基于最優誤差動力學的變速導彈飛行路程控制制導律

劉遠賀，黎克波，*，何紹溟，梁彥剛

1.國防科技大學 空天科學學院，長沙 410072

2.空天任務智能規劃與仿真湖南省重點實驗室，長沙 410072 3.北京理工大學 宇航學院，北京 100081

飛行時間控制制導（Impact-Time-Control Guidance， ITCG）的概念最早由Jeon等［1］提出，主要應用于反艦導彈齊射攻擊，以使目標艦艇的近防系統在短時間內防御能力趨于飽和，從而實現導彈突防。ITCG主要針對的是固定或慢速移動目標，例如建筑工事、車輛、水面艦艇等。由于目標速度相對于導彈速度而言較小，通常在制導律設計與分析中可將其近似為固定目標［2］。

當前對ITCG的研究主要基于導彈飛行速度為常數的假設。文獻［3］基于高斯超幾何函數推導了純比例導引律（Pure Proportional Navigation， PPN）制導下導彈打擊固定目標的剩余飛行時間精確解，并提出了一種控制導彈飛行時間的修正純比例導引律。然而該制導律形式較為復雜，制導參數過多，可能帶來應用上的困難。文獻［4］基于誤差動力學（Error Dynamics， ED）方法，在PPN的基礎上增加飛行時間控制項，提出了一種基于ED的ITCG（ED-ITCG）。文獻［5］基于施瓦茨不等式提出了非線性最優誤差動力學（Optimal Error Dynamics， OED）方法，并提出了一種基于OED的ITCG（OEDITCG）。文獻［6］進一步提出了一種具有導引頭視場角約束的三維OED-ITCG。文獻［7］發展了ED方法，提出了固定時間收斂的誤差動力學方法（Fixed-Time-Convergent Error Dynamics，FxTCED），然后在此基礎上設計了一種基于FxTCED的ITCG（FxTCED-ITCG），該方法可以使導彈的飛行時間誤差在設定的固定時間內收斂到0，而此固定時間與初始相對運動狀態無關。文獻［8］基于FxTCED方法，引入了導引頭視場約束，設計了三維分布式多彈時間協同制導律。該制導律不包含切換邏輯，制導指令平滑且無奇異。以上研究主要基于誤差動力學方法，除此之外，還有很多學者采用其他現代控制理論對ITCG制導律進行研究［9-11］。

對于ITCG問題，雖然名義上控制的是導彈總飛行時間，然而實際上控制的卻是剩余飛行時間，即導彈命中目標時刻與當前時刻的時間差。若要控制剩余飛行時間，首先需要對其進行準確估計。上述ITCG對剩余飛行時間的估計算法都基于常速導彈假設。在實際飛行過程中，導彈速度總是在時變的，特別是對于某些空地導彈或高超聲速導彈，其俯沖段的速度變化可能高達60%。在導彈速度時變的情況下，采用常速導彈假設的剩余飛行時間估計算法，其精度將大打折扣，從而導致ITCG的控制精度下降，甚至失效而導致脫靶。

基于古典微分幾何曲線原理，在導彈飛行彈道的弧長域內構造導彈絕對運動和彈目相對運動方程，是一種研究導彈制導問題的新方法。文獻［12-16］基于古典微分幾何曲線原理研究了用于攔截機動目標的微分幾何制導律。在打擊固定目標方面，文獻［17］首次引入沿飛行彈道的弧長微分來研究導彈的運動規律，分析了PPN制導下變速導彈對固定目標的捕獲區域。在此基礎上，文獻［18］推導了PPN導引下變速導彈碰撞角和當前導彈前置角、視線角與比例導引系數的顯式關系，提出了基于PPN的碰撞角控制制導策略。然而，該制導策略雖然消除了導彈速度時變帶來的影響，卻不能用于控制導彈的飛行時間。雖然近期文獻［19］應用古典微分幾何曲線原理和雙虛擬目標方法設計了用于控制導彈飛行時間的圓弧制導律，然而該方法卻是基于常速導彈假設。

實際上，對于速度變化較為劇烈的導彈而言，由于對剩余飛行時間難以準確估計，因而也難以準確控制。無論直接采用基于常速導彈假設下推導的ITCG和剩余飛行時間估計方法，還是通過相對精確的建模計算平均速度的方法［20-22］，在導彈速度時變的情況下，理論上都無法對導彈飛行時間進行精確控制。然而，通過對弧長域內的彈目相對運動方程進行分析可以發現，對打擊固定目標而言，可以在相對運動方程中直接消除導彈速度項，進而可得出結論——導彈打擊固定目標的剩余飛行路程與其飛行速度無關，因而可對導彈的剩余飛行路程進行精確估計，從而對其進行精確控制。因此，本文將導彈飛行時間控制問題分解為飛行路程控制問題和速度剖面預測問題，應用古典微分幾何曲線原理研究飛行路程控制問題。

與ITCG問題相類似，飛行路程控制問題通常也需使導彈彈道更加彎曲，即期望剩余飛行路程通常比PPN導引下的導彈實際剩余飛行路程更長，因此存在前置角增大甚至超過90°的可能性。在此情況下，文獻［22-23］中所給出的剩余飛行路程估計公式的誤差也會增大，且相應導數的誤差更大。經過簡單計算可知，在前置角為60°時，雖然剩余飛行路程誤差僅為1%左右，但其導數的誤差卻達到接近30%的程度，這進一步增加了制導律失效的風險。文獻［24］證明了PPN的導引性能與導彈速度無關，并推導了PPN導引下導彈剩余飛行路程的積分解。借鑒文獻［3］中的高斯超幾何函數方法，在積分解的基礎上進一步推導了剩余飛行路程的精確解，并得到了精確剩余飛行路程誤差動力學方程，從而消除了小角假設這一制導律設計所廣泛采用的假設條件。

綜上所述，針對導彈速度時變的現實情況，不考慮小角假設和其他近似假設，在制導模型完全非線性條件下，首先基于古典微分幾何曲線原理和弧長域內的彈目相對運動方程，將導彈剩余飛行時間估計問題轉化為剩余飛行路程估計問題。然后基于高斯超幾何函數方法，推導了PPN導引下導彈打擊固定目標的剩余飛行路程精確解。接著在此基礎上提出了基于最優誤差動力學的全局非線性飛行路程控制制導律（OED based Flying Range Control Guidance， OEDFRCG），即將PPN當成導彈制導模型的一部分，應用OED方法消除導彈飛行路程誤差。最后，通過數值仿真算例，驗證了所設計制導律的有效性?？傮w結構如下：第1節介紹了導彈非線性制導模型；第2節基于高斯超幾何函數方法推導了PPN導引下變速導彈的剩余飛行路程精確解；在此基礎上，第3節進一步推導了變速導彈精確剩余飛行路程的誤差動力學方程，并應用最優誤差動力學方法設計了具有全局非線性的最優飛行路程控制制導律OED-FRCG；第4節和第5節分別給出了數值仿真算例和結論。

1 導彈制導模型

導彈制導模型如圖1所示，oxy是慣性坐標系，M和T分別代表導彈和目標，vm為導彈速度矢量，r為彈目相對位置矢量。(er，eθ)為視線坐標系，(tm，nm)為導彈速度坐標系。q為視線角，從ox軸逆時針旋轉至er為正；φm為導彈速度傾角，從ox軸逆時針旋轉至tm為正；θm是導彈前置角，從er逆時針旋轉至tm為正。

圖1 導彈制導模型Fig.1 Missile guidance model

在二維平面oxy上，可得導彈在弧長域內的絕對運動方程為［17］

式中：κm為導彈飛行彈道的曲率，“′ ”表示變量對彈道弧長s的導數，本文以κm為制導指令來設計制導律。

文獻［13］給出了弧長域內的彈目相對運動方程。當目標固定時，彈目相對運動方程變為

考慮飛行路程約束，該系統的初始和終端約束條件是以弧長為變量的函數：

式中：s0為制導開始時刻的飛行路程；sf為碰撞時刻的飛行路程；sd為期望的飛行路程。

矢量形式的PPN表達式為［3］

式中：N為比例導引系數；q?為視線轉率；ez為垂直于oxy平面向上的單位矢量。當目標固定時，彈目相對速度矢量v和導彈速度矢量vm重合，有v=-vm。

將v沿視線系投影可得

聯立式（1）、式（4）和式（5），可得弧長域內PPN的表達式為

文獻［24］給出了PPN導引下的變速導彈前置角θm和彈目相對距離r的關系為

下面在上述PPN導引下變速導彈打擊固定目標的非線性制導模型基礎上，在弧長域內推導導彈剩余飛行路程的精確解。

2 剩余飛行路程精確解

基于高斯超幾何函數方法［3］，推導PPN導引下變速導彈剩余飛行路程的精確解。

當|θm|≤π2時，將式（7）代入式（2），以彈目相對距離r為變量，經整理后可得：

由于終點時刻彈目相對距離r收斂到0，因此對式（8）兩邊積分，可以計算終點時刻導彈飛行軌跡的長度，即終點飛行路程：

由式（9）可知，從當前時刻到終端時刻的飛行軌跡路程為

即為當前剩余飛行路程，有sgo=sf-s，s為導彈的當前飛行路程。

令τ=()2(N-1)，根據高斯超幾何函數的積分形式［3］，式（10）可以改寫為

式（11）還可以表示為無窮級數形式：

其中：

式（12）即為剩余飛行路程sgo的估計值。所取項數越多，該估計值越精確。當只取第1項時，sgo可近似表示為

即將彈目相對距離近似為導彈剩余飛行路程。

當取前兩項時，sgo可近似表示為

當前置角θm為小量時，有sinθm≈θm，此時式

（14）可進一步近似為

式（15）即類似于文獻［4-5］中剩余飛行時間估計常采用的一階近似形式。

當π2＜|θm|＜π時，采用相似的計算步驟可得：

綜合式（12）和式（16），可得剩余飛行路程精確解為

將該無窮級數的精確解形式表示成有限級數的近似解形式，有：

式中：m為大于等于0的正整數，取值越大，所得結果的誤差越小。

通過仿真算例，將常用1階近似解式（15）、有限級數近似解式（18）同無窮級數表示的精確解式（17）之間的誤差做對比分析，如圖2和圖3所示。

圖2 常用1階近似和精確解之間的誤差Fig.2 Error between comman approximation and exact solution

圖3 剩余飛行路程級數解誤差（N = 3）Fig.3 Error of series solution for flying-range-to-go（N = 3）

由圖2可知，前置角θm越小，sgo估計誤差越?。槐壤龑б禂礜越大，sgo估計誤差越小。當θm＜90°、N取3～5時，估計誤差保持在5%以內。然而，當θm＞90°時，估計誤差快速增大，此時近似估計式（15）不再適用。

圖3為比例導引系數N=3時，sgo級數解式（18）取有限項的誤差與θm之間的關系。由圖3可知，級數項m取得越大，估計誤差越小。并且由仿真結果還可發現，在0°～90°范圍內，常用1階近似式（15）的估計誤差明顯優于級數解的1階近似結果，但在θm超過90°后，式（15）的估計誤差快速增大，在140°左右時超過式（18）1階近似的誤差。另外，當式（18）取20階以上時，其估計誤差始終小于式（15）。

3 飛行路程控制制導律設計

3.1 弧長域內的最優誤差動力學

導彈制導的本質是有限時間誤差跟蹤問題［5］。跟蹤問題在弧長域內通常可以表示為

式中：ε(s)為跟蹤誤差；κ(s)為控制輸入；g(s)為已知的函數。在制導律設計中，跟蹤誤差ε(s)可以選為零控脫靶量、碰撞角度誤差、飛行時間誤差（或飛行路程誤差）、視線角轉率等。此外，由于跟蹤問題一般是可控的，因此有g(s)≠0。

考慮誤差收斂模式的最優性問題，文獻［5］提出了一種最優誤差動力學方法，將其在弧長域中表述，可得引理1。

引理 1對于式所示的跟蹤問題，選擇期望的誤差動力學方程為

式中：sgo為剩余飛行路程，Γ(s)表達式為

則控制輸入為

可以使式（22）所示的性能指標達到最優：

式中：H(·)為權重函數。

對于引理1，當取H(s)=1，性能指標變為曲率積分最小，等價于能量最優的形式。當取則此時Γ(s)=K，而式（23）所示的加權性能指標變為

3.2 制導律設計

將弧長域內基于PPN的FRCG設計為

式中：κPPN=Nq′為純比例導引項，用于控制零控脫靶量；κFR為飛行路程控制項，用于控制飛行路程誤差。

令期望的終端飛行路程為sd，那么飛行路程誤差可以定義為

由于式（17）所示的sgo精確解只與相對距離r、前置角θm和比例導引系數N相關，因此將式（17）對導彈弧長s求導，當|θm|≤π2時，有

其中，2個偏導數分別為

將式（27）和式（28）代入式（26），整理可得：

其中：

不難證明M1=-1。對于M2，當級數取有限項時，即為其近似值，例如，當取前兩項時，有：

當前置角θm為小量時，式（30）可進一步近似為

式（31）與文獻［4］和文獻［5］在常速導彈假設下所推導的ITCG中飛行時間控制項的系數形式相一致，這是因為PPN導引的導彈飛行路程與其速度大小無關，而在導彈速度大小不變的假設下，導彈飛行路程是飛行時間與導彈速度的乘積，因此兩種制導律的系數形式相同。

當π2＜|θm|＜π時，采用相似的推導步驟，也可得到如式（29）所示的形式。因此，M2的完整表達式應為

將式（25）對弧長s求導，并代入式（29），可得導彈飛行路程誤差動力方程：

其對應的最優性能指標即為式（23）。

聯立式（33）和式（34），可得基于sgo精確解的最優飛行路程控制項為

利用Lyapunov函數方法證明所設計的飛行路程控制項的收斂性。在弧長域內選擇關于導彈飛行路程誤差的Lyapunov函數為

將該Lyapunov函數對導彈弧長s求導，并先后將式（33）和式（35）代入，可得：

式（37）存在解析解：

當V(0)≠0時，則當且僅當s=sf時，V(s)收斂到0，這意味著飛行路程誤差在碰撞時刻收斂到0，即飛行路程誤差是有限時間收斂的，且收斂時間為碰撞時刻。

將式（35）代入式（24），可得OED-FRCG：

根據式（1）中曲率與加速度之間的轉換關系，將式（39）所示的弧長域內的制導曲率指令表示為時間域內的制導加速度指令，可得：

對于飛行路程控制項分母中的M2，當前置角θm→0時，有M2→0，將會導致飛行路程控制項奇異，因此采取如下去奇異化手段：

式中：δ為一個較小的常數，當M2→0時在分母中起主導作用。

文獻［5］基于最優誤差動力學方法提出了OED-ITCG，實際上也可將其表示為飛行時間精確解的形式：

其中，M2即為式（32）所示的形式。

對比本文提出的OED-FRCG和文獻［5］中的OED-ITCG，可以發現，在常速導彈場景中，式（40）完全等價于式（42）；而在變速導彈場景中，則不可能得到導彈剩余飛行時間的精確解。然而，根據本文分析可知，在PPN導引下，導彈的剩余飛行路程與其速度大小完全無關，因此可將導彈的飛行時間控制問題轉換為飛行路程控制問題，可從理論上消除導彈速度變化對飛行路程控制帶來的影響，下面通過仿真驗證這一結果。

4 數值仿真

以變速導彈打擊固定目標為背景，彈目初始相對距離r0=10 000 m，初始彈目視線角q0=-30°，導彈初始速度前置角θm0=30°。導引頭盲區距離為50 m，導彈最大過載為20g，去奇異化參數設置為δ=0.01。仿真步長為1 ms。導彈速度大小時變，假設導彈沿速度方向的阻力加速度是-5 m/s2，使其速度不斷降低。

4.1 OED-FRCG特性分析

場景1 不同初始速度

比例導引系數取N=3，飛行路程控制項系數取K=10，期望飛行路程為sd=12 000 m，3枚導彈的初始速度分別為vm0=500、400、350 m/s，仿真結果如圖4所示。

圖4 導彈速度大小不同的仿真結果Fig.4 Results of simulation with different missile speeds

導彈飛行軌跡如圖4（a）所示，可知雖然導彈速度不同，但在OED-FRCG導引下的軌跡重合。圖4（b）顯示了導彈飛行時間和飛行路程的關系，3枚導彈均飛行了12 000 m，但其速度越大，飛行時間越短。圖4（c）和圖4（d）分別為制導加速度隨時間的變化曲線和制導曲率隨路程的變化曲線，從圖4（c）很難得到速度不同導彈的制導加速度的相同性質，但圖4（d）的制導曲率重合，這說明OED-FRCG的制導曲率與導彈速度大小及其變化規律無關，這與本文的理論推導是一致的。此外，如圖4（e）～圖4（h）所示，當以飛行路程s為自變量時，在同一OED-FRCG的導引下，不同速度導彈的制導曲率、視線轉率、視線角、速度傾角、前置角和飛行路程誤差變化曲線等都重合，這說明在弧長域中設計的制導律及其性能與導彈速度大小和速度變化均無關系，可以消除導彈速度變化對相對運動分析和制導律設計的影響。為了進行統一的對比分析，在下文的仿真中，結果都以時間作為自變量來展示。

場景2 不同期望飛行路程

初始仿真場景不變，制導參數選擇為N=3，K=10。對于采用PPN導引的導彈，其總的飛行路程為10 281 m。3枚導彈的初始速度均為vm0=500 m/s，不妨設置導彈的期望飛行路程分別為sd=11 000、12 000、13 000 m，仿真結果如圖5所示。

導彈飛行軌跡如圖5（a）所示，可知期望飛行路程越大，導彈的飛行軌跡越彎曲。圖5（b）為導彈飛行路程誤差變化曲線，如圖所示，導彈飛行路程誤差的收斂速度主要受制導律參數所決定，與期望飛行路程的大小無關。制導加速度變化曲線如圖5（c）所示，期望飛行路程越大，初始制導加速度越大，需要合理選擇制導參數，避免過載飽和。導彈前置角變化曲線如圖5（d）所示，3枚導彈的前置角都是先增大后減小，在碰撞時刻收斂到0。根據該仿真結果可知，對于變速導彈的飛行路程控制，應選擇合適的終端飛行路程，以避免導彈制導加速度指令過大。

場景3 不同制導參數

初始仿真場景仍然不變，比例導引系數取N=3，期望飛行路程為sd=12 000 m。3枚導彈的時間控制項系數分別取K=5、10、15，仿真結果如圖6所示。

圖6 制導參數不同的仿真結果Fig.6 Results of simulation with different guidance parameters

圖6（a）和圖6（b）分別為導彈飛行軌跡和導彈飛行路程誤差變化曲線，由圖可知，時間控制項系數K越大，導彈運動軌跡在初始階段越彎曲，相應的飛行路程誤差收斂越快。導彈制導加速度、前置角和視線轉率變化曲線如圖6（c）～圖6（e）所示，可知K越大，初始制導加速度也越大，前置角和視線轉率的變化也越劇烈。能量消耗曲線見圖6（f），參數K越大，能量消耗越多，這是因為在制導開始階段，K越大，FRCG產生的制導加速度也越大，相應的飛行路程誤差收斂得也越快，同時能量消耗也越多。但K也不能太小，因為當K取值比較小時，在臨近碰撞的時候會出現制導加速度突變的情況，這是因為OED方法是漸近收斂的，在導彈擊中目標前后如果誤差未收斂到足夠小，而此時剩余飛行路程sgo已經比較小了，則飛行路程控制項會越來越大，此即碰撞前制導加速度陡增的原因，這也是文獻［7-8］提出固定時間/有限時間收斂誤差動力學的原因。進入導引頭盲區后，因飛行路程誤差和視線轉率未收斂到0，彈目相對距離快速減小，也就出現了視線角和前置角陡變的情況。

4.2 不同制導律性能對比

以期望飛行路程sd=12 000 m為例，當導彈速度保持500 m/s不變時，其期望飛行時間為24 s；當導彈速度按4.1節所設定的規律變化時，其期望飛行時間為27.9 s。在速度不變和速度變化的場景中，對比式所示的OED-FRCG、式所示的OED-ITCG和文獻［22］中基于偏置比例導引的ITCG（BPN-ITCG）。OED-FRCG和OEDITCG的制導參數設置相同，均取比例導引系數N=3，時間或路程控制項系數K=10；BPNITCG的制導參數分別取k1=1，k2=100。與前2種制導律不同的是，BPN-ITCG需要建立導彈速度變化模型，并預測導彈未來平均速度，因此在變速導彈仿真場景中OED-ITCG采用導彈實時速度進行計算，BPN-ITCG采用導彈未來平均速度進行計算。

場景1 導彈速度大小不變

當導彈速度不變時，設置期望飛行時間為td=24 s，期望飛行路程為sd=12 000 m，3種制導律的仿真結果如圖7所示。

圖7 3種制導律仿真結果（常速）Fig.7 Results of simulation with three guidance laws （constant speed）

由圖7（a）可知，在導彈速度大小不變的場景中，3種制導律導引的導彈運動軌跡幾乎重合。由圖7（b）～圖7（d）可知，OED-FRCG和OEDITCG的性能是相同的，而BPN-ITCG導引的導彈飛行時間誤差收斂更快，最大制導加速度較小。但總體而言，3種制導律在導彈速度大小不變的場景中具有相似的性能，下面在導彈速度大小變化的場景中分析3種制導律的差異。

場景2 導彈速度大小變化

由于在導彈速度大小變化的場景中，期望飛行路程為sd=12 000 m時，其飛行時間為27.9 s。為了方便對比3種制導律的性能，設置期望飛行時間為td=27.9 s，其他仿真參數不變，仿真結果如圖8所示。

圖8 3種制導律仿真結果（變速）Fig.8 Results of simulation with three guidance laws （varying speed）

導彈運動軌跡、飛行路程/時間誤差如圖8（a）和圖8（b）所示，可知3種制導律導引的導彈均能擊中目標，但OED-ITCG的飛行時間誤差不能收斂到0，這是由變速導彈無法準確估計剩余飛行時間造成的。圖8（c）為導彈制導加速度變化曲線，OED-FRCG和BPN-ITCG的制導加速度曲線均先下降后上升，且在制導末端收斂到0，但OED-FRCG的曲線較平滑，而BPNITCG的制導加速度在4 s左右時存在較快的變化。另外，OED-ITCG的制導加速度在末端發生抖震，這是因為在導彈碰撞目標前OEDITCG仍未能消除剩余飛行時間誤差εt，而分母中的tgo和θm已減小到0附近，因而飛行時間制導項出現奇異，導致制導加速度陡增。雖然通過去奇異化可以消除θm趨于0的影響，卻不能夠消除tgo估計不準的影響。更進一步地，圖8（d）中的導彈前置角變化曲線也說明OED-ITCG的前置角在15s左右就收斂到0了，此后OED-ITCG已無繼續減小εt的能力。

為方便對比制導律性能，以OED-FRCG導引下的平均速度430.3 m/s為基準，將飛行路程誤差轉換為飛行時間誤差，3種制導律的性能對比如表1所示。由于所建立的導彈仿真模型不含測量誤差、建模不確定性和執行機構延遲等，所以3種制導律的脫靶量均較小。在場景1中，OED-FRCG和OED-ITCG性能相同，時間誤差和脫靶量誤差小量是由離散化的數值仿真步長所導致的，可忽略不計，所需速度增量均低于BPN-ITCG。在場景2中，OED-FRCG依舊保持了場景1中的性能，不止時間誤差和終端脫靶量最小，并且所需速度增量也最少，而OEDITCG在此場景中未能達到控制飛行時間的要求，BPN-ITCG雖然也能滿足控制飛行時間的要求，但需要對導彈速度進行建模并預測未來平均速度，增加了計算量和問題復雜度。

表1 3種制導律性能對比Table 1 Performance comparison of three guidance laws

綜合以上分析，當導彈速度不變時，OEDFRCG和OED-ITCG的性能相同，且和BPNITCG的性能相似。而當導彈速度變化時，OEDITCG不能達到預期的飛行時間控制目標，其原因主要有兩點：其一是飛行時間控制項主要是對PPN制導彈道進行整形，以消除剩余飛行時間誤差εt，而一旦彈道進入直線飛行階段，εt就不能再減小了；其二是tgo與導彈實時速度有關，導彈速度減小導致tgo增大，而進入直線飛行階段的導彈又不再具有進一步減少飛行時間的能力，因而εt也不斷增大。而對于飛行路程控制問題，由于剩余飛行路程sgo可以準確估計，因而本文提出的OED-FRCG可以對sgo進行精確控制，從而對導彈的總飛行路程進行精確控制，而與BPN-ITCG相比，OED-FRCG不需要對導彈速度變化進行建模和預測。

5 結 論

1）針對變速導彈，在考慮制導系統完全非線性的條件下，應用微分幾何基本原理，建立了以飛行彈道弧長為自變量的導彈絕對運動方程和彈目相對運動方程，將剩余飛行時間估計轉化為剩余飛行路程估計，在建模階段即可避免導彈速度大小變化所帶來的影響。

2）基于高斯超幾何函數方法推導了PPN導引下導彈剩余飛行路程的精確解，在此基礎上進一步采用最優誤差動力學方法，設計了具有全局非線性的最優飛行路程控制制導律。

3）基于微分幾何曲線原理，提出了一種變速導彈打擊固定目標的制導律設計框架，該方法可進一步拓展至碰撞角控制制導、多彈協同制導等新型微分幾何制導律設計中。