引導學生基于真實經驗有效建構數學概念
——五下《因數和倍數》一課的實踐與思考

牛德芳

受小學生認知能力水平和抽象能力的限制，大部分數學教材中的概念都沒有給出嚴格的定義。學生要想獲得數學概念，必須經歷從具體到抽象、從簡單到復雜、從未分化到分化的過程。關于因數和倍數，蘇教版教材沒有給出直接的定義，而是讓學生基于已有經驗和實際例子，借助幾何直觀（數學模型）和具體算式去描述相關概念，由此促進學生認識概念的本質屬性。下面，筆者根據影響概念學習的因素（學生的經驗和概念學習素材的性質），對蘇教版五下《因數和倍數》這節課進行深度剖析和建構。

一、課前調研：因數和倍數的概念認知

學生在之前的學習中積累了大量區分整除與有余數除法的知識經驗，對整除的含義有比較清楚的認識，為理解“因數和倍數”做了充分的準備。為了弄清學生對因數和倍數學習的真實起點、發展點和延伸點，筆者對4 個班的學生開展了學情調查，發現：其一，在對“因數和倍數”的認知方面，有一部分學生聽過或學過因數和倍數，但其認知的因數、倍數知識只是皮毛而非本質；其二，在對“因數和倍數”的未知方面，學生大多表示想知道它們是什么？為什么？有什么用？甚至有學生認為它們之間存在某種關系。

“經驗”對新概念學習的影響更多表現在概念系統的擴張上，有的學生能從過去的經驗中找出與新概念相關的概念，在比較它們的基礎上建立新概念；有的學生則會受到這種經驗的干擾，產生錯誤的概念理解。因此，明晰學生的認知情況，對于找準教學目標和設計教學內容起到關鍵作用。

二、對癥下藥：描述性概念的教學路徑

根據前期調研情況，結合因數和倍數的概念性知識以及描述性概念教學的特點，筆者認為，教師教學時要引導學生由淺入深、由易到難地明晰“因數和倍數”的基本概念，在新舊知識間找尋共同點和不同點，從而促進他們有效內化新概念。

（一）追本溯源，明晰基本概念的本質

1.厘清概念內涵

如果整數a能被非0 自然數b整除，那么a叫作b的倍數，b叫作a的約數（也叫因數）；如果整數a不能被非0自然數b整除，就表示a不是b的倍數，或者b不是a的約數。蘇教版教材中指出：4×3=12,4 和3 都是12 的因數，12 是4 的倍數，也是3 的倍數。當然，因數和倍數表示的是一個數與另一個數的關系，它們是相互依存的概念，不能單獨存在。

2.弄清概念混淆點

由前期調研不難看出，學生的已有知識經驗對它們認識因數和倍數產生了干擾。所以，弄清概念混淆點至關重要。一是乘法算式中的“因數”與本節課中的“因數”容易混淆。在一道乘法算式中，乘號兩邊的數叫作因數，這個因數是相對于乘積而言的，可以是整數、小數、分數；而本單元的因數是相對于倍數而言的，這里討論的因數和倍數只能是非0 自然數。二是“倍”與“倍數”容易混淆。倍的概念比倍數廣，比如15÷3=5、1.5÷0.3=5，我們可以描述成15 是3 的5倍，1.5 是0.3 的5 倍；如果用倍數描述的話，就是15是3的倍數，而不能說1.5是0.3的倍數，因為只有在整除的情況下才有因數與倍數的關系。

基于以上剖析，借助直觀操作、想象活動、觀察算式等能有效促進學生自主建構起因數和倍數的意義，這樣的概念獲得便是有意義的、生動的。另外，利用混淆點，將那些與新概念相關的舊概念激活，有助于學生透徹領悟新舊概念之間的聯系與區別。

（二）聚焦難點，立足根本施策

1.直觀操作，從具象到抽象

師：用12 個同樣大的正方形拼成一個長方形。每排擺幾個，擺了幾排？用乘法算式表示自己的擺法，并與同桌交流。

教師指圖（以“3×4”為例），并告知學生3、4和12 的因數、倍數關系，然后讓學生說說兩道算式（6×2=12、12×1=12）中的因數和倍數關系。

師：辨析一下2.4×5=12 這道算式，我們能說2.4是12的因數，12是2.4的倍數嗎？

師：擺出的長方形,它的長和寬不可以是小數，也不可以是0嗎？

總結：在研究因數和倍數時，有一個規定——“所說的數一般指不是0的自然數”，（板書：非0自然數）所以2.4不是12的因數。

在上述教學中，筆者首先讓學生經歷擺長方形的過程，結合算式學習因數和倍數的概念性描述，并根據兩道乘法算式（結合圖）完善對因數和倍數的概念認知。然后出示一個反例讓學生進行判斷，并借助其剛剛拼搭的長方形實證出研究因數和倍數時一般指非0 自然數，自然而然將“因數和倍數”與“因數×因數=積”“倍”等易混淆點無痕帶過，促進學生內化概念。

2.想象活動，豐富概念認知

師：根據8×9=72 這道算式，你能想出哪個長方形？說一說，它們之間有什么關系？

師：根據46÷2=23 這道除法算式，你又能想出哪個長方形？它們之間有什么關系？

基于具象到抽象的過程，引導學生反過來進行想象活動，在借助乘法算式建立因數和倍數概念的基礎上，通過除法算式促進學生補充理解，豐富學生的概念認知。

3.多元練習，促進概念體系建構

師：這里有4 個數（板書：4、5、8、16），你能找出它們之間的關系嗎？你是根據哪道算式想到的？

學生根據這四個數說出不同的因數和倍數關系。

師：同學們，這里的8其實挺特別的，8既是4 的倍數，又是16 的因數，那我們能不能說8 是倍數，或者說8是因數呢？

生：不可以！一定要說清楚誰是誰的倍數，誰是誰的因數。

師：是的，我們研究的是因數和倍數之間的關系，不能孤立地說某一個數是因數，某一個數是倍數。

出示課前學情調查單中學生的錯誤，并讓其糾正。

在前面練習的基礎上進行拓展練習，引導學生自主提取正確的因數和倍數關系，題目難度加大，靈活度較高。結合課前學情調查單，再次呈現學生的錯誤，促使他們在對概念知識的重構中更好地內化概念理解。

（三）串聯成線，注重前沿后續

1.展示性學習活動的推進

學習因數和倍數的概念時，筆者是以問題串的形式讓學生來認知和內化的。在探索一個數的因數和一個數的倍數時，筆者通過兩個展示性活動進行推進（下圖1 為其中之一）。讓學生在活動過程中找出一個數的所有因數（倍數），促進他們在互相補充中建構尋找一個數的因數和倍數的方法。

（圖1）

2.思維進階式活動的推動

在找出一個數的因數和倍數時增加了數軸（如圖2），讓學生在思維進階式活動中感受到36 的因數間的關系以及3 的倍數越來越大，從而映射出因數和倍數的特征。

（圖2）

三、教后再思：概念教學的“精致”獲得

其一，立足學生真實水平，有針對性地施教。通過課前小調研，筆者明晰了學生的不同理解水平層次。在開始認識因數和倍數時，筆者設計問題串，并引導學生操作和觀察；在后面探索一個數的因數和倍數時，開展展示性活動和思維進階活動，這些都有助于促進不同理解水平的學生的發展。

其二，明晰概念性學習素材的性質，關注概念形成過程。概念形成過程實質上是抽象出某一類對象或事物共同特征的過程。除了從一些具體實例中區分本質屬性和非本質屬性以外，還要將新舊概念進行聯系和分化，建立概念體系。筆者認為，要關注學習素材的數量，如多次引導學生用小正方形擺長方形，讓他們根據擺放經驗說一說因數和倍數的關系；還要關注學習素材的典型性，如在研究一個數的因數和倍數時，通過數軸突出因數和倍數的特征；反例對深化概念認識也有著重要作用，如將學情調研中學生的錯誤理解作為反例，既有助于他們準確理解概念，又能促進其在概念間建立聯系。

其三，拓寬概念性學習場域，提升學生的概念概括能力。概括能力是學生掌握概念的重要前提。教師要關注學生學習和應用概念知識的過程，豐富學習場域，并適當進行正遷移，促進學生提升概括能力。當然，要讓概念達到結構化和整體化的程度，需要以充分感受為基礎。

總之，在數學教學中，教師應注意引導學生基于真實經驗不斷豐富和完善概念的認知結構，這將有助于他們的概念學習從具體走向抽象、從日常概念走向科學概念。