基于多目標問題的裝備維修保障資源調度研究 *

祝東攀，曹繼平，畢杰

（火箭軍工程大學，陜西 西安 710025）

0 引言

信息化條件下的戰爭具有突發性強、作戰節奏快、戰場形勢變化迅速等特點，這些特點勢必導致裝備維修保障任務越來越重。戰時，時間是贏得戰爭的關鍵因素，如何使受損裝備盡可能快地恢復戰斗力，再次投入戰場，主要是由裝備維修保障水平決定的，因此，提高裝備維修保障能力是取得戰爭勝利的前提和基礎。維修保障資源是裝備維修保障能力的重要支撐［1］，裝備維修保障水平的高低，一定程度上跟維修保障資源能否滿足武器裝備的維修保障需求有關。裝備維修保障資源調度，是指在裝備維修保障工作中，對維修保障所需要的各類保障資源進行合理分配［2］，因此研究裝備維修保障資源調度問題對提高戰時部隊裝備維修保障能力具有重要意義。

資源調度問題相關理論研究背景涉及物流、消防、軍事和應急保障等領域。李悅等［3］研究了基于物聯網平臺下鐵路物流中心裝卸資源的調度優化問題，構建了以平均延誤時間最短和最大作業時間最小為目標的多目標調度優化模型，對提高鐵路物流中心的裝卸效率具有一定意義。吳鵬等［4］針對資源受限情況下森林火災救援的問題，在根據火災嚴重程度和火勢蔓延速度對火災救援優先級劃分的基礎上，構建了以救援時間最小為目標的消防救援車輛路徑優化的線性規劃模型，為解決資源受限下森林火災資源調度問題提供了一種解決辦法。宋衛星等［5］針對裝備維修保障任務量大、保障資源有限的問題，在分析裝備維修資源投入與效益關系的基礎上，構建了以維修裝備數量最多、維修成本最低為目標的維修調度模型，對合理利用維修資源具有一定意義。李紹斌等［6］針對單需求點的戰儲資源調度問題，建立了以調度時間最少和調度成本最小的多目標調度模型，并運用模糊轉換和線性規劃的方法實現對模型的計算，為戰時戰儲資源調度問題提供了一種解決思路。王薇等［7］針對高速公路交通事件應急救援問題，在分析高速公路施工區域對道路通行能力影響的基礎上，以應急救援時間最短和應急救援相關費用最少為目標，構建了基于施工區通行能力的資源調度模型，為合理選擇應急出救點提供了一種方法。陳超［8］、李沐鴻等［9］針對不確定條件下的應急資源調度問題，利用區間數完成了調度模型構建，為解決不確定條件下的資源調度問題提供了借鑒。這些理論研究均為戰時裝備維修保障資源調度問題研究提供了一定理論參考。但是，戰時裝備受損情況的不斷變化導致維修保障資源需求不確定，維修保障資源在運輸途中可能由于天氣、自然災害、敵特侵襲等原因，使得保障點到需求點運輸時間不確定，道路、橋梁等交通設施遭敵打擊后的通行情況不確定。上述研究大多是以時間、費用等單一因素為優化目標，且都假定保障資源的需求量和保障點到資源需求點的時間為確定值，具有一定局限性，沒有體現出戰時維修資源需求、維修資源配送時間等因素的不確定性，難以適應部隊戰時背景下時間緊、維修資源需求點多、維修保障點多等問題。裝備維修保障活動是一項復雜的工程規劃類活動［10］，對裝備維修保障資源調度研究，若只針對某一單一目標進行優化，將會造成其他目標效益低下，不符合戰時裝備維修保障資源調度的情況。本文將構建不確定性多目標模型，引入三角模糊數來表示維修保障資源需求的不確定性、維修保障資源調度時間的不確定性、調度路徑可靠性的不確定性，來制定最優的調度方案。

1 模型構建

1.1 問題分析

裝備維修保障資源調度過程如圖1 所示。戰時，各作戰單元根據任務部署在指定區域，當作戰單元遭受敵打擊或發生故障時，由伴隨保障小組負責維修。如果伴隨保障小組所攜帶的資源不足以完成維修任務時，作戰單元指揮員將根據維修情況向指揮所申請調度維修資源。指揮所收到申請后，根據戰前維修保障資源部署情況及作戰單元受損情況制定調度方案，命令相應的維修保障點在規定的時間內將維修保障資源運送至所需要的作戰單元。當部隊本級維修資源不足時，向基地級維修保障力量申請支援，基地級維修力量收到申請后根據實際情況安排相應的維修力量和維修資源前往支援。

圖1 裝備維修保障資源調度流程圖Fig. 1 Scheduling flow of equipment maintenance and support resources

戰時裝備多，分布地域廣，裝備維修保障資源呈現“多需求點，多保障點”特點，隨著戰爭進程的變化，戰場信息也處于不斷變化當中。開展裝備維修保障資源調度時，由于裝備受打擊情況、天氣情況、道路和橋梁等交通設施遭敵打擊情況等處于不斷變化當中，因此維修保障資源的需求量、維修保障資源調度時間、調度路徑的可靠性等無法確定。因此，以維修保障資源需求量、運輸時間等因素為某一固定值處理戰時裝備維修保障資源調度方案難以客觀反映實際。

1.2 不確定性裝備維修保障資源調度

本文通過引入三角模糊數來表達戰時維修保障資源需求的不確定性、維修保障資源調度時間的不確定性和調度路徑可靠性的不確定性來建立合理的調度模型求解。維修保障資源需求點j對維修保障資源的需求量可表達為，這里三角模糊數為?，模糊數的最保守估計值為xj1，模糊數的最可能估計值為xj2，模糊數的最樂觀估計值為xj3；將維修保障點i向維修保障資源需求點j配送資源 的 時 間 表 示 為為 三 角 模 糊 函數，模糊數的最保守估計值為tij1，模糊數的最可能估計值為tij2，模糊數的樂觀估計值為tij3；將維修保障點i到維修保障資源需求點j的路徑可靠性表示為為 三 角 模 糊 函 數，模 糊 數 的最保守估計值為pij1，模糊數的最可能估計值為pij2，模糊數的最樂觀估計值為pij3。

1.3 目標函數確定

戰時，裝備維修保障是為了讓受損裝備快速恢復戰斗力，因此維修保障資源越能盡早到達需求點，維修保障分隊就能越快對受損裝備進行維修，故而裝備維修保障資源調度的第一個目標便是維修保障資源調度時間最小。將以維修保障資源調度時間最小為目標的函數表示為

式中：xij為維修保障點i向維修保障資源需求點j提供的維修保障資源量為維修保障點i向維修保障資源需求點j配送維修保障資源所需的時間。

在進行裝備維修保障資源調度時，從維修保障點將資源運送至維修保障資源需求點的路徑可靠性問題也影響著維修保障的效率，合理的運輸路徑選擇不僅能夠將維修保障資源迅速、準確地運送至目的地，而且能夠減少運輸成本。裝備維修保障資源調度的第二個目標便是維修資源順利運輸至需求點的路徑可靠性最高。本文中假設相應的維修保障點到維修保障資源需求點的路徑已經確定，只考慮該路徑在戰時遭受自然災害和敵打擊后可以快速修復、恢復通行的概率問題，如果概率越高，表示道路受損后恢復通行的速度越快，在運輸過程中時間浪費越少，即路徑可靠性越高。假定維修保障點i到維修保障資源需求點j的路徑為Lij，該路徑在戰時遭受自然災害和敵打擊后可以快速修復，恢復通 行 的 概 率kij，則 令為 保 障 點i將 維 修 保障資源運送至需求點j的路徑可靠性。

將以維修保障資源調度路徑可靠性最高為目標的函數表示為

雖然戰時裝備維修保障以軍事效益為主，但裝備維修保障資源調度在滿足時間最小和路徑可靠性最高的條件下也應兼顧考慮調度成本問題，避免不合理的浪費。將以維修保障資源調度成本最小為目標的函數表示為

式中：cij為維修保障點i到維修保障資源需求點j的單位資源運輸成本。

綜上得到以裝備維修保障資源調度時間最小、調度路徑可靠性最高、調度成本最小的多目標函數可表示

2 約束條件函數的建立

假設各維修保障點的運力充足，現結合背景設置以下約束條件：

（1） 各維修保障點提供的維修保障資源總量與各維修保障資源需求點對資源的需求總量相等；

（2） 各維修保障點向維修保障資源需求點提供的資源量之和等于所有維修保障點實際供應量；

（3） 每個維修保障點所供應的維修保障資源量不大于其所儲存的維修保障資源量；

（4） 維修保障資源調度路徑的可靠性大于0；

（5） 維修保障點向維修保障資源需求點提供的維修保障資源量不小于0；

（6） 維修保障資源的需求量為三角模糊數；

（7） 維修保障資源配送時間為三角模糊數；

（8） 維修保障資源調度路徑的可靠性為三角模糊數。

約束條件函數為

式（5）表示維修保障點提供的維修保障資源量與需求點對維修保障資源的需求量相等，其中：xij表示維修保障點i向維修資源需求點j所提供的維修保障資源量? 表示維修保障資源需求點j所需要的資源量。式（6）表示每個維修保障點向需求點提供的維修保障資源量之和等于所有維修保障點實際供應量；N表示所有維修保障點實際供應量。式（7）表示每個維修保障點所供應的維修保障資源量不大于其所儲存的維修資源量；Ni'表示維修保障點所儲存的維修保障資源量。式（8）表示維修保障資源調度路徑的可靠性大于0。式（9）表示維修保障點向需求點提供的維修保障資源量不小于0。式（10）表示需求點j的維修保障資源需求量為三角模糊數。式（11）表示維修保障點i向需求點j配送資源的時間為三角模糊數。式（12）表示維修保障點i將維修保障資源運送至需求點j的路徑可靠性為三角模糊數。

3 模型求解

3.1 算法分析

常用于解決多目標規劃問題的方法有線性加權法、目標規劃法、分層序列法、極大極小法、理想點法等［11］。本文模型采用極大極小法進行求解。由于多目標裝備維修保障資源調度問題中，各目標函數的重要性不同，對調度問題的影響不同［12］，為避免某一單個目標函數主導整個目標函數優化過程，本文首先通過構造目標函數相對重要性判斷矩陣，確定各目標函數的權重值；其次再通過求得各單目標函數的極大值和極小值，對目標函數進行規范化處理；最后將多目標函數轉化為單目標函數，利用LINGO 軟件進行求解。

3.2 算法求解過程

（1） 確定目標函數權重

邀請相關專家對各目標函數的重要性進行兩兩比較判斷，并對指標因素的重要性程度按1-9 標度賦值［13］（表1 所示），構建目標函數的判斷矩陣A。

表1 目標函數重要性判斷標度Table 1 Judgment scale of objective function importance

由于判斷矩陣的構造一定程度受專家的主觀因素和個人判斷能力影響，為檢驗判斷矩陣的構造是否合理，還需對判斷矩陣進行一致性檢驗［11］。根據一致性比例CR=CI/RI對各判斷矩陣的一致性進行檢驗，其中一致性指標CI=λmaxn/（n-1），n為判斷矩陣階數，RI為平均一致性指標。當n=3 時，查得RI=0.58（見表2），若CR＜0.1，則認為構造的判斷矩陣是合理的，否則需要不斷校正。

表2 平均隨機一致性指標RITable 2 Mean random consistency index RI

計算矩陣的特征向量W，wk（k=1，2，3）即為各目標函數的權重。

（2） 對目標函數進行規范化處理，即

式中：maxfk(x)和minfk(x)為目標函數可取值的極大值和極小值，k=1，2，3。

（3） 將多目標函數轉化為單目標函數進行求解。

4 算例

某作戰區域內戰前共預置有3 個維修保障點，每個維修保障點儲存的維修資源種類和數量如表3所示。假設在某次作戰過程中因戰場損傷導致參戰的4 個作戰單元裝備受損，急需維修保障資源開展裝備維修保障工作。由于戰場環境處于不斷變化當中，隨著戰爭進程加深，以及天氣等外界因素影響，作戰單元受損裝備數可能會不斷增加，因此作戰單元對維修保障資源的需求不確定，各維修保障點將維修保障資源運輸至作戰單元的時間不確定，維修資源運輸路徑可靠性不確定。通過有關部門評估，得到3 個作戰單元對各類維修保障資源需求量的三角模糊數如表4 所示，維修保障點到各作戰單元的單位資源運輸成本、配送時間的三角模糊數和路徑可靠性的三角模糊數如表5 所示，表內成本所對應的數據表示4 種資源中每種資源單位運輸成本。現要求給出最優調度方案。

表3 各維修保障點儲存的維修保障資源種類和數量Table 3 Types and quantities of maintenance and support resources stored at each maintenance and support point

表4 作戰單元需要的維修保障資源種類和數量Table 4 Types and quantities of maintenance and support resources required for combat units

表5 維修保障點到各作戰單元的單位資源運輸成本、運輸時間和路徑可靠性Table 5 Transport cost， transport time， and transport path reliability of unit resource from maintenance and support point to each combat unit

已知此次作戰任務中，指揮決策者是風險中立的，根據三角模糊數運算規則［14］，得到各類維修保障資源需求量的三角模糊數期望值如表6 所示，維修資源運輸時間和維修資源安全送達受損裝備處的概率的三角模糊數期望值如表7 所示。

表6 各作戰單元需要的維修保障資源種類和數量的期望值Table 6 Expected types and quantities of maintenance and support resources required by each combat unit

表7 維修保障點到各作戰單元的單位資源運輸成本、運輸時間和路徑可靠性的期望值Table 7 Expected transport cost， transport time， and transport path reliability of unit resource from maintenance and support point to each combat unit

由以上數據，可建立資源1 以調度時間最小、調度路徑可靠性最高、調度成本最小為目標的多目標調度模型：

（1） 首先邀請相關專家對各目標的重要性進行兩兩比較判斷，并對指標因素的重要性程度按1-9標度賦值，得到目標函數的判斷矩陣

根據一致性比例CR=CI/RI對判斷矩陣的一致性進行檢驗，計算得CR=0.003 2，因為0.003 2＜0.1，所以認為該目標函數的判斷矩陣是合理的。通過計算得到該判斷矩陣的特征向量W=（0.65，0.23，0.12）即為各目標函數權重。

（2） 對目標函數進行規范化處理

通過LINGO 軟件求得單個目標函數在約束條件下的極大值和極小值為

maxf1(x) = 5 918.75， minf1(x) = 4 696.2，maxf2(x) = 667.5， minf2(x) = 499.25，maxf3(x) = 3 100， minf3(x) = 2 010.

處理后的函數為

（3） 將多目標函數轉化為單目標函數進行求解

通過LINGO 軟件求出其最優解：x11=0，x12=250，x13=0，x14=0，x21=0，x22=0，x23=195，x24=155，x31=135，x32= 35，x33=0，x34=60。

同理，可分別建立資源2，資源3，資源4 以調度時間最小，調度路徑可靠性最高，調度成本最小為目標的多目標調度模型，并通過LINGO 軟件計算結果如下：

資源2：x11=0，x12=165，x13=0，x14=0，x21=0，x22=0，x23=300，x24=0，x31=185，x32= 0，x33=20，x34=175。

資源3：x11=0，x12=360，x13=0，x14=0，x21=0，x22=0，x23=290，x24=60，x31=80，x32= 0，x33=0，x34=35。

資源4：x11=0，x12=220，x13=0，x14=55，x21=0，x22=0，x23=245，x24=5，x31=100，x32= 0，x33=0，x34=150。

綜上，以調度時間最小、調度路徑可靠性最高、調度成本最小為目標的維修保障資源調度方案如下：

維修保障點1 的調度任務：

向作戰單元2 提供250 個單位的資源1，165 個單位的資源2，360 個單位的資源3，220 個單位的資源4；向作戰單元4 提供55 個單位的資源4。

維修保障點2 的調度任務：

向作戰單元3 提供195 個單位的資源1，300 個單位的資源2，290 個單位的資源3，245 個單位的資源4；向作戰單元4 提供155 個單位的資源1，60 個單位的資源3，5 個單位的資源4。

維修保障點3 的調度任務：

向作戰單元1 提供135 個單位的資源1，185 個單位的資源2，80 個單位的資源3，100 個單位的資源4；向作戰單元2 提供35 個單位的資源1；向作戰單元3 提供20 個單位的資源2；向作戰單元4 提供60 個 單位的資源1，175 個單位的資源2，35 個單位的資源3，150 個單位的資源4。

按以上方法得到的調度方案所對應的3 個目標函數值分別為f1(x)=18 286.25，f2(x)=2 518.75，f3(x)=10 140。若只以調度時間最小為目標得到的調度方案對應的3 個目標函數值分別為f1(x)=17 281.25，f2(x)=2 393，f3(x)=11 625。若只以調度路徑可靠性最高為目標得到的調度方案對應的3 個目標函數值分別為f1(x)=18 292.5，f2(x)=2 654.5，f3(x)=10 580。若只以調度成本最小為目標得到的調度方案對應的3 個目標函數值分別為f1(x)=20 552.5，f2(x)=2 361.05，f2(x)=7 980。由以上結果比較可以發現，本文采用的方法所得到的調度方案兼顧了時間、路徑可靠性、成本3 個因素對維修保障資源調度的綜合影響，相比只以某一個因素為目標得到的調度方案在總體上有更好的優越性。

5 結束語

裝備維修保障資源調度方案的合理與否直接影響戰時裝備維修保障能力。本文在分析戰時裝備維修保障資源調度問題的基礎上，通過引入三角模糊函數，將戰時維修保障資源需求量、調度時間、調度路徑可靠性這些不確定信息量化，構建了多目標裝備維修資源調度模型，并給出了模型求解算法。最后算例表明，本文所給出的不確定條件下裝備維修保障資源調度方法，模型符合實際情況，算法具有一定合理性，為決策者開展戰時裝備維修資源調度提供了一定的分析角度和依據。