基于近似模型的重載仿生腿多目標優化

陳偉，譚旭瑞，楊闊 ，劉昕暉

（吉林大學 機械與航空航天工程學院，吉林 長春 130022）

大型重載六足機器人已逐步成為研究熱點，在農業、工業等行業得到了快速發展和應用［1-2］.大型機器人的高效、安全運行需要整機在穩定性、承載能力和系統復雜度之間取得比較理想的平衡，而單腿是整機與地面相互作用的媒介，腿部的靜態強度、剛度和動態性能很大程度決定了整機的承載能力、越障能力和安全運行能力.因此，針對腿部結構的優化和輕量化設計具有重要意義，不僅可以實現腿部結構的輕量化和靜動態性能提升，還可以帶來“二次減重”，使六足機器人的動力系統也可相應地減輕質量.在相同工況指標下，腿部質量越輕，則所需要匹配的發動機的負荷就越低，不僅能降低功耗，還能有效改善足式機器人的多項性能.

目前，針對大型機械結構的優化設計主要包括拓撲優化、形狀優化和尺寸優化等［3-4］，但前兩種優化方法由于對結構形狀改變較大［5］，極大增加制造成本和加工工藝，比較適合概念設計階段.工程中應用更廣泛的是對機械產品整體、結構和零件進行尺寸優化.牛文鐵等［6］以機床關鍵結構設計參數為設計變量，靜、動態性能為設計目標，對機床結構和質量取得較為理想的優化結果.閆利鵬等［7］利用近似模型技術和多島遺傳算法對高強鋼盾構刀盤進行優化設計，在提升刀盤各項性能的同時，大大縮減了計算時間.以設計變量、近似模型和優化算法相結合的結構尺寸優化在車輛結構方面應用更為普遍，王登峰等［8］結合白車身彎扭剛度和振動頻率等使用近似模型聯合多目標優化算法為結構評價指標進行決策，并取得較好的輕量化效果.

大型六足機器人重載仿生腿結構作為一個復雜裝配結構［9-10］，包含眾多尺寸變量和約束條件，因此，針對腿部結構進行多工況靜、動態性能耦合的結構優化設計很少.多數對重載六足機器人仿生腿的結構優化僅考慮單一工況，未能體現仿生腿在復雜工況運行時多性能之間的制約關系.國內對大型重載機器人結構優化的研究很少，本文以重載機器人的仿生腿為研究對象，在多學科優化軟件Isight中聯合Abaqus中的有限元分析和CATIA中的參數化模型重構功能，依次利用試驗設計、近似模型以及第二代非支配排序遺傳算法（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm Ⅱ，NSGA-Ⅱ）進行腿部各模塊參數多目標優化.在優化過程中，將仿生腿拆解成基節、大腿和小腿模塊單獨優化，并且將設計變量具體細化到各模塊中，可清晰地從近似模型中反映出改變某個變量對該模塊輸出響應的影響.并且選取六足機器人行走時承受載荷最大的中腿為研究對象，綜合考慮斜坡和平地工況下的靜、動態性能，避免優化結果與實際運行情況不符.

1 仿生腿性能分析與優化系統集成

1.1 仿生腿靜力學與模態分析

圖1 為大型六足機器人及其仿生腿結構.借鑒六足綱昆蟲腿部獨特的身體構造，保留根關節、髖關節和膝關節的旋轉自由度，并將股節和脛節分別視為仿生腿的大腿和小腿，各關節結構簡化為機械模塊之間的銷軸連接，并通過液壓缸驅動.首先對仿生腿整體進行靜力學分析和模態分析，從而評估各項性能以及確定設計目標；再將其拆解為基節、大腿和小腿模塊進行單獨優化；最后將優化結果進行仿真分析，驗證所提出方法的可行性.

圖1 大型六足機器人及其仿生腿結構Fig.1 Large hexapod robot and its bionic leg structure

大型六足機器人在實際行走中，腿部剛度的強弱直接影響整機運行的穩定性和控制的準確性，同時為防止機器人在行走過程中仿生腿與整機產生共振，應分析仿生腿的模態頻率，從而減弱外部激勵對仿生腿的影響.六足機器人在實際運行中的常見工況為二步態平地工況和六步態35°斜坡工況，其中平地工況腿部主要承受較大的垂向力，斜坡工況除了承受較大的垂向力外還承受一定的偏載.通過對重載仿生腿進行2 種典型工況下的有限元分析，可綜合權衡腿部結構靜、動態性能，從而確定優化目標.

有限元分析時約束基節與車體連接處銷軸孔的5個自由度，只釋放1個繞z軸的旋轉自由度，從而模擬基節與車體的相對轉動，并且約束基節與側擺缸鉸接處沿x軸方向的位移約束.

在2 種工況下，仿生腿的靜、動態性能如圖2 所示.由圖2可知，腿部應力偏小，最大僅165 MPa，遠小于7075鋁合金的屈服極限；仿生腿在2種工況下的變形較大，尤其在抵御斜坡工況較大偏載時表現出較大變形，其中平地工況最大變形15.3 mm，斜坡工況最大變形29.6 mm；仿生腿首階固有頻率17.201 Hz，該頻率下的振型為整體繞z軸擺動.因此，結合腿部結構的有限元分析和實際行走情況，確定優化設計的目的是在確保2 種工況下仿生腿滿足強度設計要求的前提下，增大腿部結構靜態剛度、首階固有頻率以及輕量化設計.

圖2 仿生腿靜、動態性能Fig.2 Static and dynamic performance of bionic legs

1.2 基于Isight的優化平臺集成

Isight 是一種基于參數的優化設計軟件［11-12］，通過集成和管理復雜的仿真流程獲取優化設計方案［13-14］.圖3 為本文基于三維建模軟件CATIA、有限元分析軟件Abaqus 以及多學科優化軟件Isight 建立的仿生腿優化設計流程.首先在CATIA 中對仿生腿進行參數化建模，并通過VB 語言編寫腳本實現三維模型自動更新；其次在有限元軟件Abaqus 中分析仿生腿各模塊的靜、動態性能，并通過python 語言對分析過程進行二次開發，從而使CAE自動進行前處理、后處理及求解，從而得到優化所關注的目標響應（最大應力、最大變形、質量和首階固有頻率）結果文件；再次在Isight 平臺中分別提取仿生腿各模塊的設計變量和分析結果文件，通過Simcode 組件驅動bat 批處理文件使CAD 三維模型重構和CAE 分析更新求解循環進行，并且在試驗設計獲得的大量離散樣本點上擬合精度符合工程需要的近似模型；最后利用NSGA-Ⅱ算法進行優化求解.

圖3 仿生腿優化設計流程Fig.3 Bionic leg optimization design process

2 仿生腿試驗設計與近似模型建立

2.1 仿生腿參數化模型建立

將仿生腿結構分為基節、大腿和小腿模塊，分別建立其參數化模型.結合有限元分析與加工制造的可行性選取參數設計變量.圖4 為仿生腿各模塊參數化建模，其中基節模塊包括9 個厚度變量、4 個方形孔尺寸變量；大腿模塊包括4 個厚度變量、2 個U形孔形狀變量；小腿模塊包括5 個厚度變量、2 個U形孔形狀變量，總計26個設計變量.

圖4 仿生腿各模塊參數化建模Fig.4 The parametric modeling of each module of the bionic leg

2.2 基于優化拉丁超立方的試驗設計

常見的試驗設計方法有參數試驗、正交數組、中心組合設計、拉丁超立方設計以及優化拉丁超立方設計等［15-16］.本文所選取的優化拉丁超立方在拉丁超立方的基礎上做出改進，使設計變量更加均勻地在空間填充，從而得到更加準確的輸入與響應的關系.

利用優化拉丁超立方進行2次試驗設計，第1次以較少的樣本點觀察因子與響應的關系，分析因子的主效應、交互效應和相關性；第2 次生成近似模型初始化和誤差分析所需的足夠多的樣本點.綜合考慮計算效率和模型精度，設定基節模塊280 個初始樣本點、大腿模塊60 個樣本點、小腿模塊80 個樣本點.基于優化拉丁超立方生成的基節試驗設計結果如表1所示，其中bi代表厚度變量，li、hi代表形狀尺寸變量，s1、s2分別代表平地和斜坡工況最大應力，u1、u2分別代表平地和斜坡工況最大變形，f1代表首階固有頻率，m代表質量.

表1 基節試驗設計結果Tab.1 The results of hip linkage experimental design

在Isight 中建立的仿生腿多工況集成優化平臺如圖5 所示，在每組輸入參數所對應的輸出響應中都自動提取Abaqus 結果文件中平地和斜坡工況下的最大應力、最大變形、首階固有頻率及質量.

圖5 仿生腿多工況集成優化平臺Fig.5 Integrated optimization platform for bionic legs with multiple operating conditions

2.3 近似模型建立

在對仿生腿各模塊進行多目標尋優的過程中，每組樣本點都需分別進行2 種工況下的靜力學分析和模態分析，計算資源巨大、效率低下，通過建立輸入與輸出之間的近似模型可減少數值仿真的次數，提升計算效率，以及平滑設計空間的數值噪聲.近似模型用式（1）表示輸入變量與輸出響應的關系.

式中：y(x)為實際輸出響應值；y1(x)為用一個已知多項式擬合的近似輸出響應值；ε為服從標準正態分布的隨機誤差；x為輸入變量.

常用的近似模型有響應面模型（Response Surface Model，RSM）、克里格模型（Kriging Model）和徑向基函數神經網絡模型（Radial Basis Function Neural Network Model，RBF）等［17-18］.較為常用的響應面模型多為一階和二階，其中二階RSM模型為：

式中：Y為輸出；β0為常數；βi為線性影響系數；βii為二次項影響系數；βij為交互項影響系數；k為設計變量個數；ε為近似模型與實際輸出之間的誤差.

所構建的近似模型精度直接影響計算的準確性［19-20］，根據均值、最大值、均方根和復相關系數R2進行誤差分析.對于前3 種誤差分析類型的評價指標分別為0.2、0.3 和0.2，其值越小表明擬合效果越好；工程上常根據R2評價近似模型精度，R2可接受指標為0.9，其值介于0 和1 之間，R2越大，表明近似模型的精度越高，R2的具體表達式為：

式中：Yi為第i個樣本點上的響應近似值；yi為輸出響應值；n為樣本點數量.

本文分別以RSM、RBF 和Kriging 模型建立各模塊的近似模型，不同近似模型的擬合精度比較如表2所示.通過分析每種近似模型的檢驗指標R2，確定采用RSM建立各模塊輸入與輸出參數的擬合曲面.

表2 不同近似模型的擬合精度比較Tab.2 The comparison of fitting accuracy of different approximate models

基節模塊輸出響應擬合曲面如圖6 所示.由圖6可以清晰地看出平地工況最大應力s1、最大變形u1，斜坡工況最大應力s2、最大變形u2、首階固有頻率f1，以及質量m的輸出響應與各尺寸變量之間的關系.大腿和小腿模塊建立的RSM 與基節模塊類似，限于篇幅，不再贅述.

圖6 基節模塊輸出響應擬合曲面Fig.6 Hip linkage output response fitting surface

3 基于近似模型的多目標優化

仿生腿結構各模塊的優化問題屬于多目標優化問題，需要綜合權衡眾多響應之間的關系.多目標優化算法分為歸一化方法和非歸一化方法，歸一化方法將多個目標根據權重值處理為單目標，但是Pareto前沿不存在凸起的形狀，則該算法不能在此處得到Pareto 最優解.非歸一化方法利用Pareto 機制直接進行求解，NSGA-Ⅱ算法作為探索性能良好的一種非歸一化方法，尋找Pareto 前沿個體的能力更強，因此選擇NSGA-Ⅱ算法尋優.

基于所建立的近似模型，仿生腿各模塊的多目標優化數學表達式為：

基于NSGA-Ⅱ算法的仿生腿多目標優化流程如圖7所示［21-22］.考慮求解過程中的收斂性以及種群廣度，設置種群個數為40，進化代數為20，交叉概率為0.9，以基節模塊的優化為例，部分目標響應之間的Pareto最優解如圖8所示.

圖7 基于NSGA-Ⅱ算法的仿生腿多目標優化流程Fig.7 Multi-objective optimization process of bionic legs based on NSGA-Ⅱ

圖8 Pareto最優解Fig.8 Pareto optimal solution

仿生腿各模塊的目標響應與質量之間存在相互制約關系，對腿部各結構進行優化的目的在于滿足強度的前提下，使靜態剛度、動態性能與質量均盡可能達到最優，最終得到基節、大腿、小腿各模塊的優化結果，分別如表3和表4所示.優化結果表明，各模塊在強度滿足設計要求的同時，均實現質量減輕和靜、動態剛度提升.

表4 仿生腿性能優化結果Tab.4 The optimization results of the bionic leg performance

4 仿生腿整體優化結果分析

仿生腿各模塊優化完成后，對優化后的整體結構進行仿真分析.圖9 為優化后仿生腿應力云圖，仿生腿整體平地和斜坡工況最大應力比優化前分別增加4.25%、6.30%，仍然滿足強度設計要求，并有很大余量.

圖9 優化后仿生腿應力云圖Fig.9 Optimized bionic leg stress

優化后仿生腿整體首階固有頻率為17.816，與優化前的首階固有頻率相比提高了3.45%.圖10 為優化后仿生腿首階固有頻率對應振型，與優化前相同，均為整體繞z軸擺動.

圖10 優化后仿生腿首階固有頻率對應振型Fig.10 The vibration shape of the first natural frequency of the bionic leg after optimization

優化后仿生腿變形如圖11 所示，與優化前相同，最大變形均出現在腿部末端，其中平地和斜坡工況下的最大變形分別降低9.73%和9.46%.以大腿模塊為例，比較優化前、后各處沿腿部連桿路徑的變形曲線，優化后平地和斜坡工況下的腿部各處變形曲線均位于優化前之下，表明腿部各處最大變形均相應減小，剛度均明顯改善.

圖11 優化后仿生腿變形Fig.11 Bionic leg deformation after optimization

表5為仿生腿性能優化結果比較，優化后仿生腿整體強度在滿足設計要求的前提下，實現平地工況最大變形下降9.73%，斜坡工況最大變形下降9.46%，質量降低8.63%，首階固有頻率提升3.45%.

5 結論

本文以大型六足機器人重載仿生腿為研究對象，提出一種基于近似模型的仿生腿多工況靜、動態多目標優化，通過Isight 集成Abaqus 和CATIA，搭建參數優化平臺，實現自動循環求解優化.通過對仿生腿整體性能分析，確定優化目標，利用試驗設計獲取輸入參數和輸出響應的樣本點，并建立RSM，使用NSGA-Ⅱ算法進行多目標優化.優化后仿生腿平地工況最大變形下降9.73%，斜坡工況最大變形下降9.46%，質量降低8.63%，首階固有頻率提升3.45%，平地工況和斜坡工況最大應力分別提升6.07%和7.97%，在滿足強度設計要求的同時仍具有很大余量.證明了本文所提出的針對重載仿生腿的多目標優化方法的有效性，并對大型機器人及其他機械結構的優化設計有一定的指導意義和參考價值.