不等式選講常見典型考題賞析

■河南省商丘市實驗中學 馬春林

不等式選講是高中數學的重要內容,也是高考的必考點。高考對不等式選講內容的考查主要有兩個方面:一是考查不等式,特別是含有絕對值的不等式的求解,以及最值、恒成立及存在性問題;二是考查不等式的證明。下面主要介紹不等式選講中的常見典型考題,供大家復習時參考。

一、含絕對值的函數的圖像

例1已知函數f(x)=|2x-1|,g(x)=5ax-2,a∈R。

(2)若存在x∈[-5,5],使得g(x-2)＞f(x)成立,求實數a的取值范圍。

在同一直角坐標系中畫出函數f（x）與g（x）的圖像,如圖1所示。

圖1

圖2

圖3

由圖可知,當x＜2時,函數f（x）的圖像在函數g（x）的圖像的上方,故不等式f（x）＞g（x）的解集為（-∞,2）。

(2)由g（x-2）=5a(x-2)-2 可 知,g（x-2）的圖像恒過點（2,-2）。

當a=0時,結合(1)知,g（x-2）的圖像恒在f（x）的圖像的下方,不滿足題意。

評注:要想畫出含有一個絕對值符號的函數的圖像,常常采用找零點去絕對值符號分情況討論的方法,也可以采用翻折的方法。對于字母和參數,往往需要分情況討論。

(1)畫出函數y=f（x）的圖像,若函數g（x）=x+m與y=f（x）的圖像有三個交點,求實數m的取值范圍;

g（x）=x+m可以看做是函數y=x向上平移m個單位的圖像所對應的解析式,結合圖像易知,-2＜m＜1,故實數m的取值范圍為（-2,1）。

評注:在用基本不等式求最值或者證明問題時,常常采用“1”的整體代入法,但要特別注意等號成立的條件。

二、恒成立問題

綜上可得,實數m的取值范圍為(-∞,2]∪[5,+∞)。

評注:采用兩邊平方的方法去掉絕對值符號的時候,需要特別注意兩邊的正負。在用二次函數解決最值等問題時,要特別注意對稱軸與區間的關系。

三、存在性問題

(1)在平面直角坐標系xOy中,畫出函數f（x）的圖像,并根據圖像直接寫出函數f（x）的值域。

(2)已知函數g(x)=|x+a|-2|x-a|,a＞0。若存在x1,x2∈R,使得f(x1)+5=g(x2),求正數a的取值范圍。

評注:在解決含有兩個變量的兩個函數的存在性問題或者恒成立問題時,要特別注意函數的定義域。在寫函數的單調區間時不能用并集符號連接,只能用和字連接或者逗號隔開。

故實數a的取值范圍為[-5,1]。

評注:分離常(參)數法在解決不等式恒成立、存在性、不等式有解、函數有零點、函數的單調性中參數的取值范圍等問題時,經常用到。解題的關鍵是分離出常(參)數后將原問題轉化成函數的最值或者值域問題。

四、不等式的證明

評注:證明不等式的方法有:比較法(作差法、作商法)、分析法、綜合法、放縮法、柯西不等式法、基本不等式法、數學歸納法、換元法、配方法、化歸法等。要特別注意這些方法的格式、步驟、特點和用法等。

例7已知a,b,c為正數,且滿足abc=1,證明:

評注:輪換不等式的形式優美,但證明技巧很多,規律難尋,常采用拼湊的方法,將式子轉化為形式相同的多個式子之和,關鍵是轉化為同類式。