加速退化試驗測量不確定度評定方法

郭宏軒，孫富強，*

1.北京航空航天大學 可靠性與系統工程學院，北京 100191

2.可靠性與環境工程技術國防科技重點實驗室，北京 100191

加速退化試驗（Accelerated Degradation Testing，ADT）是指在退化機制不變的基礎上，利用產品在高（加速）應力水平下的性能退化數據外推評估正常應力水平下的產品壽命指標的試驗技術，為解決高可靠長壽命產品的壽命指標快速驗證評價問題提供了一條有效途徑。

為了收集產品的性能退化數據，加速退化試驗過程中需要對產品的關鍵功能和/或性能參數進行測量。各種測量過程中測量誤差都是客觀存在、不可避免的。目前，在加速退化試驗研究中，國內外學者通常采用在退化模型中添加誤差項的方式來表征測量誤差，以提高建模準確性。Zhang等［1］、Ye和Xie［2］分別對考慮測量誤差的加速退化模型的相關研究進行了綜述分析。然而，誤差的定義為測量結果與其真值之差，是一個理想化的概念［3］。由于真值往往是得不到的，通常采用近似真值（參考值、標準值和平均值等）代替，即近似真值和測量結果均存在不確定性，導致誤差本身也存在不確定性［4］。

為此，計量學領域提出測量不確定度的概念來解決該問題。測量不確定度是與測量結果相聯系的參數，用于表征合理地賦予被測量值的分散性，是對由測量結果給出的被測量估計值的可能誤差的度量，是對表征被測量的真值所處范圍的評定［5］。測量不確定度不是對長期沿用“測量誤差”的否定，而是經典誤差理論發展和完善的產物，更趨科學合理。國際計量局等7個國際組織修訂和發布了“測量不確定度表示指南（Guide to the expression of Uncertainty in Measurement， GUM）”［6］，中國也原則上等同采用GUM制定了測量不確定度評定與表示的相關標準［7-8］。

上述規范和標準有力地推動了測量不確定度理論在各個領域測量結果質量評價中的應用。Fu等［9］研究了故障定位算法的參數估計過程中測量不確定度的影響，并根據不確定度的分布，利用極大似然估計法降低了該影響。Pueo等［10］利用GUM法建立了雙側翼齒輪滾動測試中的測量不確定度的一般表達式。Wojty?a等［11］對三坐標測量機的測量不確定度評估方法進行了研究，并提出了一種基于實際工況的B類不確定度評估方法。薛長利等［12］對國內航天領域中測量不確定度的發展過程與應用現狀進行了回顧與分析。冉學臣［13］基于GUM法對旋轉彎曲疲勞試驗的結果進行了測量不確定度評估。沈鳳霞［14］基于振動環境試驗系統，基于測量不確定度的評定方法對力學環境試驗中的測量不確定度進行了數值評定；周佩［15］在氣動先導電磁閥的可靠性分析研究中，對可靠性試驗中的測量不確定度進行了分析與評定。

加速退化試驗的主要目的是通過試驗測量受試產品的性能退化數據，試驗結束后通過對測量數據的分析進行試驗結果評價，評估受試產品的可靠性與壽命指標。在此過程中，同樣會存在性能參數的測量不確定度問題，并經過建模與參數估計過程的傳播效應，對最終可靠性與壽命評估結果的可信性和可接受性產生較大影響。但是，目前尚未見在加速退化試驗領域開展測量不確定度的研究報道。因此，本文將在分析加速退化試驗中不確定度來源與傳播過程的基礎上，給出加速退化試驗測量不確定度評定的思路和方法，提高試驗結果評定的科學性和準確性。

1 加速退化試驗方法

1.1 主要流程

加速退化試驗的主要流程如圖1所示，具體實施步驟如下：首先，根據產品機理分析結果，找出影響產品壽命的關鍵機制類型及其對應的敏感應力、監測參數等；其次，制定加速退化試驗方案，確定產品樣本量、應力施加方式、應力大小、試驗時間、檢測頻率等要素；然后，搭建產品加速退化試驗應力施加系統和性能參數測量系統，根據試驗方案實施加速試驗，并按照要求進行產品功能和性能參數監測；最后，建立加速退化模型，通過對試驗數據進行統計分析估計模型未知參數，利用統計推斷給出受試產品可靠性與壽命評估結果。數據處理是加速退化試驗的核心，下文將重點介紹。

圖1 加速退化試驗主要流程Fig.1 Main process of ADT

1.2 ADT評估模型

加速退化試驗評估的首要任務是建立描述產品性能變化趨勢的退化模型。維納過程模型是目前應用最為廣泛的退化建模方法，模型形式為

式中：Y（t）為t時刻產品性能值，Y（0）=0；μ為漂移參數，反映產品退化速率；σ為擴散系數，一般為常數；B（t）為一個用于表征退化過程隨機性的標準布朗運動過程，B（t） ～N（0，t）。

為了對產品在正常使用條件下的可靠性與壽命指標進行評估，還需要構建不同應力水平與退化速率之間的關系，即加速模型。加速模型主要取決于應力類型。以溫度和濕度綜合應力為例，通常采用Peck模型作為加速模型。采用維納過程建立ADT模型時，通常假設漂移系數μ為一個與應力相關的函數，實現加速模型與退化模型的結合，即

式中：Ea為激活能；T為絕對溫度；RH為相對濕度；kB為玻耳茲曼常數，取為8.617×10-5eV/K；a、C為常數。

將式（2）代入式（1），即可構建基于維納過程的加速退化模型。在此基礎上，根據維納過程的首穿時服從逆高斯分布的性質，給定產品性能參數的退化失效閾值ω，即可推導出給定應力水平下的產品可靠度評估結果

式中：Φ（·）為標準正態分布的累積概率分布函數；μ為給定應力水平下的退化速率。

1.3 參數估計方法

為了使用上述模型開展產品可靠性評估，需對ADT中收集的試驗數據進行統計分析，采用極大似然估計等方法對模型未知參數進行辨識。具體參數估計過程如下：

將n個樣本隨機分成k組，進行k應力水平的恒定應力加速退化試驗（Constant Stress Accelerated Degradation Testing， CSADT）。S0為正常應力水平，S1＜S2＜…＜Sk為加速應力水平。以溫濕度應力為例，第（ll=1，2，…，k）個加速應力水平Sl下，投了nl個樣本，且該應力下每個產品的性能均檢測了為ml次后結束試驗。試驗中共檢測m次，每次同時產品性能進行監控的時間為tli（jl= 1， 2，…，k；i=1，2，…，nl；j=1，2，…，ml），監控到的性能值記為ylij。令Δylij=yl（ij+1）-ylij，檢測時間間隔為Δtlij=tl（ij+1）-tlij，則根據維納過程模型中性能退化增量服從正態分布的特性，得到CSADT的對數似然函數［16］為

式中：μl= exp（A-Ea/（kBTl）+Cln RHl）為加速模型。

加速模型的參數A、Ea、C可以通過最小二乘方法進行估計［17］。通過對產品在每個加速應力水平下的性能退化數據進行線性回歸分析，可得到L個加速應力水平下的性能退化率μl（l=1，2，…，L）。根據加速模型lnμl=A-Ea/（kBTl）+C·ln（RHl），通過在應力水平（Tl， RHl）和性能退化率μl構成的二維平面進行最小二乘準則下的擬合分析，即可得到參數A、Ea、C的估計值

對式（4）中參數σ求偏導，即可利用極大似然估計方法求得參數σ的估計值。σ2的極大似然估計表達式

1.4 ADT測量不確定度來源及傳播效應分析

在加速退化試驗中，由于儀器誤差、測量環境、人員操作不當等因素，測量結果和實際真值之間會存在偏差。測量誤差是測量結果與真值的差值，但由于真值往往無法得到，誤差也難以確定。而測量不確定度是對測量結果的精確性，或者說分散性的描述。測量不確定度與測量結果相聯系，是無正負號的參數，用標準差或標準差的倍數或置信區間的半寬來表示，以評價測量結果質量的好壞［4］。

在加速退化試驗中，導致性能參數監測結果產生測量不確定度的因素［14］主要有：①樣本差異性導致抽取的樣本不能完全代表所定義的被測量；②對測量過程受加速應力條件影響的認識不準確，或試驗設備對應力條件的測量與控制不完善；③對模擬式儀器的讀數存在人為偏差；④測量儀器計量性能上的局限性；⑤與測量原理、測量方法、測量程序有關的近似性和假設性；⑥在相同的測量條件下，被測量重復觀測值的隨機變化；⑦對一定系統誤差的修正不完善；⑧測量中的粗大誤差因不明顯而未被剔除。

此外，因為加速退化試驗的目的是利用測量數據建立加速退化模型以評估產品在正常應力下的可靠性水平，所以在此過程中還需要考慮產品性能觀測的測量不確定度對最后可靠性評估結果的影響，即測量不確定度的傳播效應。對于ADT來說，性能參數觀測值的測量不確定度主要通過數據建模與參數估計過程傳播到最終的評定結果。在此過程中，需要采用回歸分析、極大似然估計等方法進行ADT模型的參數估計。因此，還需要對ADT模型參數估計過程中的測量不確定度進行傳播分析與合成計算。

2 ADT測量不確定度評定方法

2.1 ADT測量不確定度的GUM評定方法

GUM是世界上通用的測量不確定度評價標準，其所提到的評定方法也是評估測量不確定度時最常用到的方法。這一方法的基本原理是利用不確定度傳播律來得到被測量估計值，進行測量不確定度的評估，對應國內標準為JJF1059—2012《測量不確定度評定與表示》［7］。結合加速退化試驗的建模分析過程，給出加速退化試驗測量不確定度評價的GUM方法，如圖2所示。

圖2 ADT測量不確定度GUM評估流程Fig.2 GUM estimation procedure of ADT measurement uncertainty

2.2 性能觀測數據的測量不確定度計算

GUM法將觀測數據的測量不確定度的評定方法分為A類評定方法和B類評定方法，對應得到A類測量不確定度與B類測量不確定度，二者分別針對的是由統計方法得到的不確定度分量以及由非統計方法得到的不確定度分量。將二者合成可以得到GUM法的測量不確定度計算結果。需要注意的是，測量不確定度是由測量過程中的隨機效應及系統效應導致的，從不確定度評定方法上進行的A類和B類評定與產生測量不確定度的原因無聯系［7］。A類不確定度與B類不確定度的具體計算方法如下。

1） A類測量不確定度的計算方法

A類測量不確定度的評定指在同一條件下，對被測量進行獨立重復的觀測，并根據觀測得到的數據運用統計分析的方法得到實驗標準偏差，以此作為不確定度評定結果。通常采用貝塞爾公式計算實驗標準差，以一個樣本在某個觀測時間點的測量數據為例，對于滿足重復性測量條件的rN次重復觀測結果yr，r=1， 2， …，rN，有

式中：uA（yr）為單個樣本單次觀測結果的標準不確定度為rN次觀測結果平均值的測量不確定度為rN次重復觀測數據的均值。顯然作為觀測結果比任何單次觀測結果更可靠。

2） B類不確定度的計算方法

除了采用觀測數據計算實驗標準偏差的A類不確定度，還需考慮B類不確定度。B類不確定度是根據非試驗直接觀測量來進行評定的。其來源有：權威機構發布的量值，設備的校準證書，標準物質的量值，經檢定測量儀器的準確度等級，通過經驗推斷的極限值等。通過以上給出的信息，可得到被觀測數據的可能值區間半寬度aB，再選取合適的擴展因子kGB，則最終可得測量的B類不確定度為

假設ADT測量涉及的B類不確定度服從正態分布，參考JJF 1059.1—2012標準［7］，取kGB=1.96。則ADT中性能參數觀測數據的測量不確定度u（yr）的評定結果為

由此，即可完成GUM評定中性能參數觀測數據不確定的計算與合成。

2.2.1 ADT建模過程中測量不確定度的傳播合成

式（8）給出了ADT性能觀測數據的測量不確定度評定結果。在此基礎上，研究者最關心的是其對最后的產品可靠性評估結果的影響。一般來說，性能觀測數據的測量不確定度會通過加速退化試驗的建模與參數估計過程，最終傳播到產品可靠性評估結果，因此還需要開展測量不確定度的傳播效應分析。

根據ADT建模與參數估計過程，首先需要分析ADT中性能觀測數據的測量不確定度如何傳播到加速模型和擴散系數中。

在產品加速退化試驗可靠度估計的過程中，模型參數θ=｛A，Ea，C，σ｝的不確定度u（θ）需要結合參數估計的過程合成得到。在時刻t，可靠度R（t）可視作模型參數θ相關的函數，由此，通過將模型參數的不確定度進行合成，最終可得到可靠度估計結果對應的合成不確定度的評定結果uc（R（t））。

1） 加速模型參數的不確定度的計算

根據觀測數據，可以直接計算每個應力下的退化速率。則第l組加速應力下退化速率的不確定度u（μl）計算公式［18］為

式中：yj為第j點處的觀測數據，tj為觀測時間點；ml為第l組應力下總測量點數。

進一步，將加速模型式（2）對數線性化，可得

式中：A=lna。

可以看出，式（10）為一個lnμ相對溫度應力水平1/T和濕度應力水平ln(RH)的二元線性回歸方程。在根據式（9）得到不同應力水平下退化速率的不確定度u（μl）后，取對數可得對應的u（lnμl）。令z=lnμ，a0=A，a1=Ea，a2=C，x1=-1/（kBT），x2=ln(RH)，對于二元線性回歸方程：z=a0+a1x1+a2x2，其系數a0、a1、a2的估計值［19-20］為

其中

在得到u（lnμl）后，采用文獻［19-20］給出的二元線性回歸方程系數的測量不確定度計算方法，即可得到加速模型參數A、Ea、C的測量不確定度的估計結果u（A）、u（Ea）、u（C）。

2） 正常應力水平下退化速率測量不確定度的傳播合成

ADT的目標是評估正常應力水平（T0，RH0）下的可靠度，其中RH0為正常濕度水平，T0為正常溫度水平。為此，首先需要將（T0， RH0）代入加速模型式（2），得到正常應力水平下的退化速率μ0。因此，在計算出加速模型參數的測量不確定度u（A）、u（Ea）、u（C）后，考慮測量不確定度的傳播效應，還需要合成計算退化速率μ0的測量不確定度。

對于某含有S個元素hs（s=1，2，…，S）的測量模型f（h1，h2，…，hS）而言，其不確定度uc（f）可通過合成各個元素測量不確定度得到［7］。合成不確定度uc（f）的公式為

加速模型式（2）可視為一個含有A、Ea、C等多個元素的測量模型，假設模型參數之間相互獨立，則每2個參數間的相關系數均為0。根據測量不確定度的合成計算公式（式（12）），可得正常應力下的退化速μ0=exp()A-Ea/(kBT0)+Cln(RH0)的測量不確定度為

3） 參數σ的不確定度計算

由第1.3節可知，參數σ可以通過極大似然估計得到，則其測量不確定度可通過對所有觀測數據測量不確定度合成來進行量化。根據式（5），可以推導出參數σ2的測量不確定度

進一步，根據不確定度的合成公式（式（13）），可得參數σ的不確定度為

2.2.2 可靠性評估結果的測量不確定度評定

將估計得到的參數μ0、σ代入式（3），即可計算產品在正常應力水平下的可靠度。假設模型參數μ0、σ相互獨立，則根據不確定度合成公式（式（13）），可靠性評估模型的合成不確定度uc（R（t））為

對應可得到可靠性評估結果的測量不確定度區間，記區間上下限分別為RGU和RGL，有

由于可靠度的取值范圍是［0，1］，為了保證計算得到的測量不確定度上下限不超出［0，1］區間之外，如果RGU計算結果大于1，則取值為1；如果RGL計算結果小于0，取值為0。

2.3 ADT測量不確定度的MCM評定方法

蒙特卡洛法（Monte Carlo Method，MCM）是一種通過重復采樣實現分布傳播規律的數值方法。采用蒙特卡洛進行測量不確定度評定的思路是根據ADT性能觀測數據的重復測量結果計算其對應的分布，據此進行仿真抽樣，再依照ADT評估流程進行仿真數據的退化建模與參數估計，并對多次抽樣的可靠性評估結果進行統計分析，評定計算測量不確定度。MCM評定方法流程如圖3所示，具體步驟如下：

圖3 加速退化試驗測量不確定度MCM評估流程Fig.3 MCM procedure of ADT measurement uncertainty estimation

1） 對于第l個應力下第i個樣本在第j次觀測點上的性能觀測數據ylij，假設其rN次重復觀測的觀測數據服從正態分布，可通過擬合得到其分布參數為N（ulij，vlij），令所有觀測值的分布參數組成矩陣（u， v）。

2） 利用蒙特卡洛法分別對步驟（1）中每個觀測點觀測數據ylij進行M次仿真抽樣，第k次抽樣得到的點所組成的矩陣記作Pc，c=1，2，…，M，則得到M組仿真性能觀測數據。

3） 采用1.2、1.3節中的方法，針對仿真得到的M組加速退化數據分別進行退化建模和統計分析，得到M組可靠性評估結果R1（t），R2（t），…，RM（t）。

4） 對步驟3）得到的M組可靠度評估結果進行平均，得到最終的可靠性評估結果為

5） 則可靠性評估結果的測量不確定度u（R（t））為蒙特卡洛法得到的M組可靠度評估結果的標準差

6） 將M組可靠度評估結果的取值按從小到大進行排列，可計算得到80%包含概率對應的上下界［8］為

3 應用案例

為了驗證本文方法的有效性，以某型空間用高分子傳感器的加速退化試驗數據為對象進行案例分析。該傳感器主要用于神舟飛船、貨運飛船、空間站等裝備艙室內、儲運箱內環境濕度的檢測，保障儀器設備、人員生存環境的舒適性與安全性。該傳感器ADT的加速應力類型為高溫和濕度復合應力，共設置4個應力水平，試驗條件如表1所示。每個水平下投入3個樣本，在每個觀測時刻點，對所有樣品的性能指標D值（表示高分子傳感器的濕敏電容電極間距離）都分別進行3次重復測量。

表1 空間用高分子傳感器ADT試驗條件Table 1 ADT conditions of polymer sensor for space

按照上述條件開展高分子傳感器加速退化試驗，收集得到的傳感器D值退化數據如圖4所示。

圖4 高分子傳感器ADT觀測數據Fig.4 Data of polymer sensor ADT

利用1.3節中方法對高分子傳感器加速退化模型的參數進行求解，得到：A=-6.803、Ea=0.785、C=2.139 2、σ=0.016 0。

根據參數估計結果，即可得到D值的退化速率與溫度、相對濕度2種應力的關系，即加速模型，如圖5所示。將表1估計結果代入式（1）、式（3），即可得到傳感器D值的加速退化模型與對應的可靠度函數。

3.1 傳感器ADT測量不確定度GUM評定

利用GUM方法進行測量不確定度的評定，首先要考慮測量不確定度的來源。加速退化試驗的測量數據是基于重復測量得到的，其后續的數據分析也是基于測量數據開展的。根據1.4節的分析，結合高分子傳感器加速退化試驗的具體情況，受傳感器加速退化試驗的測量條件、測量環境等因素影響，在實際的參數測量過程中，總會存在一定的分散性。同時，傳感器的性能參數是利用LCR測量儀進行測量讀取的，查閱相關設備信息并結合JJF 1059.1—2012［7］中給出的方法，可選取合適的分布和置信度，對儀器所引入的測量不確定度進行量化分析。

利用2.2節中方法，分別計算高分子傳感器ADT觀測數據的A類和B類測量不確定度。A類測量不確定度基于試驗退化數據利用貝塞爾公式進行計算，B類測量不確定度按式（7）進行計算，其中區間半寬度aB為0.25，擴展因子kGB=1.96。而后利用式（8）進行合成，得到觀測數據的合成不確定度。在此基礎上，利用式（9），可分別計算得到4個應力水平下退化速率μl的測量不確定度為u（μl）=（4.019×10-7，4.044×10-7，4.083×10-7，4.125×10-7）。

根據式（9）～式（16），可計算出正常應力水平下的加速退化模型參數μ0、σ的不確定度評定結果為u（μ0）=3.017×10-7和u（σ）= 0.083 0。

最終，得到的正常應力水平（溫度25 ℃，相對濕度50%RH）下高分子傳感器的可靠度曲線及測量不確定度評定結果如圖6所示。

圖6 正常應力水平下傳感器可靠度曲線及測量不確定度評定結果（GUM）Fig.6 Reliability evaluation result and associated uncertainty interval of polymer sensor

3.2 傳感器ADT測量不確定度MCM評價

假設高分子傳感器ADT中每個觀測時刻的重復測量數據服從正態分布，首先對各觀測點數據的分布參數進行估計。在此基礎上，根據求解得到的各觀測時間點的正態分布參數，對性能參數進行M次抽樣。為保證仿真結果精度，令抽樣次數M=5 000，可得到對應的仿真樣本空間如圖7所示。

圖7 ADT觀測數據MCM仿真抽樣結果Fig.7 MCM simulation results of observation data

根據1.2、1.3節的ADT模型參數估計與可靠性評估方法，對M組ADT仿真數據逐一進行分析評估，得到M組可靠度評估結果。通過計算均值和標準偏差，得到高分子傳感器在正常應力水平下的可靠度評估結果和80%包含概率對應的上下界，如圖8所示。

圖8 基于MCM的傳感器可靠度評估結果與對應80%包含區間Fig.8 Evaluation results of sensor reliability based on MCM and corresponding 80% inclusion interval

3.3 結果比較

分別采用上述兩種方法進行ADT測量不確定度評定的結果對比見圖9，可以看出利用2種方法得出的測量不確定度的區間寬度較為接近。

圖9 可靠度評估結果對比Fig.9 Comparison of reliability evaluation results

以t=50 000 h為例，對比分析2種方法的測量不確定度評定結果。利用GUM方法計算得到的高分子傳感器可靠度估計值為0.906 5，對應的測量不確定度計算結果為0.006 0，則GUM測量不確定度相對區間寬度WG為

采用MCM方法得到的高分子傳感器可靠度估計值為0.916 4，對應的測量不確定度計算結果為0.004 1，80%包含概率的不確定度上下限分別為0.921 5、0.910 9，則MCM測量不確定度相對區間寬度WM為

可以看出，利用MCM方法得到的測量不確定度評定結果相較于GUM法更小，相對區間寬度更小。由此認為，MCM方法相較于GUM方法有著更好的評估精度。同時MCM法利用仿真抽樣，建模過程相對GUM法而言更為簡單。但同時也應考慮加速退化試驗中測量不確定度來源分析相對簡單，且受試驗條件、試驗成本限制，計算結果會存在一定的誤差，后續尚需根據實際需求進行完善。

4 結 論

1） 結合加速退化試驗的建模與統計分析過程，引入測量科學領域中測量不確定度的概念，基于維納過程模型和Peck模型構建了加速退化試驗測量不確定度的分析框架，為加速退化試驗結果的評價提供了更加科學準確的參考。

2） 結合加速退化試驗性能測量和數據處理流程，分別基于GUM與MCM這2種測量不確定度分析理論，提出了加速退化試驗的測量不確定度評定方法，并對測量不確定度的來源與傳播效應進行了討論，為加速退化試驗中測量不確定度的評價提供了分析思路。

3） 以空間用高分子傳感器的加速退化試驗數據為案例，給出了傳感器可靠性評估的測量不確定度評定結果，并對論文所提的2種方法進行比較。