子流形低階曲率泛函的變分計(jì)算與間隙現(xiàn)象

劉進(jìn)

(國(guó)防科技大學(xué)系統(tǒng)工程學(xué)院,長(zhǎng)沙,410073)

1 引言

假設(shè)φ:Mn→Nn+p是一般外圍流形中的一個(gè)n維緊致無(wú)邊的子流形.有時(shí)我們選定外圍流形Nn+p為n+p維的空間形式Rn+p(c).當(dāng)c=1,0,-1 時(shí),Rn+p(c) 分別代表單位球面Sn+p(1),歐幾里得空間En+p和雙曲空間Hn+p(-1).沿著M選定正交活動(dòng)標(biāo)架

使得{e1,···,en} 是M的切叢標(biāo)架,而{en+1,···,en+p} 是M的法叢標(biāo)架.它們的對(duì)偶標(biāo)架場(chǎng)分別為{θ1,···,θn} 和{θn+1,···,θn+p}.子流形的一個(gè)基本事實(shí)是: 當(dāng)限制在M上時(shí)有θn+1≡···≡θn+p≡0.

本文約定:

利用活動(dòng)標(biāo)架和對(duì)偶標(biāo)架可將子流形φ:Mn→Nn+p的第二基本型表示為

稱(chēng)H2為平均曲率模長(zhǎng)的平方,S為第二基本型模長(zhǎng)的平方,ρ為跡零第二基本型模長(zhǎng)平方或者Willmore 不變量.顯然三類(lèi)曲率都是非負(fù)的.又因?yàn)樽恿餍桅帐蔷o致的,所以H2,S,ρ都有上界.在微分幾何中,有三類(lèi)重要的子流形分別通過(guò)上面三類(lèi)低階曲率來(lái)定義:H2≡0 對(duì)應(yīng)的子流形稱(chēng)為極小子流形,S≡0 對(duì)應(yīng)的子流形稱(chēng)為全測(cè)地子流形,ρ≡0 對(duì)應(yīng)的子流形稱(chēng)為全臍子流形.

曲率H2和體積泛函密切相關(guān).體積泛函Vn(φ)=∫Mdv是子流形最簡(jiǎn)潔的泛函,其臨界點(diǎn)方程為H2=0.文獻(xiàn)[1,2]計(jì)算了該泛函的一階和二階變分公式,討論了其臨界點(diǎn)的穩(wěn)定性,建立了臨界點(diǎn)的積分不等式,得到如下結(jié)論: 如果φ:Mn→Sn+p(1)是單位球面中的極小子流形,則有

曲率S是子流形第二基本型的模長(zhǎng)的平方,它測(cè)度了子流形和全測(cè)地子流形的點(diǎn)態(tài)差異.受文獻(xiàn)[6,7]以及經(jīng)典Willmore 泛函的啟發(fā),文獻(xiàn)[8,9]分別構(gòu)造了和S相關(guān)的如下泛函

其中r是實(shí)數(shù),F: [0,+∞)→R 是抽象的光滑函數(shù).文章計(jì)算了兩類(lèi)泛函的第一變分,構(gòu)造了例子,推導(dǎo)了積分不等式,討論了間……