平面內(nèi)與兩條直線都相交弦的弦中點(diǎn)軌跡問(wèn)題

汪程

【摘 要】 在解析幾何中，中點(diǎn)弦問(wèn)題是一個(gè)很常見(jiàn)很重要的問(wèn)題.中點(diǎn)弦問(wèn)題通常用“點(diǎn)差法”求解，也可以列方程組，用韋達(dá)定理求解.反過(guò)來(lái)，如果弦滿足某些條件（斜率是定值、經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，或弦長(zhǎng)為定值等），與兩條相交直線都相交的弦的中點(diǎn)的軌跡方程是什么？軌跡是什么？這是一個(gè)值得探究的問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】 弦中點(diǎn)；點(diǎn)差法；定向弦；定點(diǎn)弦

與兩條相交直線都相交的弦為定長(zhǎng)的弦中點(diǎn)的軌跡表示圓或橢圓，中心為這兩直線的交點(diǎn)，當(dāng)兩條相交直線互相垂直時(shí)，表示圓；當(dāng)兩條相交直線不互相垂直時(shí)，表示橢圓.

把兩條相交直線改為兩條平行直線也可以研究這三類(lèi)問(wèn)題.以兩條相平行線的垂線為x軸，以兩條平行直線的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)兩條直線的方程為，同理可分析得三種曲線都為y軸.兩條相平行線的弦中點(diǎn)軌跡都是它們的對(duì)稱(chēng)軸.

在解析幾何中，研究圓錐曲線弦中點(diǎn)的問(wèn)題經(jīng)常使用的方法有：解方程組用韋達(dá)定理，點(diǎn)差法，直線的參數(shù)方程等.在研究的同時(shí)應(yīng)注意圓錐曲線弦中點(diǎn)的軌跡必須落在圓錐曲線軌跡的內(nèi)部，可以通過(guò)解方程組判別式，數(shù)形結(jié)合縮小軌跡范圍.