通過易錯題解析提高小學生的數學應用能力

☉劉 杰

數學是一門邏輯性很強的學科，同時又是一門實用領域廣闊的學科。小學數學教學，在注重數學知識學習理解的基礎上，要培養和發展學生的思維能力，讓學生形成解決問題的能力。由于數學學科中概念定律多，大多數知識都是通過數字、圖形和文字共同表述的，學生理解起來相對難度加大了，在解決一些比較復雜的數學問題時難免會出現差錯。如果不及時對出現的錯誤進行糾正，學生可能還會出現同樣的錯誤，這種錯誤不斷持續，勢必會打擊學生學習數學的信心，泯滅對數學學科的興趣，以至于逐漸失去學習數學的動力，最終對數學產生厭煩心理。因此，必須讓學生掌握解決問題的正確方法，通過解決數學問題樹立學習數學的信心，進而提升解決問題的能力。

解答數學問題，是數學教學中必須面對的一大板塊。數學學科包羅了許多數學知識，這些知識都跟學生的生活密切相關。因此，學習數學，一定要聯系生活實際，尤其要聯系生活中遇到的具體問題。一邊學習，一邊實踐。當學生在解答數學問題的過程中出現錯誤，一定要幫助學生找到出現差錯的原因，然后對癥下藥，及時幫助學生找到正確的應對策略，科學解答數學問題。學生在解答數學問題時出現錯誤的原因是多方面的，因此，教師要有多種應對的策略，幫助學生及時糾正錯誤。本文著重對學生解答數學問題時出現的典型錯誤進行分析，幫助學生掌握解決問題的科學方法，樹立解答疑難問題的信心，以使學生在今后的數學學習中少犯錯誤，準確掌握數學知識，科學解答數學問題。

學生解答數學問題，會出現多種多樣的錯誤，這里選擇幾種具有普遍性的問題試診幾例。

一、邏輯推理不準確

【病癥】學生面對問題不能正確梳理出相互之間的關系，未能按照內在的邏輯關系進行推理，僅憑直觀形成判斷，推理過程中條理不清晰，邏輯混亂，致使結果錯誤。

例1：一輛客車上有父子3人，母子3 人，兄妹3 人。客車上最少有幾個人？

學生面對這道題，看到“父子3 人，母子3 人，兄妹3 人”，有三個“3 人”，覺得客車上的人就應該是這三個“3”的和，馬上就寫出結果。

3 ＋3 ＋3 ＝9（人）（×）

我們可以引導學生進行分析：父子3 人＝父親＋兒子＋兒子；母子3 人＝母親＋兒子＋兒子。從這里可以看出有兩個兒子，那么兄妹3 人＝兩兄弟＋妹妹，綜合起來，客車上的人員應該是父親＋母親＋兒子＋兒子＋女兒＝5人，所以客車上至少有5人。

通過這樣的分析，我們可以明顯看出，學生一開始給出的客車上有9 人的答案是錯誤的。為什么會出現這種情況呢？關鍵是學生剛剛看到這個問題時，只是看了一下題目中告訴的數字，共有3個“3人”，沒有考慮“至少”到底有什么隱射意義，沒有探究數字之間的邏輯關系，只把3 個3 加起來就得出結果。

例2：公共汽車到站下來了8人，又上來了4 人，現在車上有16人。問公共汽車上原來有多少人？

看到題目，學生進行了這樣的分析，現在公共汽車上的人數，加上到站后上來的人數，再減去到站后下去的人數，就是公共汽車上原來的人數，所以，計算式為：16 ＋4－8 ＝12（人）即公共汽車上原來有12 人。到底學生的這種推理是否合理，我們畫一個線段圖來看一下。

到站后下來的8 人，加上公共汽車上現在的16 人，正好是公共汽車上原來的人數，加上到站后上來的4 人。那么，公共汽車上原有的人數就是到站后下來的8人，加上公共汽車上現在的人數，減去到站后上來的4 人，列式計算應該是：8 ＋16－4 ＝20（人）。

顯然，原來的計算是錯誤的。在學生看來，應該把到站后下車的8 人減去，把到站后上來的人數加上。學生搞錯了邏輯關系，因此，學生的推理是錯誤的，才導致結果錯誤。

【治療】解答數學問題必須杜絕望文生義，一定要理順已知條件之間的相互關系，要按照一定的邏輯關系進行推理。分析問題要細致，推理過程要嚴密，邏輯關系要清晰。只有這樣，才能在解決問題時得到正確的答案。［1］

二、知識和實踐脫鉤

【病癥】學生未能將學習知識和實踐應用融為一體，學習的知識與解決實際問題脫鉤，不能根據具體的問題形成準確的判斷。

例1：小明到商店去幫奶奶買大米，一袋大米的價格是75 元。

（1）如果小明帶的錢全是面值10 元的人民幣。小明買一袋大米至少要付幾張面值10 元人民幣？

（2）如果小明帶的錢正好夠買一袋大米，那么他最多帶幾張面值是10 元的人民幣？

在解答第一個問題時，當學生看到這個題目的時候，會馬上想 到75 是 由7 個10 和5 個1 組成的，那么學生就會得出最少要付7 張面值是10 元的人民幣。其實，學生的這種想法是不正確的，他們忽略了“如果小明帶的錢全是面值10 元的人民幣”這句話。因為小明沒有面值更小的人民幣，所以他不能付給營業員5 元的零錢，只有給面值10 元的人民幣讓營業員去找。付給7 張面值10 元人民幣，肯定不夠。因此，這道題的正確答案應該是小明至少要付8 張面值10 元的人民幣。

在解答第二個問題時，學生又會這樣想，75 看作整十數時，就約等于80。那么，小明最多有8 張面值10 元人民幣。學生的這種判斷又出現了錯誤。問題的關鍵在于學生未能仔細揣摩，忽視了題目中說的“如果小明帶的錢正好夠買一袋大米”這句話，“正好”二字說明小明帶的錢是75元，不多也不少。而在75 元中，最多有面值是10 元的人民幣7 張。所以，他最多帶7 張面值是10 元的人民幣。

例2：一個置物架，進價是63 元，售價是78 元，老板在出售時收了一張100 元假幣。問：老板虧了多少元？

學生在解答這道數學問題時產生了兩種想法。

學生甲：置物架的進價是63元，售價是78 元，賣出后老板應該獲得的利潤是78 － 63 ＝15（元），現在收了假幣，老板的利潤沒有了，所以老板虧了15 元。

學生乙：置物架的售價是78元，老板收到100 元假幣，應該找 出100 － 78 ＝22（元），所以老板虧了22 元。

其實，學生甲和學生乙的思考過程都不正確。學生甲忽略了置物架的成本以及收回100 元假幣后老板找出的錢，他計算的是老板應該獲得的利潤。而學生乙卻忽略了置物架的成本。正確的思考過程應該是老板收回了100 元假幣，相當于老板一分錢也沒有收回。老板收到假幣后，商品的售價是78 元，所以他要找回100－78 ＝22（元），這22 元是老板一分錢也沒有收回的情況下多找出的。所以，老板虧損的錢數應該有兩部分，一部分是商品的進價，這是老板必須支付的；一部分是老板找出的錢。

即為：63 ＋（100－78）

＝63 ＋22

＝85（元）

因此，老板總共虧損了85元。

【治療】學習數學知識一定要做到活學活用，要掌握應用所學數學知識解決實際問題的辦法，提高解決實際問題的能力。在解決具體數學問題時要針對具體問題進行判斷，挖掘隱藏的條件，進行合理的推理和務實的判斷。切忌顧此失彼，丟三落四，最終造成錯誤判斷，在解決問題的過程中出現差錯。［2］

三、未能準確掌握數學概念

【病癥】在解答數學問題時由于概念模糊，不能形成準確判斷，時常會出現張冠李戴的現象。甚至由于概念不清鬧出笑話。

例：某村要修一條鄉村公路，調來一臺壓路機。這臺壓路機的滾動輪寬2 米，滾動輪的直徑是1．5 米。這臺壓路機一分鐘滾動9周。這臺壓輪機一分鐘前進了多少米？一分鐘壓路多少平方米？

學生面對這道數學問題，是這樣進行分析的。他覺得壓路機的直徑是1．5 米，滾動輪一分鐘轉到9 周，那么壓路機一分鐘前進的米數就是直徑乘9，即為：1．5×9 ＝13．5（米）。

壓路機一分鐘壓路就是：

1．5×9×2

＝13．5×2

＝27（平方米）

還有個別同學把壓路多少看成是求滾動輪的體積。最后牽強附會把單位寫成平方米。

學生的這種分析，實際上是把滾動輪前進1 周的距離看成了滾動輪的直徑，顯然這樣的判斷是錯誤的。之所以出現這樣的錯誤，是因為學生對圓柱體的相關概念比較模糊，再加上題目設計比較含蓄，面對具體的數學問題，學生的思維更加混亂，只能憑著個人的感覺牽強附會去解答，缺乏嚴謹的治學態度。

正確的分析應該是滾動輪每轉動一周，前進的路程是滾動輪的周長，也就是直徑乘圓周率。即為1．5×3．14 ＝4．71（米），因為一分鐘轉動了9 周，所以前進的距離是4．71×9 ＝42．39（米）。

綜合算式為：

1．5×3．14×9

＝4．71×9

＝42．39（米）

壓路的面積應該是前進的距離乘滾動輪的寬，即為42．39×2＝84．78（平方米）。

綜合算式為：

1．5×3．14×9×2

＝4．71×9×2

＝42．39×2

＝84．78（平方米）

【治療】在平時的數學學習中要求學生準確掌握知識，尤其是數學當中的概念，要形成準確清晰的認識，不得馬虎。對于那些容易產生混淆的概念，一定要采用比較法去弄清概念之間的區別和聯系，學習知識絕不能馬馬虎虎，要養成嚴謹的治學態度。

四、分析問題表面化

【病癥】面對一道數學題目，學生不認真讀題，未能理解問題和已知條件之間的邏輯關系，片面理解，靠定勢思維去解決問題，不能梳理出內在的聯系。

例：一項工程，計劃5 天完成，實際4 天完成了，工作效率比原計劃提高了多少？

學生面對這道數學問題會這樣進行思考推理：先算出原計劃完成工程的工作效率，再算出實際完成工程的工作效率，然后從實際完成的工作效率中減去計劃完成的工作效率，就是實際比計劃完成工程提高的。

即：1÷5 ＝20%

1÷4 ＝25%

25%－20%＝5%

所以，工作效率比原計劃提高了5%。學生的這種思考方法是錯誤的。

正確的做法是先算出原計劃完成工程的工作效率，再算出實際完成工程的工作效率，從實際完成的工作效率中減去計劃完成的工作效率，就是實際比計劃完成工程提高的。學生的這些思考沒有問題，題目要求我們求的是提高的工作效率是原計劃的百分之幾，所以還要進行計算實際比原計劃完成工程提高的工作效率，除以原計劃完成的工作效率，再乘以100%，才是工作效率比原計劃提高的。

即：5%÷20%

＝0．25

＝25%

【治療】數學問題的分析解答，需要學生從感性認識深入到理性認識，對問題中描述的各種現象進行細致的分析。發揮抽象思維，通過不同層面的嚴密推理得出科學的結論。

總之，學生在解答數學問題時會由于對概念把握不夠精準，對問題分析不夠透徹，邏輯推理過程不夠嚴密，而在解決問題的過程中出現錯誤。面對學生出現的錯誤，教師要積極引導學生進行反思，特別要透徹理解問題描述中的關鍵詞語，找到導致錯誤的原因，找到正確解決問題的路徑和辦法，幫助學生建立正確的思維觀，養成嚴謹的治學態度，并不斷提升學生解決問題的能力，增強學習數學的信心，最終達到學以致用。