基于簡化模型馬爾可夫法的核電廠儀控系統可靠性評估方法

張 慶，魏新宇

（西安交通大學 能源與動力工程學院，西安 710049）

0 引言

IEC 61508[1]推薦了幾種用于評估核電廠數字化儀控系統（DCS，Digital Control System）可靠性的計算方法，其中包括馬爾可夫方法。馬爾可夫方法是利用馬爾可夫鏈，表示出系統的狀態(tài)轉移圖，可完整表達出系統的全部狀態(tài)，包括正常狀態(tài)、降級狀態(tài)和失效狀態(tài)。馬爾可夫模型中的一個狀態(tài)轉移到另一個狀態(tài)的概率僅僅取決于系統當前的狀態(tài)，與其歷史狀態(tài)無關。馬爾可夫模型的特點決定了它不僅可清楚地表達出系統的每一個狀態(tài)在某一條件下的下一個的狀態(tài)轉移情況，也可清晰反映出系統現處于某一功能降級的狀態(tài)下，經有效的維修處理后返回的狀態(tài)，在各行各業(yè)得到極大認可與應用[2-11]。

然而，當針對狀態(tài)數量較多的復雜系統建立馬爾可夫模型時，會使得模型極為巨大，極易出現狀態(tài)組合爆炸問題，這也是制約馬爾可夫方法應用的一個重要因素。因此，研究設計一種應用于復雜系統的馬爾可夫模型構建簡化方法是目前急需解決的問題。

為解決核電廠DCS 建立馬爾可夫模型時容易出現組合爆炸問題，本研究提出一種應用于復雜系統的馬爾可夫模型構建簡化方法。進一步地，通過選取1oo2 架構作為實施案例，對提出的簡化方法進行應用驗證。

1 同類項篩查

如圖1 所示，在對復雜系統進行分析時發(fā)現，系統實際運行過程中，不同設備在同一故障模式下對系統變量的影響相同，對下一級（系統）的影響也相同。在以往馬爾可夫模型的建立過程中，需對每種設備的不同故障模式進行狀態(tài)轉移的建立。因此，傳統的馬爾可夫模型往往會出現組合爆炸的問題。本研究中，可對此種情況進行簡化，分析設備或系統狀態(tài)，將設備作為一個整體，根據其外部系統的影響情況進行劃分，合并影響相同或近似的狀態(tài)。

圖1 復雜系統馬爾可夫模型Fig.1 Markov model of complex system

首先，通過對馬爾可夫模型中的狀態(tài)進行檢測，篩選出具有相同轉移率的狀態(tài)后組成簡化狀態(tài)組。簡化狀態(tài)組之間相互獨立，且每個簡化狀態(tài)組中的成員數量不低于兩個。其中，不同狀態(tài)進入的概率相同，同時不同狀態(tài)轉移出去的概率相同，即為具有相同轉移率的狀態(tài)。

狀態(tài)2 的轉移率計算具體為：

其中，P2(t+Δt)為系統在t+Δt時刻處于狀態(tài)2 的概率；P2(t)表示在時刻t 的狀態(tài)2 的概率；λ表示失效率。

以此類推，對于狀態(tài)n 的轉移率可以得到：

式（2）中，Pn(t+Δt)為復雜系統在t+Δt時刻處于狀態(tài)n 的概率；Pn(t)為復雜系統在t 時刻處于狀態(tài)n 的概率；P1(t)為復雜系統在t 時刻處于狀態(tài)1 的概率，λn-1Δt為復雜系統狀態(tài)1 到狀態(tài)n 的轉移概率；λΔt為復雜系統狀態(tài)2 到狀態(tài)n+1 的轉移概率。

2 狀態(tài)合并原則

通過對馬爾可夫模型中的狀態(tài)進行檢測，將符合要求的簡化狀態(tài)組中的成員狀態(tài)以進入率相加、退出率保持不變的原則合并簡化成一個狀態(tài)。通過該狀態(tài)合并原則，可以將多個狀態(tài)合并為一個狀態(tài)，減少馬爾可夫模型的狀態(tài)數量，從而達到簡化效果。

簡化狀態(tài)組的合并簡化計算具體為：

公式（3）驗證了當多個狀態(tài)具有相同的轉換率時，多個狀態(tài)就可以合并為一個狀態(tài)，進入率相加，退出率保持不變。

3 簡化模型可靠性評估

拒動概率是核電廠數字化儀控系統的一個重要可靠性指標要求。在IEC 61508 以及其他相關文獻[11,12]中提出，對核電廠數字化儀控系統進行可靠性評估時，可以采用平均需求時失效概率PFDavg（Average Probability of a dangerous Failure on Demand）對系統拒動概率進行表征。

根據馬爾可夫法的求解原理，當應用馬爾可夫模型對核電廠數字化儀控系統PFDavg 進行求解時，首先需給定系統的初始矩陣P’如式（4）所示，即表示系統處于狀態(tài)0。

式（4）表示系統在初始時刻處于第一個狀態(tài)的概率為1。

然后，可以通過設置馬爾可夫步長Δt=1h 來繼續(xù)對馬爾可夫相關解析式進行求解。通過式（4），可以推斷出核電廠數字化儀控系統處于第n 小時的狀態(tài)轉移矩陣Pn，如式（5）所示。

式（5）中，轉移矩陣Pn中各列對應的概率為系統第n 小時時所處該列對應狀態(tài)的概率；P為根據馬爾可夫模型求解得出的馬爾可夫狀態(tài)轉移矩陣。因此，可求得核電廠數字化儀控系統處于拒動狀態(tài)時，對應的第n 小時需求時失效概率PFDn。

最后，通過對PFDn 進行時間0 ～t 上的積分，再將積分結果進行t 等分，即可得到核電廠數字化儀控系統對應第n 小時時的平均失效概率PFDavg，如式（6）所示。

4 實例分析

4.1 模型建立及簡化

假設某核電廠反應堆數字化儀控系統采取如圖2 所示1oo2 架構，該架構由兩個通道并聯組成，任意一個通道都能執(zhí)行安全功能，且只要有任意一個通道執(zhí)行了安全功能，系統安全功能正常。因此，當且僅當兩個通道都發(fā)生危險失效時，需求時安全功能才會失效。

圖2 1oo2系統結構框圖Fig.2 The system block diagram of 1oo2

如圖3 所示，根據1oo2 系統架構，按照傳統的馬爾可夫模型進行系統模型建立，得到馬爾可夫模型。核電廠數字化儀控系統起始于狀態(tài)0，該狀態(tài)表示系統處于正常工作狀態(tài)。當通道1 或者通道2 發(fā)生DDN（Dangerous Detected No-common-cause failure，危險可檢測非共因失效）時，系統由狀態(tài)0 轉移到狀態(tài)1 或者狀態(tài)3；當通道1或者通道2 發(fā)生DUN（Dangerous Undetected No-commoncause failure，危險不可檢測非共因失效）時，系統由狀態(tài)0 轉移到狀態(tài)2 或者狀態(tài)4；當發(fā)生SN（Safe No-commoncause failure，安全非共因失效）或者SC（Safe Commoncause failure，安全共因失效）時，系統將直接轉移到最終狀態(tài)5，即系統發(fā)生FS（Failure of Safe，安全失效）；當發(fā)生DDC（Dangerous Detected Common-cause failure，危險可檢測共因失效）時，系統將直接轉移到狀態(tài)6，即系統發(fā)生FDD（Failure of Dangerous Detected，危險可檢測失效）；當發(fā)生DUC（Dangerous Undetected Common-cause failure，危險不可檢測共因失效）時，系統將直接轉移到狀態(tài)7，即系統發(fā)生FDU（Failure of Dangerous Undetected，危險可檢測失效）。

圖3 傳統的1oo2結構馬爾可夫模型Fig.3 Traditional Markov model of 1oo2 structure

當系統處于狀態(tài)1 或者狀態(tài)3 時，只要有任一通道再發(fā)生S（Safe failure，安全失效），系統將轉移到狀態(tài)5；只要有任一通道再發(fā)生D（Dangerous failure，危險失效），系統將轉移到狀態(tài)6。

當系統處于狀態(tài)2 或者狀態(tài)4 時，只要有任一通道再發(fā)生S，系統將轉移到狀態(tài)5；只要有任一通道再發(fā)生DD（Dangerous Detected failure，危險可檢測失效），系統將轉移到狀態(tài)6；只要有任一通道再發(fā)生DU（Dangerous Undetected failure，危險不可檢測失效），系統將轉移到狀態(tài)7。

μ0 表示系統維修率，在狀態(tài)轉移模型中，當系統發(fā)生可檢測失效時，可通過維修使得系統返回到狀態(tài)0，對應的轉移率用μ0 表示；λ 表示失效率，通過不同下角標用于表示單通道發(fā)生不同失效所對應的失效率。

通過圖3 所示核電廠數字化儀控系統傳統馬爾可夫模型，可以得到其對應的狀態(tài)轉移矩陣P0，矩陣中首行首列為第0 行第0 列，然后依次展開，對應不同狀態(tài)之間的轉移率。如：第0 行第1 列表示系統從狀態(tài)0 轉移到狀態(tài)1的轉移率，以此類推。通過觀察發(fā)現，通過傳統的馬爾可夫模型得到的狀態(tài)轉移矩陣P0為一個8 階狀態(tài)轉移矩陣。

此時，應用本文提到的簡化方法對建立的傳統馬爾可夫模型進行簡化。

首先，篩選符合同類合并要求的相關狀態(tài)。對圖3 所示傳統的1oo2 架構馬爾可夫模型分析可知，狀態(tài)1 與狀態(tài)3 具有相同的轉移率，即進入狀態(tài)1 和狀態(tài)3 的概率相同，從狀態(tài)1 和狀態(tài)3 轉移出去的概率相同，滿足所提出的簡化原則。同理可知，狀態(tài)2 與狀態(tài)4 同樣滿足所提出的簡化原則。

然后，應用同類合并簡化原則對找到的狀態(tài)1 和狀態(tài)3、狀態(tài)2 和狀態(tài)4 進行狀態(tài)合并，以達到簡化馬爾可夫模型的效果。如圖4 所示，根據所提出的簡化原則，狀態(tài)1與狀態(tài)3、狀態(tài)2 與狀態(tài)4 分別滿足簡化原則，對其進行簡化合并，即“同類合并”。將狀態(tài)1 與狀態(tài)3 合并為一個狀態(tài)，輸入率相加，輸出率保持不變；將狀態(tài)2 與狀態(tài)4合并為一個狀態(tài)，輸入率相加，輸出率保持不變，對應狀態(tài)轉移概率矩陣為P，具體為：

圖4 “同類合并”簡化后的1oo2結構馬爾可夫模型Fig.4 Markov model of 1oo2 structure after simplified"like-kind merger"

通過對比圖3 所示的簡化前馬爾可夫模型和圖4 所示簡化后的馬爾可夫模型以及簡化前的狀態(tài)轉移矩陣P0和簡化后的狀態(tài)轉移矩陣P可知，運用本文提出的馬爾可夫模型簡化方法，將原本8 階模型矩陣簡化到6 階模型矩陣。

此實施例只是針對簡單的1oo2 架構，通過實際應用可知，當運用到更加復雜的系統時，簡化效果將非常明顯。不同結構采用本文中提出的簡化方法與傳統方法之間馬爾可夫狀態(tài)轉移矩陣模型大小對比見表1。

表1 傳統方法與本文方法狀態(tài)轉移矩陣模型大小對比Table 1 Comparison of the size of the state transition matrix model between the traditional method and the proposed method

4.2 模型可靠性評估

假設該核電廠數字化儀控系統1oo2 架構中：故障診斷覆蓋率DC（Diagnostic Coverage）=95%，系統故障重啟時間FRT（Fault Restart Time）=24h，平均維修時間MTTR（Mean Time To Repair）=4h，共因因子β=1.5%，系統定期試驗周期PTC（Periodic Test Cycle）=18 個月。

通道失效數據依據SN 29500 電子產品預計手冊標準，可得到對應失效數據λ 為：通道安全失效率λS=515FIT，通道危險失效率λD=438FIT。將相關假設數據代入到簡化后1oo2 馬爾可夫轉移矩陣P中，得到：

通過公式（4）、公式（5）以及公式（6）推導得出的應用馬爾可夫模型求解系統平均需求時失效概率PFDavg 的可靠性評估方法，可得PFDavg=5.069×10-13。

5 結論

本文提出了一種應用于復雜系統的馬爾可夫模型構建簡化方法，解決了現有復雜系統建立馬爾可夫模型時出現組合爆炸問題。通過對馬爾可夫模型中的狀態(tài)進行檢測，篩選出具有相同轉移率的狀態(tài)后組成簡化狀態(tài)組，將簡化狀態(tài)組中的成員狀態(tài)以進入率相加、退出率保持不變的原則合并簡化成一個狀態(tài)。通過合并同類狀態(tài)的方法來減少馬爾可夫模型狀態(tài)或狀態(tài)組以及對應的狀態(tài)轉移矩陣，以此達到簡化馬爾可夫模型的效果。

本文提出的馬爾可夫模型簡化方法，可以在核電廠數字化儀控系統馬爾可夫模型建立過程中，極大降低系統狀態(tài)數量以及狀態(tài)轉移矩陣階數，以此減少馬爾可夫模型建模以及計算維度，使得采用馬爾可夫法用于核電廠數字化儀控系統可靠性評估工程應用成為可能，并為核電廠數字化儀控系統可靠性評估提供參考。