截尾，初步判斷q=0；從序列的偏自相關圖可以看到序列在二階截尾，初步判斷p=2。

為保證p、q值的選擇更加準確合適，利用R軟件中ARIMA函數進行模型擬合，AIC值在ARIMA（2，2，0）、ARIMA（2，2，1）、ARIMA（1，2，0）、ARIMA（1，2，1）等不同參數下，分別為-127.83、-128.89、-122.14、-126.32。根據AIC準則（該值越低越好）選擇最優模型為ARIMA（2，2，1）。

3.4 殘差白噪聲檢驗

通過繪制殘差序列的Q-Q圖（圖4）可以看到殘差近似落在一條直線，可以初步判斷該序列是隨機正態分布。利用R軟件中Box.test函數開展進一步白噪聲檢驗，結果顯示Ljung-Box統計量的P值大于0.05，說明該序列屬于白噪聲序列。因此，可判定模型ARIMA（2，2，1）合理。

3.5 模型預測

通過繪制北京市1978-2020年GDP預測值與實際值的時間序列圖（圖5）可以看出預測值與實際值的變化趨勢基本保持一致，反映出模型擬合程度較好。

圖5 ?真實值與預測值比較

選取北京市2010-2020年GDP真實值與預測值數據進行比較，對比結果發現真實值與預測值的相對誤差較低，其中2020年的相對誤差最高，為0.062（表1）。總體上，真實值與預測值的相對誤差較低，反映出模型預測效果良好，可以應用ARIMA（2，2，1）模型對北京市2021-2025年GDP進行預測。

利用R軟件中forecast函數對北京市2021-2025年GDP進行預測，發現北京市未來5年的GDP依次為37 094.89億元（95%CI：34 027.35～40 439.00億元）、38 831.57億元（95%CI：32 056.01～47 039.36億元）、39 714.03億元（95%CI：29 877.77～52 788.57億元）、41 144.21億元（95%CI：27 295.85～62 018.62億元）和42 623.04億元（95%CI：24 690.65～73 579.37億元），可以看出對北京市未來5年GDP仍然保持較高的增長速度（見表2）。

4 結論與建議

本研究選取1978-2020年北京市GDP年度數據，利用R軟件構建出ARIMA（2，2，1）模型，并預測北京市未來5年的GDP值。該模型顯示真實值與預測值的相對誤差在7％以下，可較好預測北京市GDP未來趨勢。2020年北京市GDP預測值出現了超過5％的相對誤差，這可能與新冠肺炎疫情有關。通過ARIMA（2，2，1）模型預測北京市未來5年的GDP值，結果顯示北京市2021年GDP值為37 094.89億元，有望在2024年突破40 000億元大關。預測模型發現未來5年北京市GDP呈現出穩步增長的趨勢，可為北京市“十四五”發展規劃提供決策建議。

一是建設國際科技創新中心，構建首都特色經濟體系。通過支持國家級高新技術企業、專精特新小巨人企業和獨角獸企業，實現創新驅動和長線發展。繼續聚焦高精尖產業，將創新因子融入先進制造業，追求現代服務業頂層價值，吸引國際一流創新人才，打造世界一流人才高地。

二是發揮數字經濟核心優勢，加強新型基礎設施建設。加快北京數字貿易港建設，開展區塊鏈、人工智能、5G等算力平臺先行示范，擴大智慧城市試點區域，更加突出數字經濟發展重要地位。

三是建設國際消費中心城市，不斷探索消費新模式。針對新時代消費群體的變化，可將北京特色文化融于消費新場景中，加強構建特色商圈、專題品牌等消費活動。將擴大內需作為重要抓手，與傳統工商業改造升級進行有機結合，把恢復和刺激消費放到突出位置。

四是鼓勵發展民營經濟，實現提就業穩稅收。民營經濟不僅是經濟增長、GDP健康穩定發展的重要力量，也是市場機制有效運行的關鍵因素。面對新冠肺炎疫情的沖擊，經濟不斷面臨挑戰，民營經濟發展對推動社會主義市場經濟建設具有重要意義。構建良好的營商環境，解決企業發展問題更加有助于北京經濟高質量發展。

【參考文獻】

【1】張梓.基于ARIMA模型的貴州省GDP分析與預測[J].國土與自然資源研究，2022（05）：39-41.

【2】夏如玉，王梓橋.基于ARIMA模型對重慶市GDP預測分析[J].中國儲運，2022（08）：93-94.

【3】查華，石舢.基于ARIMA模型對江蘇省GDP的預測[J].蘭州文理學院學報（自然科學版），2022，36（03）：33-36+54.

【4】王錚.基于ARIMA模型對廣東省GDP的預測分析[J].現代商業，2021（36）：69-71.

【5】瞿海情，何先平.基于時間序列分析的湖北省GDP預測模型研究[J].湖北經濟學院學報（人文社會科學版），2021，18（09）：37-39.

【6】潘典雅.基于ARIMA模型的吉林省GDP分析及預測[J].中國集體經濟，2021（27）：15-16.

【7】胡詠琪.ARIMA模型在陜西省GDP預測中的應用研究[J].中國商論，2021（13）：174-176.

【8】王佳佳.基于ARIMA模型的安徽省GDP的分析與預測[J].棗莊學院學報，2020，37（05）：38-44.

【9】鄭夢琪，朱家明.基于ARIMA模型對浙江省GDP預測分析[J].哈爾濱師范大學自然科學學報，2020，36（03）：56-61.

【10】Rguibi MA， Moussa N， Madani A， et al. Forecasting Covid-19 Transmission with ARIMA and LSTM Techniques in Morocco[J].SN Comput Sci，2022，3（2）：133.

【11】王燕.時間序列分析——基于R[M].北京：中國人民大學出版社，2015.