經(jīng)歷建構(gòu)過(guò)程　發(fā)展符號(hào)意識(shí)

李玥　孫燕鵬

摘要：發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。在課堂教學(xué)中，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的情境，設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，幫助學(xué)生在探索中歸納和理解數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行解釋和應(yīng)用，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。

關(guān)鍵詞：建構(gòu)；符號(hào)意識(shí)；分類(lèi)活動(dòng)

“正比例”是北師大版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)下冊(cè)第四單元“正比例與反比例”第二課時(shí)內(nèi)容。本節(jié)課，教材注重引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量的變化特征中尋求不變，理解成正比例的量的規(guī)律，嘗試用數(shù)學(xué)的眼光觀察、分析生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，建立概念模型，發(fā)展符號(hào)意識(shí)。 為了更好地建立“正比例”概念模型，發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)，我們通過(guò)具體的分類(lèi)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷正比例意義的建構(gòu)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生從變化中找到不變，建立概念模型。同時(shí)，在正比例意義建構(gòu)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)。

一、 聯(lián)系生活，理解相關(guān)聯(lián)的量

理解正比例意義的第一個(gè)關(guān)鍵是理解“相關(guān)聯(lián)的量”。教師在上課伊始以現(xiàn)實(shí)生活素材為教學(xué)切入點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)游戲情境，引導(dǎo)學(xué)生初步感知生活與數(shù)學(xué)中事物之間相關(guān)聯(lián)的現(xiàn)象，為本課的自主探究活動(dòng)奠定基礎(chǔ)。

【教學(xué)片段1】

師：同學(xué)們，這節(jié)課我們先來(lái)玩一個(gè)小游戲，請(qǐng)你們來(lái)扮演小船，按照老師描述的情境去做動(dòng)作。（小船在寬闊的水面上漂浮著，開(kāi)始時(shí)水面漲高了一些，后來(lái)水面越來(lái)越高）

師：同學(xué)們的表演很精彩，你能根據(jù)大家的表演猜一個(gè)成語(yǔ)嗎？

生：水漲船高。

師：看來(lái)河水的變化引起了小船的變化，像這樣，一個(gè)事物變化，另一個(gè)事物也隨著變化，我們把生活中的這種變化稱(chēng)為“相關(guān)聯(lián)”現(xiàn)象，變化的這兩個(gè)量就稱(chēng)為相關(guān)聯(lián)的量。那么，在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是否有這樣的現(xiàn)象呢？

接下來(lái)，教師從生活中相關(guān)聯(lián)的量類(lèi)推到數(shù)學(xué)上相關(guān)聯(lián)的量，將“比值不變”“積不變”“差不變”以及“無(wú)變化規(guī)律”4份數(shù)學(xué)素材一起呈現(xiàn)給學(xué)生，要求學(xué)生判斷每組中的兩種數(shù)量是否相關(guān)聯(lián)。學(xué)生對(duì)每組中兩種數(shù)量的變化規(guī)律進(jìn)行了充分分析與描述，進(jìn)一步理解了相關(guān)聯(lián)的量的本質(zhì)意義。這樣的設(shè)計(jì)，有效激活了學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，有助于學(xué)生感受數(shù)量之間的變化和關(guān)聯(lián)，從而為后續(xù)探索正比例的意義提供了必要的支持和豐富的素材資源。

【教學(xué)片段2】

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察表1，你能判斷出這兩個(gè)量是否是相關(guān)聯(lián)的量嗎？

生：正方形的邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)是相關(guān)聯(lián)的量，因?yàn)檫呴L(zhǎng)增加，周長(zhǎng)也跟著增加。

生：是相關(guān)聯(lián)的量，因?yàn)橹荛L(zhǎng)隨著邊長(zhǎng)的變化而變化。

師：接下來(lái)，請(qǐng)判斷下面4個(gè)表格中的兩個(gè)量是否是相關(guān)聯(lián)的量。

生：在表2中，小明的年齡和爸爸的年齡是相關(guān)聯(lián)的量，當(dāng)小明1歲的時(shí)候，爸爸26歲，小明的年齡增加，爸爸的年齡也增加，爸爸年齡隨著小明年齡的增加而增加。

生：在表3中，每天看的頁(yè)數(shù)和看完全書(shū)所需天數(shù)是相關(guān)聯(lián)的量，每天看的頁(yè)數(shù)越多，看完全書(shū)所需的天數(shù)越少。

生：通過(guò)表4可以看出，蘋(píng)果和香蕉箱數(shù)的變化沒(méi)有關(guān)系，所以它們不是相關(guān)聯(lián)的量。

生：通過(guò)表5可以看出，汽車(chē)行駛的路程隨時(shí)間的變化而變化，所以路程和時(shí)間是相關(guān)聯(lián)的量。

二、借助分類(lèi)，培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)

理解正比例意義的第二個(gè)關(guān)鍵是相關(guān)聯(lián)的量“比值一定”。在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，教師先引導(dǎo)學(xué)生將幾組量分類(lèi)。學(xué)生在辨析過(guò)程中依次剝離“無(wú)關(guān)聯(lián)”的量和“積不變”的量，除去這兩個(gè)量對(duì)正比例認(rèn)識(shí)的干擾，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)同增同減量的認(rèn)知。在此基礎(chǔ)上，教師又引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了第二次分類(lèi)，在同增同減的量中又剝離掉“差一定”的量，最終明晰了構(gòu)成正比例的一個(gè)必要條件——比值一定。

【教學(xué)片段3】

師：同學(xué)們觀察得很準(zhǔn)確，在這5個(gè)表格中，有一些是相關(guān)聯(lián)的量，還有一些不是相關(guān)聯(lián)的量，還記得表幾不是嗎？那么，既然表1、表2、表3、表5中的兩個(gè)量都是相關(guān)聯(lián)的量，你能根據(jù)這4組相關(guān)聯(lián)的量的變化特點(diǎn)，對(duì)這4個(gè)表進(jìn)行分類(lèi)嗎？請(qǐng)你先獨(dú)立思考，然后把你的想法在小組內(nèi)和同伴進(jìn)行交流。

生：我們小組認(rèn)為分兩類(lèi)，表1、表2、表5是一類(lèi)，表3是一類(lèi)。因?yàn)楸?、表2、表5中兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量都是一個(gè)量隨著另一個(gè)量的增加而增加，而表3是一個(gè)量隨著另一個(gè)量的增加而減少。

生：我們組也是這樣分類(lèi)的，我們發(fā)現(xiàn)，表1、表2、表5中兩個(gè)量之間的變化關(guān)系就是同增同減，而表3中兩個(gè)量的變化關(guān)系是一增一減。

師：如果我們繼續(xù)對(duì)表1、表2、表3進(jìn)行分類(lèi)，你想怎樣分呢？

生：我們認(rèn)為表1和表5分為一類(lèi)，表2分為一類(lèi)，因?yàn)楸?和表5中兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量的變化規(guī)律是一樣的，而表2的變化規(guī)律和它們不一樣。表1中正方形周長(zhǎng)總是邊長(zhǎng)的4倍，表5中汽車(chē)行駛的路程總是時(shí)間的80倍，而表2不存在這樣的倍數(shù)關(guān)系，爸爸的年齡始終比小明大25歲。

生：我們發(fā)現(xiàn)表1、表5中周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)的比值始終不變，路程與時(shí)間的比值也不變，而表1中爸爸與小明的年齡差是不變的。

在這樣具體的分類(lèi)活動(dòng)中，學(xué)生經(jīng)歷觀察分析、分類(lèi)比較、歸納概括的學(xué)習(xí)活動(dòng)和正比例意義的建構(gòu)過(guò)程，感悟到“變化之中蘊(yùn)含著不變”。同時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不變的量抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)式，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)。

三、歸納概括，強(qiáng)化學(xué)生符號(hào)意識(shí)

理解正比例意義的第三個(gè)關(guān)鍵就是抽象出正比例的字母表達(dá)式，建立正比例的模型。當(dāng)意義揭示后，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧成正比例關(guān)系的例子，概括出它們所具備的共同特點(diǎn)：一是“相關(guān)聯(lián)”，二是“比值一定”。接著，教師讓學(xué)生嘗試用式子表示正比例關(guān)系，學(xué)生對(duì)正比例的表征方式是多樣的，不管是文字?jǐn)⑹觥⒈磉_(dá)式概括、字母描述等，都是他們心里自然生長(zhǎng)出來(lái)的。教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)不同關(guān)系式的解說(shuō)與對(duì)比，抽象出正比例關(guān)系的字母表達(dá)式，幫助學(xué)生清晰地構(gòu)建了正比例的數(shù)學(xué)模型，強(qiáng)化了學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)。

【教學(xué)片段4】

師：像表1和表5這樣，周長(zhǎng)和邊長(zhǎng)、路程和時(shí)間這兩組變量，一個(gè)量變化，另一個(gè)量也隨著變化。但不管這兩個(gè)量怎樣變化，它們的比值總是一定的，我們就說(shuō)這兩個(gè)量成正比例。

師：你能用自己的話說(shuō)一說(shuō)表1和表5這兩個(gè)情境中的變量為什么成正比例嗎？

師：請(qǐng)你根據(jù)表6判斷購(gòu)買(mǎi)文具盒的數(shù)量和總價(jià)是否成正比例，為什么？

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察這幾個(gè)成正比例關(guān)系的例子，其實(shí)生活中像這樣成正比例關(guān)系的例子還有很多，你能用一個(gè)關(guān)系式來(lái)概括嗎？

生：兩種相關(guān)聯(lián)的量，而且兩個(gè)量之間的比值一定。

生：[一個(gè)量另一個(gè)量] =比值（一定），一個(gè)量和另一個(gè)量成正比例。

生：[AB]=C（一定），A和B成正比例。

師：雖然同學(xué)們表示的方法不同，但是都能看出來(lái)是兩種相關(guān)聯(lián)的量，而且兩個(gè)量之間的商或者比值是一定的。其實(shí)在數(shù)學(xué)上，我們一般用字母x和y分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k來(lái)表示它們的比值。那么正比例的關(guān)系可以怎樣表示？請(qǐng)你試著寫(xiě)一寫(xiě)。

四、在鞏固中明辨，深化學(xué)生符號(hào)意識(shí)

為了深化學(xué)生對(duì)正比例意義的理解，教師在正比例概念模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了多樣的、富有層次的練習(xí)，幫助學(xué)生打破思維定勢(shì)：只有滿(mǎn)足[yx]=k（一定）的情況，y和x這兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量才成正比例。這樣，可以幫助學(xué)生進(jìn)一步明辨正比例的意義，深化數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)。

【教學(xué)片段5】

練習(xí)：張師傅生產(chǎn)零件的情況如表7。

（1）表格中相關(guān)聯(lián)的量是（）和（），? ?（）隨著（）的變化而變化；

（2）寫(xiě)出幾組生產(chǎn)零件數(shù)量與時(shí)間的比，并計(jì)算比值（比值表示什么），你的發(fā)現(xiàn)了什么？

（3）生產(chǎn)零件的數(shù)量與時(shí)間是不是成正比例？ 說(shuō)明理由。

拓展：其實(shí)，古希臘的數(shù)學(xué)家泰勒斯就利用兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量成正比例關(guān)系來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。據(jù)說(shuō)，埃及的金字塔建成1000多年后，沒(méi)有人能夠準(zhǔn)確地測(cè)出它的高度。人們嘗試過(guò)很多方法，但都沒(méi)有成功。泰勒斯用數(shù)學(xué)方法測(cè)量出了金字塔的高度。泰勒斯站在金字塔前，讓別人測(cè)量他影子的長(zhǎng)度。當(dāng)他影子的長(zhǎng)度與他的身高完全相等時(shí)，他立刻在金字塔的投影處做一個(gè)記號(hào)，測(cè)量出金字塔影子的長(zhǎng)度。這樣就得到了金字塔的高度。

延伸：看了古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯測(cè)金字塔的故事后，如果要測(cè)量學(xué)校教學(xué)樓的高度，你能想到什么方法呢？

本節(jié)課，教師先從數(shù)學(xué)素材入手，再抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)式，最后用字母式來(lái)表征正比例，逐層遞進(jìn)，不僅讓學(xué)生經(jīng)歷正比例意義的建構(gòu)過(guò)程，同時(shí)也培養(yǎng)了數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

［1］楊強(qiáng).符號(hào)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透［J］. 遼寧教育，2013（1）.

［2］朱立明，馬云鵬.“數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)”研究：內(nèi)涵與維度［J］. 教育理論與實(shí)踐，2015（11）.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）