基于“脫靶管”原理的防空導彈脫靶量估算方法 *

王激揚 ，白風宇 ，孫曉峰

（1. 海裝北京局，北京 100073； 2. 中國人民解放軍92493 部隊，遼寧 葫蘆島 125001）

0 引言

防空導彈脫靶量是指導彈與目標交匯過程中的最小距離，是評估導彈武器系統制導精度等指標的重要依據，具體定義為：導彈在脫靶平面的落點與脫靶平面內目標連線的距離。而脫靶平面定義為：包含目標質點且垂直于導彈與目標相對速度矢量的平面［1］。

獲取高精度脫靶量是評估導彈制導精度的關鍵，在實際飛行試驗中，有2 種常用脫靶量獲取方法：光學測量法和多普勒頻率法。光學測量法，是采用光學設備，通過測量遭遇段導彈、目標位置參數獲取脫靶量。但由于受到各種客觀條件制約，一般難以直接測得防空導彈的脫靶量，即使測得導彈擊落靶標時導彈爆炸時刻的彈目距離，從嚴格意義上來說也并不是真實的脫靶量。在具體工程實踐中，一般采用測得導彈爆炸時刻的彈目距離來代替脫靶量的值，或利用遭遇段測得的一組導彈目標相對距離數據，通過插值、擬合、外推的方法得到粗略的脫靶量估值，精度較低，難以滿足制導精度評估需求。多普勒頻率法，是利用導彈無線電導引頭或引信的多普勒信號進行處理估算脫靶量的方法，多種基于多普勒信號的脫靶量估算方法得到了廣泛研究［2-15］。但這些算法成立的前提條件是彈目相對速度已知或能用導引頭多普勒頻率計算獲得，由于不同防空導彈的制導體制不同，工程實際中時常不能滿足該前提條件，算法應用受到制約。

本文提出了一種基于“脫靶管”原理的防空導彈脫靶量估算方法，分別針對光學測量數據和多普勒頻率測量數據給出了具體的算法及算例。該算法不僅適用光學測量和多普勒測量2 種數據源，也適用彈目相對速度未知條件下的脫靶量計算，具有簡便快捷、計算精度高、工程實用性好等特點。

1 “脫靶管”原理

地（艦）空等防空導彈攔截試驗中，在導彈目標交匯“瞬間”如（0～0.3 s）內的遭遇段，相對速度矢量vr的大小和方向是不變的。因此，根據脫靶量及脫靶平面的定義，導彈相對目標運動的總和就形成一個空心圓柱的“脫靶管”，其軸平行于相對速度矢量，在空心圓柱表面上依次是脫靶相位φ、脫靶量值ρ和相對速度矢量vr，脫靶量是從“停止導彈”向相對速度矢量的垂線，如圖1 a）所示。由“脫靶管”的描述可知，在彈目交匯形成的脫靶管中，脫靶相位φ、相對速度vr和脫靶量ρ的大小、方向均保持不變，這給脫靶量的計算帶來較大的便利。在實際應用中，采用脫靶管截面的平面圖更為簡便直觀，且不影響計算結果，如圖1 b）所示。

圖1 “脫靶管”原理示意圖Fig. 1 Principle of “miss distance tube”

2 基于外彈道測量數據的脫靶量計算

由圖1 b）所示，對于導彈目標交匯段，通過外彈道光學測量并經數據處理，可直接得到發射坐標系下導彈在第i點處的坐標、目標在第i點處的坐標和第i點彈目相對距離Si；同樣，對于第i+1 點可得到：，Si+1；其中，i=1，2，…，n。

設第i點至第i+1 點目標相對導彈的運動距離為Di，其計算公式如下：

對于圖1b）中三角形，應用余弦定理可計算確定θi+1，θi：

因此脫靶量ρ的估計值為

一般對于遭遇段密集的n個測量點，可以選擇適當的計算步長，即通過選擇i與i+1 點的時間間隔Δt來實現，可得到一組脫靶量的估計，經過平滑處理，剔除野值，取平均得到最終的脫靶量估計值。

假設某型地空導彈飛行試驗遭遇段一組外彈道測量數據如表1，其中（XM，YM，ZM）為導彈坐標值，（XT，YT，ZT）為目標坐標值，dR為彈目相對距離；對應上述給出的計算公式，導彈坐標、目標 坐 標、彈 目 相 對 距 離Si，i=1，2，…，13。

表1 脫靶量光學測量結果Table 1 Optical measurement results of miss distance

利用表1 數據計算導彈脫靶量，具體步驟如下：

（1） 選擇計算步長Δt，若選取Δt=0.01 s，對應表1 的13 組測量數據，得到一組10 個脫靶量的估計值。

（2） 按式（1）計算第i點和第i+1 點的目標相對導彈的運動距離Di；按式（2）計算θi+1或θi角度值；按式（3）計算得到脫靶量ρi。

（3） 對于計算得到的一組脫靶量ρi（i=1，2，…，10），剔除野值，并取平均得到該次飛行試驗導彈脫靶量為0.84 m。

對于表1 數據，采用傳統擬合外推方法，得到的彈目距離擬合曲線近似直線，外推脫靶量值為0；利用不精確炸點時刻測量值（炸點時刻測量誤差為±0.002 s），外推估算得到導彈爆炸時刻彈目最小距離值在5.476～1.224 m 之間，具體脫靶量值難以確定。由此看出，基于“脫靶管”原理的脫靶量計算方法，可在非精確測量條件下，得到較高精度的脫靶量的值，是光學測量數據估算脫靶量的有效手段。

3 基于遙測多普勒頻率信號的脫靶量計算

對于導引頭或引信存在多普勒頻率信息的導彈飛行試驗，通過遙測可獲得彈目交匯段的多普勒頻率信號，通過選取間隔時間Δt，得到一組變化的多普勒頻率fdi，i=1，2，…，n；如圖2 所示，多普勒頻率fdi計算公式：

圖2 基于多普勒頻率的“脫靶管”原理示意圖Fig. 2 Principle of “miss distance tube” based on Doppler frequency

一般地，當彈目距離S≥（200～300） m時，θi≈0，cosθi≈1，則可通過此時測得多普勒頻率由式（4）計算得到相對速度vr（仍不夠精確）；否則，相對速度vr未知。

3.1 相對速度vr已知情況

相對速度vr已知時，脫靶量計算較為簡單，可采用“兩點法”計算脫靶量，如圖2 a）所示，選取間隔Δt的 兩 點 普 勒 頻 率 值fdi，fdi+1；對 應 角 度θi，θi+1，由 式（4）計算得到：

由于α=θi+1-θi，應用三角形正弦定理，有

則可直接得到脫靶量估計為

這樣可得到一組脫靶量ρ的估計：ρ1，ρ2，…，ρi，通過平滑、剔除野值、取平均等處理，能夠得到較高精度的脫靶量估計。

3.2 相對速度vr未知情況

當相對速度vr未知時，根據測得的多普勒頻率，首先求得相對速度vr，之后應用式（6）即可得到一組脫靶量ρ的估計。

采用“三點”法求解相對速度vr，如圖2 b）所示，選 取 等 時 間 間 隔Δt的 三 點 普 勒 頻 率 值fdi，fdi+1，fdi+2，有對應角θi，θi+1，θi+2；由于AB=BC，則有：

將式（4）變換為三角函數代入上式，整理后有

函數F(vr)（或|F(vr)|）的零點就是要求解的相對速度，可采用二分法迭代算法或黃金分割迭代算法（只適用|F(vr)|）求解［9］。

3.3 示例計算

假定某型導彈某次飛行試驗中彈目交匯段等間隔時間提取一組多普勒頻率數據，經擬合平滑后，得到數據如表2 所示。

表2 導彈飛行試驗交匯段多普勒頻率數據表Table 2 Doppler frequency data for intersection section in missile flight test

（1） 采用“三點法”求解相對速度vr

假設彈目速度未知，根據交匯段彈目速度估算，給 出 彈 目 相 對 速 度 范 圍 ：vr∈(a，b) =(vrmin，2 000)，其中vrmin為使函數F（vr）有意義的取值，滿足

式中：max（）為求最大值。

若取時間間隔Δt=0.004 s，采用二分法計算導彈與目標相對速度vr，計算取值及計算結果見表3，其中以序號2 的一組數據為例的函數F（vr）圖像如圖3 所示，對應的零點為vr=1 129 m/s。

表3 采用擬合多普勒頻率計算的導彈目標相對速度和脫靶量計算結果Table 3 Results of relative velocity and miss distance calculated by fitting Doppler frequency

圖3 函數F(vr)曲線圖Fig. 3 Curve of function F（vr）

（2） 采用“二點法”計算脫靶量ρ

依據表2 數據，在求得相對速度vr后，根據式（5），（6）計算脫靶量ρ，可得到一組脫靶量的值，取平均后即為最終獲取的脫靶量值ρ=10.05 m。計算結果如表3。

（3） 計算精度分析

需要指出的是，表2 數據取自某專項試驗脫靶量為10 m 時的引信多普勒頻率擬合曲線［2］，脫靶量真值已知：ρ=10 m。由于引信對目標體不同散射點的多普勒頻率值具有一定的散布誤差，也存在測量的隨機誤差，雖然經過擬合平滑，卻難以根本消除。因此，表3 中計算得到的一組脫靶量值同樣具有一定的離散，其均方根誤差σ=0.53 m，但取平均后，可有效消除隨機誤差，獲得較高精度的脫靶量值。本例計算得到的脫靶量值10.05 m 與真值相差甚微，精度達到99.5%，表明基于“脫靶管”原理的脫靶量估算方法具有明顯優勢，并較好地解決了彈目相對速度未知情況的脫靶量估算問題。

4 結束語

本文針對防空導彈飛行試驗精確脫靶量獲取困難實際問題，提出了一種基于“脫靶管”原理的脫靶量估算方法。分別針對光學位置測量和內彈道遙測多普勒頻率測量的不同數據源情況，給出了脫靶量估算算法，較好解決了非精確光學測量條件和利用多普勒頻率彈目相對速度未知條件下的脫靶量估算問題。應用示例表明，該方法精度高，應用廣泛，具有較高的工程應用價值。