關(guān)于b-度量空間的一點注記

韋健偲, 謝利紅

（五邑大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院, 廣東 江門 529020）

1906 年，Maurice 將實數(shù)空間、復(fù)數(shù)空間、向量空間、函數(shù)空間等基本空間的共性提取出來，給出度量空間的定義.隨后人們從不同的角度推廣了度量空間， 并研究了它們的一些性質(zhì).Steve[1]為研究給定數(shù)字的近似值，定義了p-度量.推廣度量空間也可以通過弱化度量公理中的條件.例如在度量公理中把對稱性條件去掉，就得到擬度量；把度量公理中的三角不等式弱化為d(x,y)≤b(d(x,z)+d(z,y))（b≥1 是一個給定實數(shù)）就得到了b-度量.

b-度量空間提出來后，關(guān)于b-度量空間的性質(zhì)成為了研究熱點.例如b-度量空間中有關(guān)映象的一些不動點定理[2-3]以及廣義b-度量空間[4].度量化問題是一般拓撲學(xué)中的中心問題，2022年，Kunzi等[5]證明b-度量誘導(dǎo)的拓撲是可度量化的.但是其證明過程中存在漏洞.

主要運用Nagata-Smirnov度量化定理[6]：一個拓撲空間是可度量化的當且僅當這個空間是T1的，正則的，具有σ離散基.但是他們在證明分離公理的時候默認了每個球B(x,r)是b-度量誘導(dǎo)的拓撲中包含x的開集.然而據(jù)查閱文獻，有例子表明b-度量誘導(dǎo)的球B(x,r)不是b-度量誘導(dǎo)的拓撲中的開集， 但沒有文獻證明這個球是不是球中心x的鄰域.因此該文章的證明是不夠嚴謹?shù)?

證明了b-度量誘導(dǎo)的球是球心的一個鄰域.對文獻[4]的引理2.1和引理2.2給出嚴格的證明.

1 預(yù)備知識

1993 年，為了解決可測函數(shù)關(guān)于測度的收斂性問題，Czerwik[7]引入b-度量的概念，對度量的概念進行了推廣.

定義1[7]設(shè)X是一個非空集，b≥1 是一個給定實數(shù)，b-度量是一個函數(shù)d:X×X→[0,+∞)，對任意x,y,z∈X滿足：

1）d(x,y)=0當且僅當x=y;

2）d(x,y)=d(y,x);

3）d(x,y)≤b(d(x,z)+d(z,y)).

集X帶有b-度量d后稱為b-度量空間，可記為(X,d,b).

定義2[5]設(shè)(X,d,b)為一個b-度量空間，對任意x∈X，任意r＞0，稱B(x,r)={y∈X:d(x,y)＜r}以x為中心，r為半徑的球.

引理1[5]設(shè)(X,d,b)是一個b-度量空間，令

則τ是X上的一個拓撲.

2 主要結(jié)論及證明

首先舉例說明b-度量誘導(dǎo)的球B(x，r)不一定是b-度量誘導(dǎo)拓撲中的開集.N0表示自然數(shù)集，N+表示正整數(shù)集.

例1[8]對于一個給定實數(shù)ε＞0，對于X=N0={0,1,…}，定義d:X×X→[0,∞)，則有

然后通過d(n,n)=0 和d(m,n)=d(n,m)把d擴展到X×X，則對任意的m,n,k∈X，有d(m,n)≤(1+ε)[d(n,k)+d(k,m)].

則d是一個b-度量， 令τ是該b-度量誘導(dǎo)的拓撲.容易得到

而對任意r＞0球B(1,r)包含無數(shù)多個元.所以有

雖然b-度量誘導(dǎo)的球B(x,r)不一定是b-度量誘導(dǎo)的拓撲中的開集，但是有以下結(jié)論.

定理1設(shè)(X,d,b)是一個b-度量空間，τ是b-度量誘導(dǎo)的拓撲.則對任意x∈X，任意r＞0，球B(x,r)是拓撲τ中點x的一個鄰域.

證明令A(yù)={h∈B(x,r):?r0＞0,B(h,r0)?B(x,r)}.則對?a∈A，?ra＞0，使得B(a,ra)?B(x,r).下證A是一個開集.

故z∈B(a,ra)，因此有，由A的構(gòu)造方法可知從而A是一個開集，球B(x,r)是點x的一個鄰域.

定理2設(shè)(X,d,b)是b-度量空間，τ是b-度量誘導(dǎo)的拓撲，則對是點x的鄰域基.

證明任取U∈τ，任取x∈U，由引理1 知?r0＞0 使得B(x,r0)?U.取n0∈N+使得則對有

推論1每個b-度量空間都是第一可數(shù)的.

利用定理1和定理2可以對文獻[5]的引理2.1和引理2.2給出嚴格的證明.

定理3每個b-度量空間都是Hausdorff的.

證明設(shè)(X,d,b)是b-度量空間，任取X中不同的兩點x,y，令d(x,y)=r.由定理1可得B(x,r4b)是點x的一個鄰域.下證

這顯然是不可能的，故不存在這樣的z，即

定理4每個b-度量空間都是正則的.

證明設(shè)(X,d,b)是b-度量空間，τ是b-度量誘導(dǎo)的拓撲.任取x∈X，任取U∈τ使得x∈U.下證存在V∈τ，使得

則由定理1的證明過程可得V∈τ，并且有

下證

3 結(jié)束語

首先指出Kunzi 等在拓撲學(xué)權(quán)威期刊TopologyandItsApplication上發(fā)表的論文中一個漏洞; 其次證明了b-度量誘導(dǎo)的球是球心的一個鄰域，從而使得了Kunzi 等的證明更嚴謹； 最后重新證明了每個b-度量空間是Hausdorff 和每個b-度量空間是正則的.對于b-度量空間，可以進一步考慮每一個b-度量空間的完備化和全有界等性質(zhì).