失諧螺栓連接對薄壁圓筒的動力特性影響

姚星宇

(中國民用航空飛行學院 航空工程學院，廣漢 618307)

在航空發動機結構故障中，整機振動問題[1]一直是制約發動機發展的關鍵故障問題。研究表明，大量整機振動問題都與連接結構特征參數的公差過于敏感有關[2]。而在連接結構中，螺栓連接結構因其具有構造簡單、可操作性好等特點而廣泛存在于航空發動機中[3]。但是，螺栓連接在幾何上存在突變以及連續性遭破壞，在外載荷作用下，連接處的應力和變形會分布不均，接觸和摩擦更是結構阻尼、非線性和能量耗散的主要來源[4]。近年來，航空發動機不斷向高轉速、高推重比、高使用性、高可靠性和高耐久性發展，使得螺栓連接結構對航空發動機動力特性的影響越來越大。

在航空發動機的設計階段或理想工作狀態時，每個螺栓沿法蘭邊周向均勻分布且預緊力相同，此時螺栓連接結構是諧調的[5]。但是，對于實際的航空發動機螺栓連接結構，由于每個螺栓安裝和裝配的差異，螺栓之間的預緊力會不同；航空發動機長時間工作在較惡劣的環境中，隨著運行時間的累積，結構中的螺栓連接必然會受到環境的影響。研究表明，疲勞、蠕變、腐蝕、磨損等因素會引起螺栓連接結構的性能退化[6]，其主要表現有：①螺栓預緊力的降低導致連接結構軸向、彎曲剛度的非對稱，引起結構的預緊失諧[7]，從而導致結構動力特性的改變；②螺栓預緊力的降低導致連接處剛度下降[8]，從而影響結構的動態特性。當損傷累積到一定程度，必將影響結構之間的正常連接和運轉，所以螺栓連接結構的性能退化[9]是航空發動機安全運行必須考慮的問題。本文將安裝引起的螺栓預緊力差異和環境因素引起的螺栓性能退化，統稱為失諧螺栓連接結構。

為了研究螺栓連接對結構動力特性的影響，研究人員建立了不同的螺栓連接結構參數化模型。精細有限元模型[3,10]最大程度地保留了螺栓連接的幾何特征，能夠考慮螺栓預緊力及對接面的接觸和摩擦作用，因此其模型自由度數龐大，接觸非線性會大大增加計算量和計算時間，在航空發動機整機建模中存在局限性，但是在缺少試驗結果的基礎上，可以將該模型的計算結果當作螺栓連接結構等效簡化模型參數修正的依據。彈簧阻尼單元[11-12]將螺栓連接簡化為彈簧單元（線性或非線性）和阻尼單元，用剛度系數和阻尼系數來表征連接結構的連接特性，從而降低了模型的自由度數，但是該模型將對接面的面-面接觸變成了點-點接觸，相應的參數一般需要試驗數據來修正，也不能考慮螺栓連接結構的橫向移動，因此難以應用在航空發動機建模中。

薄層單元模型[13]克服彈簧阻尼單元模型的局限性，在螺栓連接對接面之間定義了一層能夠模擬接觸力學特征的虛擬材料，以界面虛擬材料的材料參數來等效模擬實際的界面接觸剛度。這些薄層單元是具有參數特性的六面體或四面體單元，能夠較為準確地表征連接處的剛度特性，并且能和實體單元相結合建立高保真的整機模型，只是單元的材料參數需要試驗數據來修正[14]。對于某些復雜機械結構，由于條件的限制，很多試驗難以實施或者根本無法獲得合適的試驗數據，并且薄層單元法無法考慮螺栓連接接觸面應力分布不均的問題。因此，在航空發動機建模和動力特性分析過程中存在一定的局限性和不足。

為了克服薄層單元法的局限性，Yao 等[15]提出了改進薄層單元法，該方法能夠考慮對接面應力分布不均的特點，對薄層單元進行分塊處理，不同塊的單元的材料參數可以通過螺栓連接的載荷、結構參數來確定，而不需要試驗數據來修正。因此，螺栓連接的載荷、結構參數的選取將直接決定航空發動機的動力特性。

本文將改進薄層單元法應用到失諧螺栓連接結構中，研究失諧螺栓連接對航空發動機靜子薄壁圓筒結構動力特性的影響規律。首先，提出螺栓連接預緊失諧的相關概念，包括預緊失諧量和預緊失諧比例；然后，將航空發動機靜子結構簡化為薄壁圓筒，研究失諧螺栓連接對薄壁圓筒結構的確定性動力特性分析，包括固有特性和穩態響應；其次，將失諧螺栓連接的相關參數概率化，對考慮螺栓預緊失諧的薄壁圓筒穩態響應進行概率分析。

1 螺栓連接預緊失諧相關概念

螺栓連接結構改進薄層單元法的基本理論在文獻[5,15]中有詳細描述，本文僅作簡單闡述。圖1為改進薄層單元法的示意圖，其特點為：①可以考慮螺栓對接面應力非均勻分布的特點，薄層單元分塊，其中圓形區域為螺栓連接區域，其他區域為法蘭邊接觸區域，不同區域的薄層單元具有不同的材料參數；②不同區域薄層單元的材料參數可通過螺栓載荷、結構參數來理論表達，不需要依靠試驗數據來修正，這對研究人員來說，可以在航空發動機設計階段初期預估結構的固有特性和穩態響應。

圖1 改進薄層單元法Fig.1 Improved thin-layer element method

圖2 為某型航空發動機的靜子結構，從中可以看出，機匣之間大都通過螺栓進行連接，雖然在結構形式上不同，但是靜子結構的螺栓連接具有以下共同點：①螺栓連接結構幾乎均具有法蘭邊；②在大多數情況下連接件都可認為是薄壁圓筒結構；③所承受的載荷大多為軸向力、彎矩、剪切力和扭矩；④螺栓大多沿法蘭邊周向均布，且數目眾多。因此，航空發動機靜子結構可簡化為由螺栓連接起來的短粗薄壁圓筒結構，如圖3 所示。

圖2 某型航空發動機靜子結構Fig.2 Stator structure of aero engine

圖3 薄壁圓筒螺栓連接結構Fig.3 Bolted joints structure of thin-walled cylinder

設N為法蘭邊周向螺栓個數，F為每個螺栓預定的螺栓預緊力，當螺栓連接結構發生預緊失諧時，失諧的螺栓個數為p。

定義每個螺栓i的預緊失諧量（preload mistuning amplitude）?為

式中：Fi′為螺栓連接結構第i個螺栓的實際預緊力；?i> 0 為預緊正失諧，?i< 0 為預緊負失諧，?i=0 為預緊諧調。對于安裝裝配原因引起的預緊失諧，可能出現正失諧和負失諧，而環境因素引起的螺栓性能退化，則會出現負失諧，本文只討論預緊負失諧。

定義螺栓連接結構的預緊失諧比例（preload mistuning ratio）β為

本文將以這2 個參數來表征螺栓連接結構的失諧狀況。

2 失諧螺栓對薄壁圓筒的確定性動力特性影響

2.1 失諧螺栓連接薄壁圓筒結構建模

該結構是由2 個完全相同的帶法蘭邊的圓筒結構通過12 個M20 的螺栓連接起來，其相關尺寸參數如圖4 所示，圓筒部分和螺栓的材料屬性相同，其材料參數如表1 所示。

表1 圓筒和螺栓的材料參數Table 1 Material parameters of cylinder and bolts

圖4 帶螺栓的薄壁圓筒結構Fig.4 Thin-walled cylinder structure with bolts

根據改進薄層單元法[15]，得到了不同預緊力下薄層單元的材料參數，如表2 所示，其中G為剪切模量。假設預定的F為25 000 N，?分別為?20%、?40%、?60%和?80%，β分別為1/6、1/3、1/2 和2/3。螺栓連接處的有限元模型如圖5 所示，其中2 個橫向方向為x向和y向，預緊失諧螺栓關于薄壁圓筒的x向對稱。

表2 薄層單元的材料參數Table 2 Material parameters of thin-layer elements

圖5 螺栓連接處的有限元模型Fig.5 Finite element model of bolted joints area

2.2 固有特性影響

對預緊失諧的薄壁圓筒進行固有特性分析，結構的邊界條件為兩端自由，提取模型前6 階固有頻率，如表3 所示。

表3 不同 β和 ?下薄壁圓筒的前6 階固有頻率Table 3 The first 6-order natural frequencies of thin-walled cylinder under different β and ?

1）與諧調螺栓連接的薄壁圓筒相比，預緊失諧薄壁圓筒的固有頻率均減小，這說明當螺栓連接結構存在預緊失諧且?<0 時，螺栓連接的連接剛度降低，從而使得結構的彎曲固有頻率降低。

2）預緊失諧對薄壁圓筒各階橫向彎曲固有振動的影響程度不同，圖6 為預緊失諧量 ?對薄壁圓筒固有頻率的影響曲線（β=1/3），隨著 ?的降低，第1 階振動固有頻率的下降程度大于其他階振動，這說明該薄壁圓筒的第1 階橫向彎曲振動對 ?最為敏感，這與諧調螺栓連接情況下螺栓預緊力F對薄壁圓筒固有頻率影響規律一致[5]。

圖6 ?對薄壁圓筒固有頻率的影響曲線( β=1/3)Fig.6 Influence of ? on natural frequency of thin-walled cylinder ( β=1/3)

3）當 β一 定、?<0 且逐漸減小時，2 個橫向方向的同階振動固有頻率值會發生分離，并且分離程度會隨著 ?的逐漸減小而增大。圖7（a）為 ?對薄壁圓筒第1 階固有頻率分離程度影響曲線，當?=0 時，2個橫向方向的第1 階固有頻率值相等，均為1 399.28 Hz，分離程度為0 Hz；當 β= 1/6、?逐漸減小時，2 個橫向方向的第1 階固有頻率值逐漸分離，并且分離程度越來越大，頻率差值從諧調時的0 Hz 變為?=?80%的26.97 Hz，這說明預緊失諧會使得薄壁圓筒周向螺栓連接結構的剛度非對稱，并且非對稱的程度與?成正比。

圖7 ? 和 β對薄壁圓筒第1 階固有頻率分離程度的影響Fig.7 Influence of ? and β on the first order natural frequency separation of thin-walled cylinder

4）當 ?一 定、β逐漸增大時，2 個橫向方向的同階振動固有頻率值的分離程度是先增大再減小，到β=1/2 時減到最小，然后又逐漸升高，升高到一定程度后又逐漸減小，當 β=1 時減為0，如圖7（b）所示。這說明，隨著 β的增大，周向螺栓連接剛度的非對稱程度是由0 開始增大，然后減小再增大，最后再減小到0 的過程，其中非對稱程度的極大值點在預緊失諧比例 β接近1/4 或3/4 時，極小值點是 β接近0、1/2 和1 時，呈現明顯的“雙峰”特點。

2.3 穩態響應影響

在實際的靜子結構中（見圖2），載荷是由轉子系統的轉子部分（如葉片）通過軸-軸承-支承框架，傳遞到靜子結構的機匣處，最終通過發動機與機翼之間的安裝節傳遞到飛機機身上。由于靜子結構的機匣（薄壁圓筒）大都通過螺栓一段一段地連接，相較于機匣的剛性，支承框架的剛度要遠遠大于機匣，所以考慮薄壁圓筒的穩態響應分析時，可將薄壁圓筒的一端固定（模擬支承框架的大剛度），另一端的y向接點處施加大小為100 N 的載荷（模擬從轉子部分傳遞過來的載荷），結構阻尼系數為0.000 2，應用模態疊加法計算結構的穩態響應，計算范圍為0～1 500 Hz，計算載荷步為750 步，如圖8 所示。本節將從2 個方面討論失諧螺栓連接對薄壁圓筒響應特性的影響：①預緊諧調結構和預緊失諧結構響應的比較；②?和 β對薄壁圓筒響應特性的影響。

圖8 薄壁圓筒的邊界條件Fig.8 Boundary conditions of thin-walled cylinder

1 ）預緊諧調結構和預緊失諧結構的比較

圖9 預緊諧調與預緊失諧薄壁圓筒響應曲線Fig.9 Response of thin-walled cylinder with tuning preload and mistuning preload

① 預緊失諧薄壁圓筒的峰值點較預緊諧調結構的峰值點所對應的頻率減小，這是預緊負失諧使結構的連接剛度降低造成的。

② 預緊負失諧對不同峰值所對應的頻率減小幅度的影響程度不同。

③ 預緊負失諧的響應最大幅值（31.52 mm）大于諧調結構的最大幅值（30.95 mm），增幅約為2%。

2 ）? 和 β的影響

圖10 為 ?和 β對薄壁圓筒響應的影響曲線，提取的仍是y向位移，從中可以看出：

圖10 ? 和 β對薄壁圓筒響應的影響Fig.10 Influence of ? and β on response of structure

① 當 β一定時，隨著 ?的降低，響應曲線的峰值點所對應的頻率減小，且同個峰值點的響應幅值逐漸增大，這是螺栓連接處連接剛度降低導致。

② 當 ?一定時，隨著 β的增大，響應曲線的峰值點所對應的頻率減小，同峰值點幅值逐漸增大。

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③ β和 ?對不同峰值所對應的頻率減小幅度的影響程度有差異，對結構橫向彎曲振動的影響大于對結構局部波形振動的影響。

3 失諧螺栓連接對薄壁圓筒的概率性動力特性影響

從第2 節分析看出，螺栓連接預緊失諧對薄壁圓筒的動力特性有較大影響。在很多情況下，螺栓連接結構周向每個螺栓的預緊情況有差異，預緊失諧存在隨機性，因此很難準確預測薄壁圓筒的響應狀態。本節將對考慮螺栓預緊失諧的薄壁圓筒的穩態響應進行概率分析。

3.1 隨機輸入參數和輸出參數的確定

當螺栓連接結構發生預緊失諧后，薄壁圓筒隨機動力學方程為（忽略預緊力變化對結構阻尼的影響）

式中：N為螺栓個數；M、C分別為系統質量、阻尼矩陣；KBTLi、KFTLi和KRTL分別為第i個螺栓連接區域、法蘭邊接觸區域的薄層單元剛度矩陣和除去薄層單元以外的單元剛度矩陣（相應的區域如圖5 所示）；j為抽樣次數，?KBTLj和 ?KFTLj分 別為第j次抽樣后第i個螺栓連接區域薄層單元的偏移剛度矩陣和第i個法蘭邊接觸區域薄層單元的偏移剛度矩陣；x¨、x˙、x和f分別為加速度向量、速度向量、位移向量和外載荷向量。

一般認為，螺栓預緊力F由于安裝、裝配的差異以及螺栓性能退化等因素所產生的失諧服從指數分布[6]，但是螺栓預緊力不能作為隨機參數在薄壁圓筒有限元模型中體現，因此需要選取一個能夠表征螺栓預緊力F預緊失諧狀況的參數作為隨機輸入參數。

本節仍以前面所述的薄壁圓筒（見圖5）為例，假設螺栓連接結構每個螺栓的預緊力F=25 000 N，當F由于螺栓性能退化逐漸減小時，法蘭邊接觸區域薄層單元的彈性模量E1會逐漸減小，因此選取每個扇區的E1作 為隨機輸入參數。當E1發生變化時，螺栓連接區域薄層單元的彈性模量E2也會跟著改變，所以首先需要確定E2與E1之間的關系。

由改進薄層單元法可知[15]，E2的獲得需要每個螺栓扇區薄層單元的剛度KTL和 厚度L、法蘭邊接觸區域的面積A1和E1以 及螺栓連接區域的面積A2。在建模過程中，假設螺栓連接區域半徑是常數，不會隨著預緊力F的改變而改變，那么不同預緊力F條件下螺栓連接結構處的相關數據如表4 所示，通過表中數據，擬合得到每個扇區的KTL與E1之間的關系（見圖11）表達式為

表4 不同預緊力F 下螺栓連接處的數據Table 4 Data of bolted joints under different preloads F

圖11 E1 與KTL 的關系Fig.11 Relationship between E1 and KTL

對于圖5 所示的螺栓連接區域，每個螺栓所在扇區的剛度表達為

因此，螺栓連接區域的彈性模量E2可表示為

對薄壁圓筒進行有限元建模，將E1作為輸入參數，設置為指數分布（見圖12），其中初始值為1.98 GPa，衰減系數為0.00 371，最終得到薄壁圓筒的隨機有限元模型，其中螺栓連接處模型如圖13 所示，每個扇區不同區域的材料參數是不同的，從而模擬螺栓連接結構的隨機預緊失諧。此時，對每個扇區的E1進 行抽樣，便可得到第j次抽樣后第i個螺栓連接區域薄層單元和法蘭邊接觸區域薄層單元的偏移剛度矩陣。

圖12 E1 的指數分布Fig.12 Exponential distribution of E1

圖13 失諧時螺栓連接處的有限元模型Fig.13 Finite element model of mistuning bolted joints

應用完全法對式(3)進行求解，計算結構的穩態響應，計算范圍為0～1 500 Hz，計算步長為0.5 Hz，加載方式與第2 節一樣，選取加載點y向、x向的響應幅值作為輸出參數。

3.2 結果分析

運用Monte Carlo 法進行求解，抽樣次數為100 次，抽樣方法為拉丁超立方抽樣。薄壁圓筒加載點的y向、x向隨機響應曲線分別如圖14 所示。從中可以看出：

圖14 薄壁圓筒加載點y 向和x 向的隨機響應曲線Fig.14 Random response curves of load point in y and x direction of thin-walled cylinder

1）隨機預緊失諧會使結構響應峰值點的頻帶更寬，特別對于整體結構的彎曲振動影響更大。

2）當加載方向為y向時，x向響應也會出現響應峰值，說明預緊失諧會引起與加載方向垂直的橫向方向的振動。

3）y向響應曲線峰值點的幅值均不同，說明預緊失諧可能會使結構響應幅值放大。

輸入參數和輸出參數的概率密度函數如圖15所示，可以看出，輸入參數為不同區域的法蘭邊接觸區域彈性模量，符合指數分布，初始值為1.98 GPa，衰減系數為0.003 71，而對于輸出參數加載點y向某個頻率下的響應幅值則大致符合威布爾分布，這說明在航空發動機工作過程中，螺栓連接結構都會發生預緊力下降，從而發生預緊失諧，但是當預緊力下降到一定程度時，螺栓連接結構的預緊狀況呈現穩定的狀態。

圖15 薄壁圓筒輸入、輸出參數的概率分布Fig.15 Probability distribution of input and output parameters of thin-walled cylinder

4 結 論

1）預緊失諧會使薄壁圓筒的每階固有頻率下降，但不同階的頻率下降程度不同，對第1 階彎曲振動的影響最明顯。

2）β和 ?對 薄壁圓筒固有頻率影響不同，當 ?逐漸減小時，同階彎曲振動的固有頻率值會發生分離，且分離程度隨著 ?的減小而增大；當 β逐漸增大時，同階彎曲振動的固有頻率分離程度呈現明顯的“雙峰”特點。

3）預緊失諧使得薄壁圓筒響應峰值所對應的頻率減小且幅值增大，并且對整體結構彎曲振動的影響要大于圓筒結構局部的波形振動。

4）隨機預緊失諧使得薄壁圓筒的響應峰值點的頻帶更寬，輸入參數E1為指數分布，初始參數為1.98 GPa，衰 減 系 數 為0.003 71，輸 出 參 數 加 載 點y向響應大體符合威布爾分布，說明航空發動機在工作過程中，螺栓預緊力均會發生預緊失諧，但失諧到一定程度之后，螺栓連接的預緊狀況呈現穩定的狀態。