子流形低階曲率泛函的變分計算與間隙現象

劉進

(國防科技大學系統工程學院,長沙,410073)

1 引言

假設φ:Mn→Nn+p是一般外圍流形中的一個n維緊致無邊的子流形.有時我們選定外圍流形Nn+p為n+p維的空間形式Rn+p(c).當c=1,0,-1 時,Rn+p(c) 分別代表單位球面Sn+p(1),歐幾里得空間En+p和雙曲空間Hn+p(-1).沿著M選定正交活動標架

使得{e1,···,en} 是M的切叢標架,而{en+1,···,en+p} 是M的法叢標架.它們的對偶標架場分別為{θ1,···,θn} 和{θn+1,···,θn+p}.子流形的一個基本事實是: 當限制在M上時有θn+1≡···≡θn+p≡0.

本文約定:

利用活動標架和對偶標架可將子流形φ:Mn→Nn+p的第二基本型表示為

稱H2為平均曲率模長的平方,S為第二基本型模長的平方,ρ為跡零第二基本型模長平方或者Willmore 不變量.顯然三類曲率都是非負的.又因為子流形φ是緊致的,所以H2,S,ρ都有上界.在微分幾何中,有三類重要的子流形分別通過上面三類低階曲率來定義:H2≡0 對應的子流形稱為極小子流形,S≡0 對應的子流形稱為全測地子流形,ρ≡0 對應的子流形稱為全臍子流形.

曲率H2和體積泛函密切相關.體積泛函Vn(φ)=∫Mdv是子流形最簡潔的泛函,其臨界點方程為H2=0.文獻[1,2]計算了該泛函的一階和二階變分公式,討論了其臨界點的穩定性,建立了臨界點的積分不等式,得到如下結論: 如果φ:Mn→Sn+p(1)是單位球面中的極小子流形,則有

曲率S是子流形第二基本型的模長的平方,它測度了子流形和全測地子流形的點態差異.受文獻[6,7]以及經典Willmore 泛函的啟發,文獻[8,9]分別構造了和S相關的如下泛函

其中r是實數,F: [0,+∞)→R 是抽象的光滑函數.文章計算了兩類泛函的第一變分,構造了例子,推導了積分不等式,討論了間隙現象,給出了間隙端點對應的特殊子流形.

除了體積泛函,在微分幾何中，還有一個關于單位球面中的子流形φ:Mn→Sn+p(1)的著名的經典Willmore 泛函

考察三類低階曲率H2,S,ρ=S-nH2和上文中的泛函,自然會思考這樣的問題: 子流形泛函的變分計算是否具有統一的范式? 子流形泛函臨界點的間隙現象是否是普遍規律? 本文給出了肯定的回答.

具體而言,我們構造如下抽象的低階曲率泛函

其中F: [0,+∞)×[0,+∞)→R,F(u,v)是抽象的充分光滑的雙變量函數.必須指出的是,兩類泛函L(I,n,F)(φ),L(II,n,F)(φ)本質上是相同的,只是強調的對象不同.泛函L(I,n,F)(φ)強調曲率S和H2,可以轉化為

泛函L(II,n,F)(φ)強調曲率ρ和H2,可以轉化為

2 結構方程與變分公式

設φ:Mn→Nn+p是n+p維一般外圍黎曼流形中的n維緊致無邊子流形,Φ(·,·):Mn×(-?,?)→Nn+p是浸入映射φ的變分,即

是等距浸入映射并且φ0≡φ.

所以{e1,···,en}是Mn的切叢標架,而{en+1,···,en+p}是Mn的法叢標架.

設ω表示TNn+p上的聯絡形式.通過拉回運算,可假設有如下的分解:

從上面的分解可以推出{V i,V α}是Φ 的變分向量場,即

從第二基本型出發,可以構造一些在變分計算和間隙現象研究中極其有用的幾何量和符號.首先,當子流形φ:Mn→Nn+p的余維數是1 時,Mn是超曲面,此時可構造幾何量和符號:

其次,當子流形φ:Mn→Nn+p的余維數大于1 時,可構造幾何量和符號:

顯然,如下性質成立:

我們使用?,??和?⊥分別代表TNn+p,TMn和T⊥Mn的曲率形式,它們的分量以及基本的代數關系如下:

其中Ψ 代表不包含dt項的曲率形式,P代表與dt相關的1 形式.

根據定義可得

因此,

由文獻[2,29]可知,聯絡形式、余標架和曲率形式滿足如下結構方程

此處ωT,?T分別代表ω,? 的轉置.對結構方程進行拉回運算可得

比較結構方程(2.1)的兩邊,根據微分形式是否含有dt項,可得出多個引理.

由文獻[2,29],我們有子流形張量協變導數的Ricci 恒等式.

最后一個基本的代數引理對本文中所涉及的計算是有用的.

3 泛函的變分計算

為了計算泛函L(I,n,F)(φ),L(II,n,F)(φ)的一階變分,需要兩個引理.

對于曲率ρ=S-nH2,運用上面S,H2的計算立即可得.證畢.

運用引理3.1 和3.2,我們可以計算泛函L(I,n,F)(φ),L(II,n,F)(φ)的一階變分.

定理3.1設φ:Mn→Nn+p是n+p維一般外圍流形中的n維緊致無邊子流形.則有

(i)M是泛函L(I,n,F)(φ)的臨界點當且僅當對任意的指標α∈[n+1,n+p],有

當余維數為1 時,上面的方程變為

(ii)M是泛函L(II,n,F)(φ)的臨界點當且僅當對任意的指標α∈[n+1,n+p],有

當余維數為1 時,上面的方程變為

證明由引理3.1 和引理3.2 以及分部積分的斯托克斯定理,可得

同理，對于泛函L(II,N,F)(φ),有

證畢.

由文獻[2,29]可知,空間形式Rn+p(c)的黎曼曲率張量為

簡單計算可得

結合定理3.1,我們可得如下推論.

推論3.1設φ:Mn→Rn+p(c)是n+p維空間形式中的n維緊致無邊子流形.則有

(i)M是泛函L(I,n,F)(φ)的臨界點當且僅當對任意的指標α∈[n+1,n+p],有

當余維數為1 時,上面的方程變為

(ii)M是泛函L(II,n,F)(φ)的臨界點當且僅當對任意的指標α∈[n+1,n+p],有

當余維數為1 時,上面的方程變為

推論3.2設φ:Mn→Rn+1(c)是n+1 維空間形式中的n維緊致無邊等參超曲面(所有的主曲率為常數).則有

(i)M是泛函L(I,n,F)(φ)的臨界點當且僅當

(ii)M是泛函L(II,n,F)(φ)的臨界點當且僅當

為了構造例子方便,需要展開式(3.1)和(3.2)的第一項.

推論3.3設φ:Mn→Rn+p(c)是n+p維空間形式中的n維緊致無邊子流形.則有

(i)M是泛函L(I,n,F)(φ)的臨界點當且僅當對任意的指標α∈[n+1,n+p],有

(ii)M是泛函L(II,n,F)(φ)的臨界點當且僅當對任意的指標α∈[n+1,n+p],有

證明由引理2.2,在空間形式Rn+p(c)中成立如下的交換規律

利用協變導數公式,反復運用上面的交換律,即可證明推論3.3.

注3.1定理3.1 及其推論統一了文獻[8,9,15-19,22-27]中的變分公式.此外還可以根據函數F的特殊形式得出全新的變分方程.

4 臨界點的例子構造

本節利用定理3.1 及其推論,在單位球面中構造泛函L(I,n,F)(φ)和L(II,n,F)(φ)的臨界點的例子,主要的方法是求解代數方程.

例4.1對于任意的抽象函數F,單位球面中的全測地子流形是泛函L(I,n,F)(φ) 和L(II,n,F)(φ)的臨界點.

例4.2設φ:Mn→Sn+1(1)是單位球面中的全臍非全測地超曲面.根據定義可設全部主曲率為

通過計算,可得

代入方程(3.3),可得泛函L(I,n,F)(φ)臨界點的代數方程為

代入方程(3.4),類似可得泛函L(II,n,F)(φ)臨界點的代數方程為

函數F的形態影響到上面兩個代數方程的求解.

例4.3當子流形的維數n為偶數時,考察自然嵌入的一個特殊超曲面:

從文獻[2]可知,所有的主曲率為

經過計算,可得

例4.4考察環面

其中參數滿足λ,μ∈(0,1),λ2+μ2=1.

從文獻[2]可知,主曲率分別為

如果我們要確定泛函L(I,n,F)(φ)和L(II,n,F)(φ)的臨界點環面，只需要將它們代入如下方程

它們雖然是代數方程,但是如果函數F足夠復雜,求解這樣的方程并不容易.

此外,為了討論間隙現象,需要考察如下三類重要的環面.

首先是H2=0 的環面.根據方程

是極小環面,此類環面稱為Clifford 環面.

其次是S=n的環面.根據方程

是所有滿足S=n的環面.

最后是ρ=n的環面.根據方程

是所有滿足ρ=n的環面.

例4.5設(x,y,z)是R3的自然標架,(u1,u2,u3,u4,u5)是R5的自然標架.考慮如下映射

經簡單計算可得

代入方程(3.5)和(3.6),可知對于任意的函數F,Veronese 曲面是泛函L(I,n,F)(φ)和L(II,n,F)(φ)的臨界點.

例4.6設φ:Mn→Sn+p(1),n ≥3 是單位球面中的極小、愛因斯坦子流形.則對任意的函數F,該子流形都是泛函L(I,n,F)(φ)和L(II,n,F)(φ)的臨界點.

證明因為M是極小、愛因斯坦子流形,根據定義有

眾所周知,當n ≥3 時,有

由引理2.2,可得

顯然

根據愛因斯坦子流形的定義,可得

當指標i=j時,可得

當指標時,可得

因此,對于任意的指標n+1≤α ≤n+p,有

代入方程(3.5)和(3.6),可知對于任意的函數F,單位球面中的極小、愛因斯坦子流形都是泛函L(I,n,F)(φ)和L(II,n,F)(φ)的臨界點.

注4.1單位曲面中的極小、愛因斯坦子流形的更多例子可參見文獻[30]和[31].

5 臨界點的積分不等式

為了建立泛函臨界點的積分不等式,需要一些重要的不等式和計算.

從矩陣的一些基本事實開始.對于n×n的矩陣A,定義矩陣模長的平方為

下面的性質是顯然的: 對任何的矩陣A都有N(A)≥0?N(A)=0 當且僅當A≡0? 對于任意的矩陣A和正交矩陣O有N(A)=N(OAOT)=N(OA)? 對于任意的對稱矩陣A,B有N(AB-BA)=2tr(AABB-ABAB).特別地,對于本文第2 節定義的矩陣有

對于矩陣模長的平方,有更加精細的不等式.這是由微分幾何大師陳省身先生與其合作者共同發現的,可簡稱為陳省身類型不等式.

引理5.1([3])若A,B是對稱方陣,那么有如下不等式

其中等號當且僅當在如下兩種情形下成立: (i)A,B至少有一個為零矩陣?(ii)A,B能夠同時被同一個正交方陣對角化為如下方陣的常數倍:

假設有3 個對稱方陣B1,B2,B3滿足等式

那么三者中至少有一個為零矩陣.

應用陳省身類型不等式到子流形第二基本型派生的矩陣上,可得到如下估計.

上面引理中的第3 個估計用到了如下等式

矩陣模長的平方,除了陳省身類型不等式外,李安民院士和其合作者建立了更加精細的不等式,可簡稱為李安民類型不等式.

引理5.3([4])設B1,···,Bp,p ≥2 是對稱的n×n方陣,并且

則有

其中等號成立當且僅當B1,···,Bp,p ≥2 滿足如下兩個條件之一:

(i)B1=B2=···=Bp=0;

(ii)B10,B20,B3=B4=···=Bp=0,L11=L22.當(ii)成立時,方陣B1,B2能夠同時被同一個正交方陣對角化為如下方陣的常數倍:

應用李安民類型不等式到子流形第二基本型派生的矩陣上,可得如下估計.

除了第二基本型派生矩陣的基本估計外，還需要第二基本型的協變導數模長的估計，這就是著名的Huisken 不等式.

引理5.5([32])設φ:Mn→Nn+p是子流形.則對第二基本型和平均曲率的協變導數有如下估計:

引理5.6([8])設φ:Mn→Nn+p是子流形.則

(i)當子流形的余維數p=1 時,有

(ii)當子流形的余維數p ≥2 時,有

(iii)當子流形的余維數p ≥2 時,有

(iv)當子流形的余維數p ≥2 時,有

引理5.7設φ:Mn→Nn+p是子流形.則

(i)當子流形的余維數p=1 時,有

(ii)當子流形的余維數p ≥2 時,有

(iii)當子流形的余維數p ≥2 時,有

(iv)當子流形的余維數p ≥2 時,有

證明根據協變導數的定義,如下等式自然成立

將引理5.6 中的結果和引理5.2 以及引理5.4 中的估計代入即可得本引理的結論.

(i)當子流形的余維數p=1 時,有

(ii)當子流形的余維數p ≥2 時,有

(iii)當子流形的余維數p ≥2 且F1≥0 時,有

(iv)當子流形的余維數p ≥2 且F1≥0 時,有

證明由Δ 算子的定義可得

結合引理5.6 即可得本引理的結論.

類似地,對于函數F(ρ,H2),我們也有如下估計.

(i)當子流形的余維數p=1 時,有

(ii)當子流形的余維數為p ≥2 時,有

(iii)當子流形的余維數為p ≥2 且F1≥0 時,有

(iv)當子流形的余維數為p ≥2 且F1≥0 時,有

將引理5.8 中的等式和不等式進行積分,運用斯托克斯分部積分公式,并結合定理3.1 及其推論,可得如下的積分等式和不等式,它們是進行間隙現象討論的基礎.

定理5.1設φ:Mn→Nn+p是泛函L(I,n,F)(φ)的臨界點.則

(i)當子流形的余維數p=1 時,有

(ii)當子流形的余維數為p ≥2 時,有

(iii)當子流形的余維數為p ≥2 且F1≥0 時,有

(iv)當子流形的余維數為p ≥2 且F1≥0 時,有

證明只證明上面的(ii),其余類似可證.因為φ:Mn→Nn+p是泛函L(I,n,F)(φ)的臨界點,由定理3.1 可得

將引理5.8 中的(ii)積分可得

利用斯托克斯分部積分公式可得

按照臨界點方程整理可得

最終可得

定理5.1(ii)得證.

當外圍流形是空間形式Rn+p(c)時,可知黎曼曲率

結合定理5.1 可得如下推論.

推論5.1設空間形式中的子流形φ:Mn→Rn+p(c)是泛函L(I,n,F)(φ)的臨界點.則

(i)當子流形的余維數p=1 時,有

(ii)當子流形的余維數為p ≥2 時,有

(iii)當子流形的余維數為p ≥2 且F1≥0 時,有

(iv)當子流形的余維數為p ≥2 且F1≥0 時,有

對引理5.9 中的等式和不等式進行積分,運用斯托克斯分部積分公式,并結合定理3.1 及其推論,可以得到如下的積分等式和不等式,它們也是進行間隙現象討論的基礎.

定理5.2設φ:Mn→Nn+p是泛函L(II,n,F)(φ)的臨界點.則

(i)當子流形的余維數p=1 時,有

(ii)當子流形的余維數為p ≥2 時,有

(iii)當子流形的余維數為p ≥2 且F1≥0 時,有

(iv)當子流形的余維數為p ≥2 且F1≥0 時,有

證明只證明上面的(ii),其余類似可證.因為φ:Mn→Nn+p是泛函L(II,n,F)(φ)的臨界點,由定理3.1 可得

將引理5.9 中的(ii)積分可得

利用斯托克斯分部積分公式可得

按照臨界點方程整理可得

最終可得

定理5.2(ii)得證.

當外圍流形是空間形式Rn+p(c)時,可知黎曼曲率

結合定理5.2 可得如下推論.

推論5.2假設空間形式中的子流形φ:Mn→Rn+p(c)是泛函L(II,n,F)(φ)的臨界點.則

(i)當子流形的余維數p=1 時,有

(ii)當子流形的余維數為p ≥2 時,有

(iii)當子流形的余維數為p ≥2 且F1≥0 時,有

(iv)當子流形的余維數為p ≥2 且F1≥0 時,有

注5.1推論5.1 和5.2 中積分等式和不等式統一了文獻[8,9,15-19,22-27]中的積分等式和不等式,還可以根據函數F的特殊形式得出全新的積分等式和不等式.

6 臨界點的間隙現象

為了處理積分等式和不等式邊界點的間隙現象，我們需要文獻[3,4]中的三個重要結果.為了表述方便,對于超曲面,我們選定標架場使得hij=0,=hii.

引理6.1([3])設φ:Mn→Sn+1(1)是單位球面中滿足?h≡0 的超曲面.那么φ只有兩種情形: (i)h1=···=hn=λ=constant 并且M是全臍的(λ ＞0)或者全測地的(λ=0)? (ii)h1=···=hm=λ=constant＞0,hm+1=···=hn=1≤m ≤n-1 并且M是如下環面

基于第5、6 節中的引理,我們可以推導出如下的定理,這些定理刻畫了泛函L(I,n,F)(φ)和L(II,n,F)(φ)的臨界點的間隙現象.

定理6.1設超曲面φ:Mn→Sn+1(1)是泛函L(I,n,F)(φ)的臨界點并且函數F滿足F1＞0及

如果臨界點還滿足0≤S ≤n,則S≡0 或者S≡n.當S≡0 時φ是全測地超曲面,當S≡n時φ是環面類Gm,n(參見例4.4)中滿足泛函L(I,n,F)(φ)的臨界點方程

的特殊環面.

證明由推論5.1 中的(i)可得

因為F1＞0 并且0≤S ≤n,等號左邊項和等號右邊第二項必有

又根據函數F滿足的積分條件可知等號右邊的第一項必有

因此,

從而

當S≡0 時,子流形φ是全測地超曲面?當S≡n時,因為?h≡0,根據引理6.1,子流形φ是環面,再根據例4.4 可知,屬于環面類Gm,n,還必須滿足臨界點方程.

定理6.2設子流形φ:Mn→Sn+p(1)(p ≥2)是泛函L(I,n,F)(φ)的臨界點并且函數F滿足F1＞0 及

證明由推論5.1 中的(iii)可得

又根據函數F滿足的積分條件可知等號右邊項必有

定理6.3假設超曲面φ:Mn→Sn+1(1) 是泛函L(II,n,F)(φ) 的臨界點并且函數F滿足F1＞0 及

如果臨界點還滿足0≤ρ ≤n,則ρ≡0 或者ρ≡n.當ρ≡0 時φ是全臍超曲面,并且全臍參數λ滿足方程

當ρ≡n時φ是環面類Wm,n(參見例4.4)中滿足泛函L(II,n,F)(φ)的臨界點方程

的特殊環面.

證明由推論5.2 中的(i)可得

因為F1＞0 并且0≤ρ ≤n,等號左邊項和右邊第二項積分必有

又根據函數F滿足的積分條件可知等號右邊的第一項積分必有

因此有

由基本的代數知識和Huisken 估計得

當ρ≡0 時,子流形φ是全臍超曲面,再根據例4.2,全臍參數必滿足定理中所述的代數方程? 當ρ≡n時,因為?h≡0,根據引理6.1,子流形φ是環面,再根據例4.4 可知,φ屬于環面類Wm,n,且滿足臨界點方程.

定理6.4設子流形φ:Mn→Sn+p(1),p ≥2 是泛函L(II,n,F)(φ)的臨界點并且函數F滿足F1＞0 及

證明由推論5.2 中的(iii)可得

又根據函數F滿足的積分條件可知,等號右邊項必有

注6.1定理6.1 至定理6.4 統一了文獻[8,9,15-19,22-27]中的間隙定理,還可以根據函數F的特殊形式得出全新的間隙討論.例如,我們構造形如

的函數,通過調節參數α1,α2,α3,β3,γ3,δ3,λ3,α4,β4,···,使得這些函數滿足定理6.1 至定理6.4中的條件(F1(u,v),F2(u,v)是容易做到的),就可以得到新的泛函并進行間隙討論.

7 結論

第二基本型模長平方S、平均曲率模長平方H2、跡零第二基本型模長平方ρ=S-nH2是子流形三類重要的低階曲率,分別代表了全測地、極小和全臍的測度.本文構造了它們的抽象泛函,計算了它們的第一變分公式,并以此為基礎在單位球面中構造了例子,其中全測地、全臍、環面、Vernonese 曲面以及極小、愛因斯坦子流形都是泛函臨界點的重要代表,利用拉普拉斯算子和斯托克斯分部積分公式建立了泛函臨界點的積分不等式,基于陳省身類型不等式、李安民類型不等式和Huisken 不等式討論了間隙現象.不出意外的是,間隙端點無外乎全測地、全臍、環面和Vernonese 曲面.本文包含了多類著名泛函的相關研究結果,還可利用函數的抽象性得到新的結論.作為本文的后續,我們還可以基于積分不等式討論泛函臨界點的全局間隙現象,計算泛函的第二變分,討論臨界點的穩定性,也可以研究子流形的微分算子的特征譜,進一步可在子流形錐上探討臨界點概念的變化規律等.