循證視域下小學數學實驗教學的實踐探索*

孫云卓

循證，顧名思義，即基于證據。循證實踐和數學實驗教學既有相似之處又互相輝映。從教的維度來看，數學實驗教學注重以收集數學實驗證據為前提，并能依據證據確定數學實驗目標、優化數學實驗內容、完善數學實驗過程，形成“教—學—評”的一體化鏈條；從學的維度來看，在數學實驗過程中，學生能學會發現證據、理解證據、診斷證據，并能圍繞證據分析和解決問題、自主建構數學模型，從而培養批判性思維、質疑能力以及循證意識，積累數學實踐經驗，習得數學思想方法，發展核心素養。因此，在基于循證理念的數學實驗教學中，需要教師合理規劃實驗主題激發學生的興趣，依循證據動態指導學生開展數學實驗，在“教—學—評”一致的實驗反饋中逐步發展學生的數學學科素養。

一、起點性確認：基于學情證據設計數學實驗

數學實驗不僅可以在課堂中的新知探究環節發揮作用，還可以在前置設計環節使教師更好地把握學生的學習起點。如此，不僅可以避免教師的教過于依賴經驗、學生的學過于依賴模仿，還能提高基于核心問題探究的數學實驗的效度和匹配度。

1.設計前置性實驗，把握學生的經驗起點

學生在低年級時已經直觀認識了長方體、正方體、圓柱和球等一些立體圖形，中年級時又學習了長方形和正方形的特征、周長與面積，因而對長方體和正方體已經有了空間感知經驗和思維經驗。因此，在教學蘇教版六上“長方體和正方體的認識”前，教師設計如下前置性實驗。

實驗主題：給長方體做一張名片。

實驗工具：生活中形狀是長方體的物體、小棒、橡皮泥等。

實驗步驟：（1）找一找，到生活中找一找形狀是長方體的物體；（2）寫一寫，請你從不同角度介紹一下長方體；（3）做一做，請用小木棒或橡皮泥做一個長方體；（4）選一選，圖1中有8個圖形，選出其中的6 個圍成一個長方體，這6 個圖形的編號分別是（）。

（圖1）

初步的實驗結論：長方體是______的圖形。

實驗步驟（4）的8 個圖形中，僅有②③是干擾項。如果學生明晰長方體和正方體面的特征，很容易就能做出選擇。這一關系性實驗，為學生通過觀察推理、實驗操作發現長方體和正方體的特征奠定了基礎，能促進學生對圖形特征展開關系性建構——通過整體感知三維立體圖形形成空間知覺，在對平面圖形一維、二維的局部探究中獲得空間想象，通過研究三維立體圖形形成空間觀念。

2.設計前置性實驗，把握學生的認知起點

教學“平行四邊形的面積”，不少教師認為學生很容易想到平行四邊形的面積等于底乘高，在學生的實驗探究中只關注或只為了得到一個正確結果，而忽視他們的探究和推導過程，導致其獲得的思維經歷和經驗不足，只是機械地記住了計算公式。因此，教學之前，筆者設計如下前置性實驗，調研學生的認知起點。

實驗主題：嘗試計算平行四邊形的面積。

實驗工具：平行四邊形等。

實驗步驟：（1）猜一猜，平行四邊形的面積計算方法可能是怎樣的？（2）寫一寫，把你的想法寫下來；（3）想一想，平行四邊形的面積大小可能與什么有關？

初步的實驗結論：我認為，平行四邊形的面積是這樣計算的_________________________。

通過分析學生的實驗過程和結果，筆者發現，學生雖然在日常生活中常常接觸到平行四邊形，但他們對平行四邊形的面積計算公式及其內在原理理解得并不透徹，而且還受到長方形面積計算公式的負遷移影響，采用“鄰邊相乘”這種方法的學生占一半以上。如何讓學生真正經歷計算公式的推導過程，并在推導過程中滲透轉化思想，培養學生的歸納和推理能力，就成了教師要思考的問題。

二、核心化探究：依據動態循證展開數學實驗

基于循證實驗線索展開數學核心概念的學習，不僅能讓學生更好地親歷再創造知識的過程，還能激發他們發現問題、主動提出問題、積極探索的興趣，循證實驗以數學探究活動為載體，讓學生在實驗過程中獲取一手數據，并在采集和分析數據的基礎上理解數學概念，積累數學經驗，習得數學方法，發現數學規律、法則和定理，建立數學模型。

1.確定實驗主題，設計教學中的循證脈絡

數學循證實驗主題來自數學單元或課時中的核心問題，核心問題指向的往往不是一個知識點，而是理解和探索一個大概念。如教學“圓的面積”，筆者確定的實驗主題是“圓如何轉化成我們學過的圖形？你能嘗試推導圓的面積計算公式嗎？”。選擇這一主題，是源于前置的實驗數據采集，數據顯示：有82%的學生能回顧并利用轉化思想推導出已學直線圖形的面積計算公式，有43%的學生認為圓也能轉化成學過的圖形，但成功轉化并推導出圓的面積計算公式的學生只有10%。在實驗中，筆者引導學生將其他平面圖形面積的推導方法遷移到本課中。教材中直接將圓16 等分，這對學生而言是有難度的，所以筆者引導學生從2 等分—4 等分—8等分—16等分—32等分，由易到難、循序漸進，把實驗重心放在讓學生理解如何把圓無限平均分割并轉化成一個長方形，從而順利找出“數量之間的聯系”上。這樣的實驗主題選擇與過程優化，為教學難點的突破及學生思維的飛躍奠定了基礎。

2.指導實驗過程，把握學程中的動態證據

在數學實驗教學中，教師不僅要注重確定實驗主題、設計實驗單，還要關注學生的參與度，引導他們經歷知識的再創造過程。教師要注意通過觀察尋找學生在實驗過程中的動態證據，了解學生的思維狀態和走向，進而有效地指導學生深度學習。例如，學生一年級時已經初步認識了方向。二上《觀察物體》一課的教學，旨在引導學生在充分觀察的實驗活動中習得觀察方法，發展觀察能力，使他們能根據物體每個面的關鍵特征判斷站在物體的前、后、左、右位置所看到的圖像。為了使學生能夠在數學實驗中自主進行探究，實驗問題的表述與實驗步驟的指導更需明確清晰。如“坐在你自己的位置上，平視物體，把你看到的樣子畫在①號作業紙上”，讓學生在已有經驗的基礎上，觀察、記錄物體的一個面是什么樣的。接下來，教師進一步提出要求，如“交換位子繼續觀察，平視物體，把你看到的樣子畫在②號作業紙上”，讓學生感受到一個物體不同的面是不一樣的。通過這樣有步驟、有層次的實驗設計，學生能夠輕而易舉地直觀感受到一個物體不同的面是不一樣的。

3.分析實驗結果，運用典型證據展開反饋

數學循證實驗是“遵循證據進行實踐”在數學學習中的具體行動表現。證據的采集源于實驗過程中學生的學習行為表現，證據采集后的恰當運用才能真正優化學與教的過程，提升學與教的效果。如在教學“乘法分配律”時，教師創設“購買運動會服裝”這一真實問題情境，并將這一問題轉化為數學實驗1，引導學生對若干組算式的計算結果進行觀察比較，從而使他們產生積極的猜想。在學生形成分配律模型的階段，采用數學實驗2，引導學生通過大量例證來驗證自己的猜想，學生由于知識有限，基本上只能通過幾個式子采用不完全歸納的方式得出結論。接著，在模型的拓展、解釋、運用階段，教師設計數學實驗3，對乘法分配律中順向分配、逆向合成、分配變式、合成變式進行實驗檢驗。發現前兩次學生雖然經歷了“猜想—驗證—建模”的過程，但習得的基本上都是乘法分配律的“形”，而非乘法分配律的“神”，沒有達成對乘法分配律本質意義的理解。因此，需要對前兩個實驗進行優化完善，如增加變式、舉例等，并借助生活原型、圖形模型、算式模型的比較抽象等實驗環節，將合情推理與演繹推理結合起來，促進學生真正達成概念性理解。

三、“教—學—評”一致：指向循證有據的表現性評價

數學實驗教學的科學性決定了對學生素養發展方面的評價不是簡單的經驗判斷，而要以他們的具體表現作為依據。數學實驗中的表現性評價以真實的問題情境為基石，將作業、實驗單、評價單、合作單、思維導圖、視頻等實驗原創性作品作為過程性檔案，真正落實“教—學—評”一致性，為教師的教學決策、學生的學力成長找到可靠的證據。

1.編制表現性任務清單

在教學中，對學生進行表現性評價更加貼合學生實際。表現性評價是指在真實情境中完成相應的實驗任務，并在實驗過程中形成相應的作品（作業）。教師需對學生在這個過程中習得素養的情況給予評價，評價指向學生問題解決關鍵能力的培養，而非只關注對錯。如教學“長方形和正方形的認識”，筆者讓學生自己創造長方形和正方形。首先，提供小棒、紙張、釘子板、三角尺等學具，讓學生借助釘子板評價自己的操作結果；其次，利用兩副三角尺拼一拼，評價凸顯長方形和正方形角的特征；再次，利用6 根小棒創造長方形，評價長方形和正方形邊的特征；最后，利用畫方格的辦法，在交流評價中對比發現長方形的長和寬。教師精心挑選具有代表性的學生案例，并分別對案例進行詳細的描述性反饋。這樣的表現性評價，既指向學生需要達到的學習效果，也為教師了解課程目標的達成情況提供了直接性證據。

2.研發表現性評價工具

表現性評價主要包含表現目標、評價任務、評分規則等三個要素。因此，在數學循證實驗中開展表現性評價，需要圍繞教學目標、實驗內容、實驗過程等形成評價量表，并以任務的形式發給學生，作為學生在實驗過程中實現相應素養發展的依據。如教學“三角形的內角和”，教師創設“班里窗戶玻璃被打破，需要配置相應的玻璃（不完整的三角形）”的真實問題情境，然后設計實驗過程、分配實驗角色，學生同時面臨選一選、分一分、看一看、做一做、想一想等五大挑戰。實驗任務單（如圖2）伴隨學習進程，同時融入實驗步驟和方法，學生每個階段的學習作品（文字、畫圖、算式、視頻等）均是表現性評價的依據，實驗評價單（如下頁表1）的設置則能使表現性評價更加客觀而合理。

表1 《三角形內角和》實驗評價單

圖2 《三角形內角和》實驗任務單

3.建立表現性評價檔案

每個學生在實驗過程中的任務單、評價單以及量規等均作為其表現性評價檔案。學期結束，我們均要分年段讓學生在真實的問題情境中經歷數學實驗的過程性評價，低年級的表現性評價任務為“微合作：同桌合作完成一項數學實驗”，中年級的表現性評價任務為“微研究：四人小組合作用數學實驗探索一個新的問題”，高年級的表現性評價任務為“微項目：用實驗的方式跨學科實踐綜合項目”，三種表現性評價任務均聚焦真實情境中的具體問題，以數學實驗為載體，讓學生經歷“任務選擇—小組組成—設計實驗單—選取實驗工具—經歷實驗過程—教師參與指導—小組合作分享”的活動過程。教師通過數字化平臺，全方位地采集學生在實驗中形成的數據信息，后臺自動生成每個學生的數學實驗報告。

綜上所述，在循證視域下，無論是開展前置性實驗為學情診斷提供證據，還是展開核心探究經歷實驗中動態證據的調控反饋，抑或是生成數字化表現性評價報告，把握學生對核心概念的理解情況，考查學生的綜合能力等，都能在一定程度上促進學生數學關鍵能力的發展。