不等式的非負分拆新探

劉保乾

（西藏自治區組織編制信息管理中心，西藏 拉薩 850000）

1 引 言

在不等式的證明中，配平方證明是一個傳統而自然的選擇.當配方不容易達成時，人們將目光轉向了非負分拆，即當把一個式子分拆成若干非負項之和后，不等式自然就被證明了.在三角形中，周長s、外接圓半徑R 和內切圓半徑r 是三個基本量，因而關于s，R，r 的不等式就是最基本的對稱不等式類型.1998 年，褚小光通過把三角形中s，R，r 的不等式拆成若干非負項之和的形式證明了一類不等式，例如文獻[1-2]中的Shc29，Shc31，Shc46（d）等不等式難題，就是通過這種方法證明的.文獻[3]陳勝利等利用schur分拆證明了一類多項式不等式.文獻[4]對一類四元五次對稱不等式分拆進行了探討.文獻[5]借助于隨機數驗證程序實現了一類不等式的非負分拆證明.文獻[6]進一步研究了三角形幾何不等式的s，R，r 非負分拆.文獻[7]何燈研究了一類三元對稱分式的平方型分拆.本文擬對不等式的非負分拆作進一步探討.

2 算法

2.1 非負分拆單元

要把一個不等式分拆成若干非負項之和的形式，就需要構造一些基本的非負分拆單元.所謂非負分拆單元是指由一些著名不等式或已有結果得到的非負表達式.文獻[6]中列出了三角形中一些非負分拆單元.事實上，按照不等式證明的多樣性要求，非負分拆單元是開放的，原則上一切證明了的不等式都可作為非負分拆單元列入.

下面列出三角形中一些基本常用且被人們所熟知的非負分拆單元：

另外還有非負分拆單元

v1＝s4－2rs3－2r（8R－r）s2＋6r2（4R＋r）s＋r2（4R＋r）2.

v2＝s4＋（－8R2－4Rr－10r2）s2＋16R4＋16R3r＋44R2r2＋28Rr3＋5r4.

v3＝9s6－r（－r＋180R）s4＋r2（584R2＋55r2＋384Rr）s2－r3（4R＋r）3.

其中v1≥0 可以通過展開

獲得證明.v3≥0 可通過展開

（3a2－（b＋c－a）2）2（b－c）2＋（3b2－（a＋c－b）2）2（c－a）2＋（3c2－（a＋b－c）2）2（a－b）2

得到證明.這三個非負分拆單元均有特殊的零點.注意在本文后面的例題中要多次用到上述非負分拆單元.

對于多項式不等式，schur 型不等式可以作為非負分拆單元使用.本文所述的算法中多采用的是一些平方和類分拆單元，例如對于3 元對稱式，分拆單元通式一個可能的形式為

（1）式中sym 表示完全對稱求和.如果欲分拆的不等式是關于部分變元局部對稱的，則可將（1）式中的求和號取掉得到局部對稱不等式的非負分拆單元.對于4 元，有兩種通式，分別是

對于（2）式，由于基本對稱項關于變元x2，x3，x4對稱，故求和后共有4 項，求和通式是

對于（3）式，由于基本對稱項關于變元x1，x2對稱（或者關于x3，x4對稱），故求和后共有6 項，由文獻[9]知求和通式是

對5 元，當基本對稱項關于xi，xj對稱時，完全對稱求和公式是

由這些求和公式可方便地寫出多元時具體的非負分拆單元.

2.2 quo-rem 非負分拆方法

quo 是Maple 語言多項式相除命令，返回值是兩個多項式相除的商式；而rem 是Maple 語言的另一個多項式相除命令，返回值是兩個多項式相除的余式.利用quo 和rem命令，結合文獻[10]中的隨機數驗證程序就可以得到一個非負分拆方法.由于這個方法和這兩個Maple 命令有關，故稱這個方法為quo-rem 非負分拆方法.下面以三角形中的s，R，r 不等式為例來說明分拆算法.

設有ΔABC 中的齊次不等式f≡f（s，R，r）≥0，其中s 是ΔABC 的半周，R 是外接圓半徑，r 是內切圓半徑.有如下分拆算法QUOREM：

1.將f 按s 的降冪整理（按R 或r 的降冪整理也可）

2.構造非負分拆單元集S.

3.在S 中取一個非負分拆單元p1去除f，得商式f1，余式g1，從而得分拆式f＝p1f1＋g1.

4.用隨機數驗證程序檢測f1和g1是否非負，如果是則輸出非負分拆式f＝p1f1＋g1.同時檢測S 中的非負分拆單元是否已經取完？如果取完則停機.如果還沒有取完，則轉向3.繼續分拆.

QUOREM 分拆算法得到的分拆結果可能不止一個，也可能一個也得不到，這主要取決于分拆單元集S 的取法以及不等式f≥0 的強弱，因而QUOREM 分拆算法是試探性的.用QUOREM 分拆算法可以編寫分拆程序qure，這個程序作為不等式自動發現與判定程序agl2012 的一個模塊運行.

評注1 在應用qure 分拆程序時，實際上是逐次進行的，即先求出分拆式中的f1和g1，觀察非負特征是否明顯，如果次數高或非負性不明顯，則繼續用qure 命令對其進行分拆，即程序運行的方式是人機互動的半自動方式進行的.

評注2 在輸出的結果中，如果g1的形式是若干因式的乘積，這種分拆結果最為理想，因為這意味著已經對f 降次了.

3 分拆實例

例1 ΔABC 中，wa，wb，wc是角平分線，證明不等式

其中∑表示循環和（下同）

證明 在不等式自動發現與判定程序agl2012 環境下，鍵入命令：

＞zzprg（wa/（3*r），tan（（1/2）*A）^2，1）；

則輸出放縮式

不等式（8）容易證明.由（8）式知，要證不等式（7），只需證更強式

下面用qure 命令分拆f.連續使用qure 命令可得如下非負分拆式

其中

由于f3＞0 顯然成立，又用Euler 不等式R≥2r 易證gi≥0（i＝1，2，3）成立，因此由（9）式知f≥0 成立，從而不等式（7）獲證.

類似可證ΔABC 中的不等式

對于銳角三角形，分拆命令是qurer j，程序完全一致，只是加入了銳角三角形非負分拆單元數據而已.

例2 在銳角ΔABC 中，證明不等式

證明 由柯西不等式，要證（11）式，只需證更強式

不等式（12）化成用s，R，r 表示的形式為（注意下面的f 表達式有省略）

f＝r2s8－（16R4＋16Rr3＋16R2r2－4r4）s6…≥0.

鍵入命令：

＞qurerj（f）；

輸出分拆式

3（R－r）4f＝3f1u10＋3r5u1g1.

其中

g1＝－8r8－20Rr7－6R2r6＋73R3r5＋80R4r4－56r3R5－160r2R6＋32rR7＋64R8.

f1＝－r2（R－r）3s6＋（16R5－18r4R＋12R3r2＋5r5－16R4r）（R－r）2s4…

（注意f1表達式有省略）由于g1有非負分拆式

g1＝64u18＋1 056ru17＋7 456r2u16＋29 384r3u15＋70 560r4u14＋

105 481r5u13＋95 664r6u12＋48 064r7u1＋10 240r8＞0.

故要證f≥0，只需證f1≥0 即可.為此，鍵入命令：

＞qurer j（f1）；

輸出分拆式

3f1＝3（R－r）（2R＋r＋s）u4f2＋3r2g2.

其中

f2＝－r2（R－r）2s4＋（R－r）（6r5－15r4R＋8R3r2－16R4r＋16R5）s2＋

r（64R7－112R6r＋8r4R3－17r7＋68R4r3－45r5R2＋33r6R）.

g2＝－73R3r6＋192R4r5＋32r9－32r3R6＋8Rr8＋64R9－

104R2r7＋56R5r4－144r2R7.

由于g2有非負分拆式

g2＝16 200r9＋116 600r4u15＋40 960r3u16＋9 072r2u17＋1 152ru18＋

64u19＋86 140r8u1＋199 010r7u12＋262 007r6u13＋216 560r5u14＞0.

故要證f1≥0，只需證f2≥0 即可.但f2≥0 易證，從而不等式（11）獲證.

對于代數不等式，quo-rem 非負分拆方法仍是適用的.由對稱多項式基本定理知，一個對稱型總可以用初等對稱式表示出來，這樣不論是欲證的不等式，還是非負分拆單元均可用初等對稱式表示，從而形成使用Maple 命令quo 和rem 的條件，用類似于s，R，r不等式的方法實現非負分拆.

例3 設x，y，z∈R＋，證明不等式

證明 易證，不等式（13）等價于如下對稱多項式不等式

f＝125σ2σ14－989σ3σ13－432σ2σ3σ1＋216σ32≥0.

其中σ1＝x＋y＋z，σ2＝xy＋yz＋zx，σ3＝xyz.為證明不等式f≥0，鍵入命令：

＞qureds（f）；

則輸出分拆式：

f＝（125σ2σ1－989σ3）（σ13－4σ2σ1＋9σ3）＋（500σ2σ1－1 013σ3）（σ2σ1－9σ3）.

容易驗證各分拆項都是非負的，例如

σ13－4σ2σ1＋9σ3

＝x（x－y）（x－z）＋y（y－z）（y－x）＋z（z－x）（z－y）≥0

是schur 不等式.而

等，故f≥0 成立，從而不等式（13）獲證.

評注3 在分拆n 元對稱型時，在程序qure 設計中使用Maple 的quo 和rem 命令時，要分別按初等對稱式σi（i＝1，2，…，n）整理完成多項式的相除運算，從而增加非負分拆結果的多樣性.

下面再舉一個局部對稱不等式的例子.

例4 設x，y，z∈R＋，證明當t＝6 時不等式

成立.

證明 當t＝6 時不等式（14）等價于

不等式（15）可變形為（2x－y－z）2f≥0，其中

f＝1 024x10＋（－5 120y－5 120z）x9＋…＋9 054y4z6－

7 800y3z7＋2 047y10－4 082yz9－4 082zy9.

鍵入命令：

＞qureds（f）；

則輸出非負分拆式式（14）獲證.

f＝（2x－y－z）8（4x2－4xy－4xz＋67y2－130yz＋67z2）＋

132（y－z）4（5y2＋12x2＋2yz－12xz－12xy＋5z2）×

（2x2－2xy－2xz＋y2＋z2）（3y2－10xy＋10x2＋4yz－10xz＋3z2）≥0.

從而不等

例5 設x1，x2，x3，x4∈R＋，證明不等式

證明不等式（16）去分母后等價于多項式不等式

f＝2σ14－7σ2σ12＋9σ3σ1＋16σ4≥0.

其中

σ1＝x1＋x2＋x3＋x4，σ2＝x1x2＋x2x3＋x3x4＋x1x4＋x1x3＋x2x4，

σ3＝x3x4x1＋x4x1x2＋x1x2x3＋x2x3x4，σ4＝x1x2x3x4.

下面對f 逐次進行分拆.用qureds 命令對f 分拆一次，得

其中

對f1再分拆一次，得

其中

令h（x，y，z）＝x（x－y）（x－z）＋y（y－z）（y－x）＋z（z－x）（z－y），則由schur 不等式知h（x，y，z）≥0，容易驗證

故由上述分拆式知，f≥0 成立，從而不等式（16）獲證.

例6 設x1，x2，x3，x4，x5∈R＋，證明不等式

證明 不等式（17）等價于f＝σ23－10σ32≥0，在本例中σi（i＝1，2，3，4，5）表示5 元初等對稱式.鍵入命令：

＞qure5yt（2，6，f）；

得分拆式

其中

f1＝3σ22＋10σ4－7σ3σ1.

f2＝49σ23σ12－90σ24－1 000σ42－600σ22σ4.

因為

而f1≥0 已證，對σ3σ1－10σ4進行分拆得

其中

2M＝（x1－x2）2x3x4＋（x1－x2）2x3x5＋（x1－x3）2x2x4＋（x1－x3）2x5x2＋

（x1－x4）2x3x5＋（x1－x4）2x5x2＋（x1－x5）2x2x4＋（x1－x5）2x3x2＋

（x2－x3）2x4x1＋（x2－x3）2x4x5＋（x2－x4）2x1x3＋（x2－x4）2x3x5＋

（x2－x5）2x1x3＋（x2－x5）2x4x1＋（x3－x4）2x5x1＋（x3－x4）2x5x2＋

（x3－x5）2x2x4＋（x3－x5）2x4x1＋（x4－x5）2x1x3＋（x4－x5）2x2x1≥0.

4N＝（x1－x2）2x4x5＋（x1－x3）2x5x4＋（x1－x4）2x2x3＋（x1－x5）2x3x4＋

（x2－x3）2x5x1＋（x2－x4）2x1x5＋（x2－x5）2x3x4＋（x3－x4）2x1x2＋

（x3－x5）2x2x1＋（x4－x5）2x2x3≥0.

故成立f2≥0，從而不等式（17）獲證.

評注4 筆者在分拆σ3σ1－10σ4時費盡周折也拆不盡，最后用配方的辦法得到分拆式（18）.有趣的是，在（18）式中，M 和N 均不是對稱式，且兩者的項數相差很大，但按（18）式那樣組合后卻成為了對稱式.如何解釋這個現象？

評注5 另一個同樣有趣的例子是：筆者在將多項式不等式

化成等價的三角形不等式后進行分拆，最后得到三角形中的有趣不等式

不等式（20）的一個特點是：不等式兩邊的量均是符號不確定的量.這類不等式十分罕見，筆者試圖專門構造這類不等式卻沒有成功.

4 一類不等式的非負分拆方法

筆者在研究一個不等式時得到不等式

為了得到不等式（21）富有技巧性的證法，2023 年2 月20 日，筆者將不等式（21）發到“不等式之家”微信群，安徽的翟德玉給出如下解答：

筆者仔細地琢磨了這個解法，發現這個解法頗具有啟發性，且有一定的普遍性，它適用于型如

的不等式的證明.為了便于發現解題規律，下面介紹一下翟德玉對不等式（21）的證明過程.

例7 設x，y，z∈R＋，證明不等式（21）.

證明（翟德玉）

在上述諸項中，一些項含有共同的因子x－y，按這個思路合并相關項，得到

從而不等式（21）獲證.

在這個解法中，最關鍵的思路是“根據相同因子找出相關項進行合并”，最后得到配方式，這構成本解題方法的算法.事實上，根據這個算法，可以編寫出更方便應用的程序cdypf，這個程序可以直接給出型如（22）的不等式配方形式，使用格式是：在agl2012環境下，鍵入命令：

＞cdypf（f（y，z））；

回車即得結果.注意f（y，z）是關于y，z 對稱的一個表達式.

例8 設x，y，z∈R＋，證明不等式

證明 鍵入命令：

＞cdypf（（x^2＋y^2）*（x^2＋z^2）/（（y＋z）*（y^2＋z^2）））；

立即輸出

故不等式（23）獲證.

上述證明型如不等式（22）的方法對多元不等式也是有效的，此時的算法仍是“根據相同因子找出相關項進行合并”.先看一個四元的例子.

例9 設x1，x2，x3，x4∈R＋，證明不等式

證明 不等式（24）等價于

從而不等式（24）獲證.

例10 設x1，x2，x3，x4，x5∈R＋，證明不等式

證明鍵入命令：

＞cdypf5y（（x2*x3＋x3*x4＋x2*x4＋x5*x3＋x2*x5＋x4*x5）*x1）；

立即輸出（x1－x2）2（x3x4＋x4x5＋x5x3）≥0，從而不等式（25）獲證.

5 結語和問題

quo-rem 非負分拆方法僅用了maple 的多項式運算命令和隨機數驗證程序，故相對來說是比較獨立的.它有如下特點：一是算法是試探性的，分拆是否成功依賴于非負分拆單元數據集中的數據是否豐富，也與不等式的強度有關，很強的不等式一般不容易分拆成功.二是運算效率比較高，不論是多項式運算還是隨機數驗證，很快就能出結果.三是可以處理較高次數的不等式，這是quo-rem 非負分拆方法的獨特優勢.四是可以向多元不等式進行推廣.由于非負分拆單元數據集是開放的，隨時可以將已知的結果補充進去，這些都增加了quo-rem 非負分拆方法的實用性.

文獻[4]指出，“由于分拆，暴露了對稱多項式不等式內部的結構或框架，這有可能使我們根據這些看得見的線索，把一些較深刻的結果揭示出來.”分拆往往能夠使我們看見一些新的東西，本文評注4 和評注5 又提供了兩個新鮮的例子.

最后再提一個n 元不等式問題：設n 個正數xi（i＝1，…，n，n≥3）分成兩組，第1 組有t 個數，且這t 個數的積記為M，第2 組數的和記為S，作商對求完全對稱和得表達式又記f（x1，x2，…，xn）＝證明不等式

現列舉幾個具體的不等式.例如，當n＝4 時，對應于（26）式有不等式

n＝5，t＝3 時有不等式

n＝6，t＝4 時有不等式

等等.