簡約識“倍”新視界

張曉鋒?姚靈娣

【摘 要】倍數關系是常見的數量關系之一。理解倍的含義，關鍵在于有效建立“倍”的概念。王圣昌老師不走尋常路，從兩個數量的關系入手，先引導學生和“倍”的內涵互動，從發現關系、明確關系到用除法算式表達倍數關系，從直觀到抽象，從淺顯到深刻，逐步實現數學化，教學簡約、深刻，為一線教師開啟了識“倍”新視界。

【關鍵詞】倍的認識 概念 建構 數學化 簡約

倍數關系是常見的數量關系之一。建立倍的概念，能幫助學生進一步理解乘法和除法的含義，擴大應用乘、除法計算解決實際問題的范圍。教師應引導學生從具體直觀到抽象思考，理解“倍比”是對相關數量進行比較的數學方法。理解倍的含義，關鍵是建立“倍”的概念。有些教師是以告知的方式，引導學生圈一圈、比一比，初步理解倍的含義，這可稱之為告知“倍”。王圣昌老師先引導學生和“倍”的內涵互動，通過解決問題，借助除法算式發展概念，可稱之為生長“倍”。

王圣昌老師教學“倍的認識”，僅用3張演示文稿（PPT），就呈現了一節非常有味道、有思維含量的數學課。3張PPT，對應3項逐步進階的核心任務，每項核心任務中的幾個子問題能較好地彰顯學習任務的設計理念——低門檻、大空間、多層次，為每個學生提供思考與表達的機會，這也是全課最鮮明的特點。王老師充分肯定和鼓勵每個學生的表達，并且把每個學生的想法都展示出來，資源捕捉意識特別好。他引導學生先和“倍”的內涵互動，從發現關系到明確關系再到用算式表達，通過解決問題發展概念，概念教學指向有意義的建構，真正體現了以學生的學為中心。這樣的課應該就是如吳正憲老師說的“好吃又有營養”的數學課。

片段1：明確關系初識“倍”

呈現第一張PPT（見圖1），圖中包含4根黃瓜和12根香蕉的圖片以及3個問題。

師：誰能說說你的發現？說一個就可以！

生1：黃瓜有4根。

師：這是不是數學信息呢？誰還有不一樣的發現呢？

生2：香蕉有12根。

師：他說得對嗎？還有不同的嗎？

生3：黃瓜和香蕉一共有16根。

師：非常棒，黃瓜加香蕉有16根。

生4：香蕉比黃瓜多8根。

師：太棒了，你們能聽懂他的意思嗎？

生5：我認為還可以說黃瓜比香蕉少8根。

師：好，你把它倒過來了，黃瓜比香蕉少8根。

生6：香蕉是黃瓜的3倍。

師：你們怎么看？他突然講了我們好像沒學過的知識——香蕉是黃瓜的3倍。懂他意思的同學請舉手。誰來說一說這是什么意思？

生7：黃瓜有4根，香蕉有12根，12除以4等于3，也就是說香蕉是黃瓜的3倍。

師（追問）：你們怎么看出來有3倍？3倍在哪里？第1倍在哪里？第2倍、第3倍呢？每倍都是幾根？誰決定的？

（學生回答略）

師：你們能列出算式表示這4個數學信息里兩個數量之間的關系嗎？

學生用算式表示“黃瓜加香蕉有16根，香蕉比黃瓜多8根，黃瓜比香蕉少8根，香蕉是黃瓜的3倍”，算式分別為：4+12=16，12-4=8，12-8=4，12÷4=3。

師組織生交流。

師：你們都能列出算式表示它們之間的關系。誰來解釋3倍這個問題？

生8：3×4=12。

師：誰來解釋這個算式中每個數表示什么意思？

生9：4是香蕉的根數，3是把香蕉平均分成了3份，12是香蕉的總數。

師：這里有一個解釋怪怪的，你們發現了嗎？

生10：4是黃瓜的數量，3是3倍，12是香蕉的總數。

生11：12是香蕉的數量，4是黃瓜的數量，12÷4表示……（生一時語塞）

生12：12÷4表示把香蕉平均分成3份。

師：為什么除以4？為什么平均分3份，每幾根一份？

一名學生上講臺指著圖片演示平均分3份的等分過程。

……

【賞析】三個問題層次清晰、逐級遞進。首先通過問題“你看到了哪些數學信息？”引導學生對黃瓜和香蕉的數量進行感悟。其次，教師通過問題“它們的個數之間有什么關系？”引導學生尋找合適的路徑，表達數量之間的關系——求和關系、相差關系、倍數關系，并對不同關系用文字表達，完整建構出數量之間的關系。其間，教師還可以結合圖形直觀幫助學生思考，再通過追問幫助學生重點理解倍數關系。最后通過問題“你能用算式表示它們之間的關系嗎？”引導學生用算式表示倍數關系。引導學生用抽象的算式表達數量之間的關系，既為學生提供表達關系的工具，也是數學化的過程，學生感悟了關系，明白了本質，就能用算式抽象表達，真正理解算式的含義，加深對倍數關系本質的理解。這是關于倍的概念的核心問題，也是學生學習“倍的認識”的關鍵——先確定標準，然后比較，看另一個數量相當于有幾個這樣的標準，也就是這個標準的幾倍。這樣設計，循序漸進，從直觀到抽象，從文字語言到符號語言，最后緊扣數量關系中的倍數關系，師生、生生多邊互動，可有效實現對“倍”的概念的完整認知與深度理解，學生自主建構，初步識“倍”，一步步實現數學化。

片段2：結合算式表達“倍”

呈現第二張PPT（圖略），這是一道有思維含量的趣味練習，PPT上呈現了無序排列、大小相同的藍色、綠色、黃色3種不同顏色的圓。藍色有18個，黃色有9個，綠色有3個。課件中呈現3個學習提示：你能找到它們之間的倍數關系嗎？如果要找出倍數關系，需要找到哪些數學信息？用算式表達你找出的倍數關系。

師：數一數，從圖中你可以找到哪些倍數關系？要結合算式哦。

生先數再列出除法算式。

師：我建議你們數一個寫一個，因為這道題的倍數關系不止一種。

師板書：綠3個、黃9個、藍18個。

小組討論發現的倍數關系。

師：請你來說一說。

生1：藍色圓的數量是黃色圓的數量的2倍。

師：他是怎么知道的？算式應該怎樣列？

生2：18÷9=2。

師：為什么用18÷9=2就能知道藍色圓的數量是黃色圓的數量的2倍？誰再來說一說每幾個一份？

生3：把18平均分成2個9，每9個一份，可以分成2份。

師：誰再來說說誰是誰的幾倍？

生4：黃色圓的數量是綠色圓的數量的3倍。

生5：9÷3=3，9可以分成3個3。

生6：藍色圓的數量是綠色圓的數量的6倍，18÷3=6。

師：也就是18里面有6個3。

【賞析】用大小相同、無序排列的3種顏色的圓設計一組練習，特別有創意。這樣可以催生學生不同的想法：藍色圓的數量是黃色圓的數量的2倍，藍色圓的數量是綠色圓的數量的6倍，黃色圓的數量是綠色圓的數量的3倍。因為教師提供的圖片中反映的數量關系比較豐富，所以學生找到的數量關系與表達的形式也較為豐富。學生能跳出圖形直觀，從圖形個數的角度思考，用除法算式表達它們之間的倍數關系，不受圖形無序排列的影響。這道練習通過“問題驅動—尋找信息—用算式表達”的遞進順序，讓學生體會倍數關系的內涵，并明白數量和算式之間的邏輯關系，從而更好地理解“倍”的概念本質，知其然并知其所以然。借助除法算式學習“倍”，有利于促進學生理解從算式的角度表達倍數關系，從而逐步實現數學化。

片段3：實踐感悟深入“倍”

呈現第三張PPT，圖上有3種不同顏色的扣條和方塊（見圖2）。活動要求：用你手中的學具表示出4倍的關系。

圖2

王老師為每一組學生準備了適量的兩種學具，即扣條和方塊，這兩種學具都可以拼接。學生分組合作操作，他們選用若干扣條或方塊，用合適的方式直觀表達4倍關系。

分組操作前，王老師做適當引導。

師：操作前同學們首先要知道一個叫1倍，一個叫4倍。4倍關系不僅僅是數量上的，找找看，除了數量上有倍數關系，還能在其他地方找到倍數關系嗎？

學生分組操作2分鐘。

師：我們來看一下有幾種表示方式。

展示第一種：4個方塊（成田字格形狀）是1個方塊的4倍。

師：有沒有4倍？除了數量是4倍關系，還看到哪里有4倍關系？

生：我看到大小有4倍關系。

師：從哪里看出大小有4倍關系？拿著1倍來比，第1倍在哪里？第2倍、第3倍、第4倍呢？

學生逐一放上去比對。

展示第二種：4條是1條的4倍。

師：有沒有4倍？除了數量是4倍關系以外，還有什么是4倍關系？

生：我看出長度也是4倍關系。

師：到前面來比對。

學生到前面一倍一倍地比對，發現長度是4倍關系。

師：現在有個同學搭了這樣的1倍，你覺得他的4倍應該有幾個？（師高舉著由4個方塊拼成一排的組合體）

生：應該有16個。

教師拿出4個方塊的組合體和16個方塊的組合體，然后一倍一倍地比對，從長度上比對出是4倍關系。

師：如果這樣是1倍，4倍應該有幾個？（師高舉2個方塊的組合體）

師：如果是這樣呢？（師高舉由3個方塊拼成一排的組合體）

……

【賞析】這個練習比較開放，能很好地幫助每個學生自主操作、深度參與，加深對“倍”數關系的理解。先放手讓學生利用學具扣條和方塊，自主創造倍數關系，使其在應用中深化對倍的理解；再通過豐富的直觀模型，從數量、大小、長度等不同維度表達倍數關系，凸顯倍數關系模型的本質。扣條可以表征個數、長度、面積的倍數關系，方塊可以表征個數、長度、面積、體積之間的倍數關系，多維度表示倍數關系促使學生的認知更豐富、更多元。

縱觀全課，教師僅用了3張演示文稿，第一張建構概念，讓學生感受并表達數量關系，通過從圖形直觀到用算式表達的過程，促進每個學生建構對倍的認識；第二張鞏固理解，并適度抽象，加強數學化，引導學生繼續用算式表達倍數關系，借助精選的學習素材——3種顏色的圓片，幫助學生概括一般化的模型，進一步數學化；第三張實踐深化，學生借助學具自主創造倍數關系，在豐富多樣的表達“倍”的方式中探尋共同的本質屬性，從而達成對概念本質的深度理解——倍數關系可以是個數之間的關系，可以是長度之間的關系，可以是面積大小之間的關系，還可以是體積大小之間的關系。教師充分利用學具即興變式，在與學生對話和互動中促進學生借助豐富的直觀模型深化認知，加深對倍數關系模型內涵實質的理解。