電動車動力總成懸置系統的全局靈敏度分析

呂輝 ，張海標 ，李長玉 ，魏政君

（1.華南理工大學 機械與汽車工程學院，廣東 廣州 510641；2.重慶理工大學 汽車零部件先進制造技術教育部重點實驗室，重慶 400054；3.廣州城市理工學院 汽車與交通工程學院，廣東 廣州 510800）

受加工制造、裝配與測量誤差、材料老化和復雜工況等因素的影響，工程結構不可避免地存在各種不確定性因素［1-2］.不確定性廣泛地存在于汽車動力總成懸置系統（Powertrain Mounting System，PMS）中，對不確定情形下的PMS振動特性進行研究具有重要意義.

近年來，基于不確定性分析的汽車PMS 研究已經取得很大進展.其中，概率模型［3］已被廣泛用于處理PMS 參數的不確定性.陳劍等［4］將懸置剛度參數視為服從正態分布的概率變量，結合穩健設計與多目標優化，提出一種PMS的多目標穩健優化方法.謝展等［5］將懸置剛度等關鍵參數處理為概率變量，結合多目標優化方法對汽車PMS 進行穩健性設計.此外，Xin 等［6］將懸置剛度處理為概率變量，結合多目標優化模型和遺傳算法，提出一種針對PMS 的多目標魯棒優化方法.上述研究均將系統不確定參數視為相互獨立的概率變量，該情形下的PMS 研究已相對成熟.

汽車PMS結構十分復雜，其懸置剛度、安裝位置和角度、慣性參數和阻尼參數等的不確定性都會影響系統性能，進而影響整車舒適性.因此，準確選擇對系統影響較大的不確定參數對PMS 進行優化設計，是降低整車振動和噪聲的關鍵.一般地，可以通過開展靈敏度分析來甄別對PMS性能影響敏感的不確定參數.例如，劉達斌等［7］對PMS懸置的各剛度參數進行靈敏度分析，確定系統的敏感參數，進而對懸置剛度進行優化設計.張武等［8］對PMS 懸置剛度參數進行靈敏度分析，進而提出一種PMS 的多目標穩健優化方法.?endur 等［9］選取PMS 懸置的安裝位置和剛度為研究參數，結合靈敏度分析和響應面法對PMS的剛體模態和能量分布進行優化設計.可見，目前國內外關于PMS的靈敏度分析也形成了一定的研究成果，相關研究主要涉及的是局部靈敏度分析工作.

對于目前PMS的不確定性分析和靈敏度分析研究，可以總結出如下不足：①現有的PMS不確定性分析主要討論系統的不確定參數相互獨立的情況.然而，在工程實際中，機械結構參數之間并非完全獨立，而往往存在一定相關性［10］.例如，電動汽車PMS廣泛采用的橡膠懸置，其三向剛度參數往往就存在一定相關性.若直接將這些不確定參數視為獨立變量，則很可能會導致計算結果與實際情況存在較大偏差.②現有的PMS靈敏度分析研究中，關于全局靈敏度的研究較少，且常將系統參數處理為確定參數，沒有考慮參數分布對系統響應的影響，亦鮮有考慮參數之間的相關性.因此，同時考慮系統參數的不確定性和相關性，對PMS 進行全局靈敏度分析具有重要的研究價值.

針對上述問題，本文旨在提出一種電動汽車PMS 不確定參數存在相關性時的系統固有特性全局靈敏度分析方法.方法能充分考慮參數不確定性和相關性對全局靈敏度分析結果的影響.首先，采用含相關性的概率變量描述PMS不確定參數；然后，提出一種基于方差分解的全局靈敏度分析方法；接著，給出求解全局靈敏度指數的方法及其分析步驟；最后通過數值算例驗證方法的有效性.

1 電動汽車PMS固有特性計算

1.1 固有頻率計算

電動汽車PMS 常使用三點布置形式，圖1 為某電動汽車PMS的三維模型及其對應的六自由度動力學模型.

建立動力總成坐標系G0-XYZ和懸置局部坐標系ei-uiviwi（i=1，2，3），其中原點G0位于總成質心處，X軸正方向與汽車行駛方向相同，Z軸正方向垂直于地面向上，Y軸正方向根據右手定則確定.PMS固有頻率［11］可由式（1）求得.

式中：K、M和I分別表示系統剛度、質量和單位矩陣；φj為第j階陣型.求解式（1），可得系統的6 階固有頻率fj=λj/2π，j=1，2，…，6.

1.2 解耦率計算

系統振動時，其能量分布在6 個方向上.當系統以第j階固有頻率fj和振型φj振動時，第s個廣義坐標所占的能量百分比［11］為：

式中：φsj與φpj分別為φj的第s個和第p個元素；Msp為M的第s行第p列元素.

第j階振動對應的解耦率為：

當dj=100%時，表示系統第j階振動時能量全部集中在某廣義坐標上，該階振動完全解耦.

2 考慮不確定參數相關性的PMS 全局靈敏度分析

電動汽車PMS 參數受加工、裝配誤差和材料老化等因素影響，其取值通常具有一定隨機性，常用概率模型來描述.本節將基于方差分解推導PMS 不確定參數為概率變量且具有相關性時的全局靈敏度分析公式，并引出表示敏感性程度的一階與總體全局靈敏度指數［12］.為方便表述，將PMS的固有特性響應函數用y=y(x)表示.其中，x為描述系統不確定參數的n維概率向量，x=[x1，x2，…，xn]T，其聯合概率密度函數記為p(x).

2.1 全局靈敏度指數

將x分為兩組向量u=[x1，x2，…，xs](1 ≤s＜n)和v=[xs+1，…，xn]，即x=[u v]T.則系統響應y(x)的總方差可表示為：

式中：D表示y(x)的總方差；Du[ · ]和Eu[ · ]分別表示方差和均值運算.Du[Ev(y(u，))]表示當向量u為定值時，系統響應方差的平均減小量；Eu[Dv(y(u，))]表示當向量u為定值時，系統響應方差的平均剩余量［13］.概率向量(u，)的聯合概率密度函數為p(u，).將式（4）總方差標準化，可得：

式中：等號左邊第1項為向量u的一階全局靈敏度指數；第2項為向量v的總體全局靈敏度指數.可分別表示為：

類似地，向量u的總體全局靈敏度指數可表示為：

式（6）和式（8）即是概率向量u相對于系統響應的一階和總體全局靈敏度指數.實際上，這2 個指數均為Sobol 指數［13-14］的推廣.下面將基于蒙特卡洛法提出一種計算這2個指數的方法.

2.2 一階全局靈敏度指數計算

將式（6）展開可得：

式中：p(u)是聯合概率密度函數p(u，v)的一個邊緣分布函數；p(u，|u)是一個條件概率密度函數.y0為y(x)的均值，可表示為：

式（9）和式（10）可以分別等效表示為：

將貝葉斯公式p(u，|u)p(u)=p(u，v)和式（12）代入式（11）可得：

采用蒙特卡洛法對式（13）進行估計［12］可得

式（14）表明，要計算系統響應對概率向量u的一階全局靈敏度指數，需要構造3 個樣本集：(u，v)、(u′，v′)和(u，′).這些樣本的構造方法將在后文中具體描述.

2.3 總體全局靈敏度指數計算

式中：Dv[Eu(y(，v))]表示當向量v為定值時，系統響應方差的平均減小量［13］.總方差D可展開為：

基于式（11）、式（15）和式（16），并結合貝葉斯公式可將表示為：

通過進一步推導，式（17）可等效表示為：

采用蒙特卡洛法對式（19）進行估計［12］可得：

式（20）表明，要計算系統響應對概率向量u的總體全局靈敏度指數，需要構造兩個樣本集(u，v)和(，v)，其構造方法將在后文中具體描述.

PMS的不確定參數由概率向量x描述，故當向量u=[x1，x2，…，xs](1 ≤s＜n) 和v=[xs+1，…，xn] 中取s=1 時，即可求得PMS 中的某個不確定參數的全局靈敏度指數.

3 正態分布情形下考慮相關性的PMS 全局靈敏度分析

現有研究多數情況下采用正態分布的概率變量描述PMS的不確定參數.因此，本文主要研究具有相關性的不確定參數服從正態分布時的PMS全局靈敏度分析.

3.1 正態分布情形下考慮相關性的靈敏度指數

當概率向量x=[x1，x2，…，xn]T服從正態分布時，根據其均值向量μ和協方差矩陣C，其累積分布函數可表示為：

式中：|C|表示協方差矩陣C的行列式.均值向量μ和協方差矩陣C可分別表示為：

根據第2 節，將正態分布下的向量x劃分為向量u和v，則對應的均值向量μu、μv和協方差矩陣Cu、Cv可分別表示為：

條件分布Φn-s(u，|u)也服從正態分布，可表示為：

邊緣分布函數p(u)可表示為：

因此，一階與總體全局靈敏度指數Su和可分別表示為：

3.2 正態分布情形下考慮相關性的樣本集構造

為構造兩組具有相關性的正態分布樣本(u，v)和(u′，v′)，本文基于蒙特卡洛法提出了一種正態分布情形下考慮相關性的樣本集構造方法.方法主要步驟如下：

1）使用Sobol 序列［15］生成均勻分布在0～1 的兩組n維概率向量w和w′.

2）利用逆正態累積分布函數將向量w和w′中任一元素wi和w′i轉化為具有零均值和單位方差的標準正態分布元素，即，進而得到獨立的標準正態分布向量

3）將概率變量對應的協方差矩陣C進行Cholesky分解，得到對應的下三角矩陣A：AAT=C.

通過上述變換，可構造出樣本集合x=(u，v)和下面將構造樣本由于這兩組樣本屬于同一類型，其構造原理相同，故此處僅介紹樣本(u，)的構造.

1）將上述變換過程中的兩組樣本提出，一組是獨立的標準正態分布樣本，另一組是相關情形下的正態分布樣本x=(u，v).

2）基于樣本x=(u，v)，結合式（25）求得μvc.

3）將式（23）中的協方差矩陣C的分量矩陣Cvc進行Cholesky分解：Avc=Cvc.

5）將向量x中的分量u和向量′進行組合，得到樣本(u，′).

此外，對于一般不確定情形下的相關概率變量，可以先使用高斯公式將其轉化為具有相關性的正態分布概率變量［12］，進而可采用本文方法開展一般不確定情形下考慮相關性的全局靈敏度分析研究.圖2 為考慮不確定參數相關性的電動汽車PMS 全局靈敏度分析流程圖.

圖2 考慮不確定參數相關性的電動汽車PMS全局靈敏度分析流程圖Fig.2 The procedure of global sensitivity of the electric vehicle PMS considering the correlation of uncertain parameters

4 算例分析

4.1 分析模型

以某電動汽車三點橡膠懸置PMS 為例.電機總成質量為78.9 kg，系統的慣性參數值如表1 所示，其中IXX、IYY和IZZ分別表示總成在X、Y和Z方向上的轉動慣量；IXY、IYZ和IZX分別表示總成在X和Y、Y和Z以及X和Z兩兩方向上的慣性積.表2為懸置靜剛度和安裝位置，其中ku、kv和kw分別表示各懸置在各自局部坐標系下u、v和w方向的初始剛度.

表1 系統的慣性參數值Tab.1 The inertial parameter values of the system kg·m2

表2 懸置靜剛度和安裝位置Tab.2 The static stiffness and locations of mounts

4.2 全局靈敏度分析

工程中，電動汽車PMS 的橡膠懸置剛度往往具有不確定性和相關性，且已有研究大多數選擇懸置剛度作為PMS 的主要設計參數［16］.此外，對于PMS的振動特性，通常主要關注其豎直方向（Bounce 方向）和繞定轉子中心線旋轉方向（Pitch 方向）的固有頻率和解耦率響應.因此，本文重點研究PMS各懸置的三向剛度存在不確定性和相關性時Bounce 和Pitch 方向的固有頻率和解耦率響應，以及相應的全局靈敏度分析.

采用最常用的正態分布概率變量來描述不確定情形下的懸置剛度參數，且取變量的變異系數（即標準差與均值之比）為0.075.為了便于分析，將前、左和右懸置的三向剛度分別記為kui、kvi和kwi（i=1，2，3），將Bounce 方向的固有頻率和解耦率分別記為fB和dB，Pitch 方向的固有頻率和解耦率分別記為fP和dP.根據相關工程經驗和已有研究工作基礎［17］，將前懸置u與v方向、u與w方向，v與w方向的剛度參數之間的相關系數分別記為0.6、0.4和0.5；左懸置和右懸置相應的相關系數分別記為0.6、0.5 和0.4，不同懸置之間的參數相關系數記為0.

圖3 展示了在此相關性情形下，基于本文方法計算得到的Bounce 方向和Pitch 方向固有頻率和解耦率響應對剛度參數的一階與總體全局靈敏度指數.

圖3 fB、fP、dB和dP對剛度參數的全局靈敏度Fig.3 The global sensitivities of fB，fP，dBand dPto stiffness parameters

對圖3（a）進行分析，可以得到如下結論：

1）9 個剛度參數中，kw2的總體全局靈敏度指數最大，故其不確定性對fB的影響最大.類似可知參數kw3的不確定性對fB的影響也較大.

2）對于ku2、kv2、kw2、ku3和kw3，其一階全局靈敏度指數均明顯大于總體全局靈敏度指數，說明這5 個參數與其他參數之間的相關性對fB有較大影響.

因此，在研究響應fB時，應側重考慮kw2和kw3的不確定性，以及ku2、kv2、kw2、ku3和kw3與其他剛度參數之間的相關性對fB的影響.其他4 個參數ku1、kv1、kw1和kv3的一階和總體全局靈敏度指數均很小，故它們的不確定性和相關性對fB的影響較小.在設計時可忽略這4個參數的不確定性和相關性對fB的影響，進而可簡化問題.

進一步分析9 個懸置剛度參數對系統響應fP、dB和dP的全局靈敏度，可綜合得到如表3 所示的分析結果.

表3 全局靈敏度分析結果Tab.3 The results of global sensitivity analysis

從表3 可以發現，左懸置Z方向上的剛度kw2以及右懸置Z方向上的剛度kw3，這兩個參數的不確定性對Bounce 方向固有頻率和解耦率具有明顯的影響；前懸置X方向和Z方向上的剛度ku1和kw1，這兩個參數的不確定性則對Pitch 方向固有頻率和解耦率具有明顯的影響，在工程設計中應當重點關注.而懸置剛度之間的相關性對這兩個方向固有頻率和解耦率的影響規律比較復雜，沒有特定變化規律，且不同的系統響應下可被忽略其影響的參數也有所不同，應根據實際需求進行具體分析.

4.3 不同相關性的影響分析

為分析不同參數相關性對PMS 固有特性的影響，本文將進一步分析不同相關情形下系統固有頻率和解耦率對懸置剛度參數的靈敏度.在前文研究基礎上，固定各懸置在u方向與v方向和v方向與w方向的剛度參數之間的相關系數，將各懸置u方向與w方向的剛度參數之間的相關系數統一按照0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8 和0.9 等10 種相關情形進行變化.分別進行計算并分析，結果分別如圖4～圖7所示.

圖4 不同相關情形下fB對剛度參數的全局靈敏度Fig.4 The global sensitivities of fBto stiffness parameters under different correlated cases

圖5 不同相關情形下fP對剛度參數的全局靈敏度Fig.5 The global sensitivities of fPto stiffness parameters under different correlated cases

圖6 不同相關情形下dB對剛度參數的全局靈敏度Fig.6 The global sensitivities of dBto stiffness parameters under different correlated cases

從圖4～圖7 可以發現，考慮不同的參數相關性后，各懸置剛度參數對系統固有頻率與解耦率的影響發生了不同程度的變化.綜合分析可得如下結論：

1）固有頻率方面：對于系統響應fB，隨著相關系數增大，剛度參數ku2、ku3的一階全局靈敏度指數逐漸增大，kw2、kw3的總體全局靈敏度指數先略微增大后逐漸減小，其余剛度參數的靈敏度沒有明顯變化.對于系統響應fP，隨著相關系數增大，剛度參數ku1、kw1的一階全局靈敏度指數逐漸增大，ku1、ku2、ku3、kw3的總體全局靈敏度指數逐漸減小，kw1的總體全局靈敏度指數則呈現出先略微增大后逐漸減小的趨勢，其余剛度參數的靈敏度沒有明顯變化.總體上，對于系統固有頻率響應fB和fP，各剛度參數呈現出一階全局靈敏度逐漸增大或基本不變，以及總體全局靈敏度逐漸減小、先增大后減小或基本不變的規律.

2）解耦率方面：對于系統響應dB，隨著相關系數增大，剛度參數ku2、kv2、kw2、ku3、kw3的一階全局靈敏度逐漸增大，kw1的一階全局靈敏度指數逐漸減小，ku1的一階全局靈敏度則先減小后增大；而、kw1、kw2、kw3的總體全局靈敏度指數呈現先增大后減小的趨勢.對于系統響應dp，隨著相關系數增大，ku2、kv2、kw2的一階全局靈敏度指數逐漸增大，kw1的一階全局靈敏度指數逐漸減小，ku1的一階全局靈敏度指數則先減小后增大；而ku1、kw1的總體全局靈敏度指數呈現出先增大后減小的趨勢.總體上，對于系統解耦率響應dB和dP，各剛度參數呈現出總體全局靈敏度指數先增大后減小或基本不變的規律，而其一階全局靈敏度變化相對復雜，沒有特定規律.

綜上所述，對于本文所研究的電動汽車PMS，將其剛度參數處理為概率變量并考慮不同相關性后，系統固有特性對各剛度參數的全局靈敏度會出現不同趨勢和不同程度的變化，精確量化實際情形中概率變量的相關性，可以得到更加合理的分析結果.此外，系統響應為解耦率的情形下，參數相關性變化對剛度參數的全局靈敏度指數的影響規律更加復雜，在進行優化設計時應重點關注.

5 結論

1）對于所研究的電動汽車PMS，本文方法能有效求解系統剛度參數存在不確定性和相關性時的參數全局靈敏度指數，進而可分析剛度參數的不確定性或相關性對系統固有特性的影響規律.

2）隨著剛度參數相關性變化，各參數的全局靈敏度會出現不同趨勢和不同程度的變化，精確量化實際情形中參數的相關性可以得到更加合理的分析結果.系統響應為解耦率的情形下，相關性變化對剛度參數的全局靈敏度指數的影響規律更加復雜，在進行優化設計時應重點關注.