一類隨機微分方程的隨機源反演方法和性質

陳 琛, 馮曉莉, 陳漢章

(西安電子科技大學 數學與統計學院, 西安 710126)

0 引 言

眾所周知,反問題的應用非常廣泛,相應的研究成果也越來越多[1-5]．然而,絕大多數反問題都是不適定的,尤其是穩定性往往不成立,這也是研究反問題的困難和意義所在．不僅如此,實際應用中會有很多隨機因素的影響,比如測量數據帶有噪聲,數學模型的建立含有模型誤差等．這些因素對于不適定反問題的研究不容小覷,否則求得的數值結果會出現災難性的問題．一種自然而又巧妙的處理方法是將這些因素視為隨機的,相應的問題就看作隨機問題．此外,隨機技術的引入可以很好地耦合不同度量尺度之間的干擾[6-9]．綜上可知,關于隨機反問題的研究既非常重要又很有實際意義．

本文關心的是如下一類隨機微分方程：

(1)

其中a(x),h(t)已知,且a(x)?0,h(t)≥h0>0,D=(0,1),BH(t)為概率空間(Ω,F,{Ft}t≥0,)上的分式Brown運動,H∈(0,1)為Hurst參數,為彩噪聲．為了簡便,后文將u(x,t,ω)簡記為u(x,t)．本文主要探討：

(P1) 正問題 已知φ(x),ψ(x),求溫和解u(x,t);

(P2) 反問題 給定T時刻的樣本數據u(x,T,ω), 反演問題(1)中隨機源項的部分統計量φ(x)和ψ2(x)．

對于正問題(P1),由于隨機源項F(x,t)的低正則性[10],該方程不是幾乎處處存在的,所以方程的適定性與經典意義下截然不同,相應的解在什么樣的空間存在是值得研究的．而關于反問題(P2),F(x,t)為隨機場,如何由u(x,t,ω)的統計量來反演F(x,t)的統計量φ(x)與ψ2(x)是很困難且有意義的,而其不適定性又將使得該反問題的求解難上加難．

由于以上的眾多原由,近年來反隨機源問題倍受學者們的重視[11-12],關于分式Brown運動驅動下的隨機微分方程的反源問題,例如,隨機的時空分數階方程[13],隨機波動方程[14],一個隨機的時間分數階擴散方程[15],一維隨機對流擴散方程[16]等已有一些研究結果．這些工作均先是利用Laplace 變換或Fourier變換或廣義Fourier 級數展開得到相應的溫和解,然后再進一步討論．本文所要討論的問題(1),是一種更為廣泛的隨機問題,比如隨機熱方程：

(2)

其中L為一致橢圓算子．借助于廣義Fourier級數展開,問題(2)可轉化為

(3)

1 理 論 基 礎

定義1[15,17]設0

則稱BH(t)為分式Brown運動,其中H是Hurst參數,E[·]表示期望．特別地,當H=1/2時,即為標準Brown運動B(t)．

對于分式Brown運動BH(t),其中H∈(0,1),相應的隨機積分有如下公式[15]：

2) 當H∈(0,1/2)時,

(4)

其中

3) 當H=1/2時,

(5)

4) 當H∈(1/2,1)時,

(6)

其中αH=H(2H-1)．

2 正 問 題

不難得到問題(1)的溫和解如下．

定義2 一個隨機過程u∈L2(D)稱為問題(1)的溫和解,如果

(7)

幾乎處處成立．

下面進一步說明在一定條件下,溫和解u(x,t)是適定的．為了推導的方便,先給出如下引理．

引理1[15]當H∈(0,1/2)時,對?t>τ有

由式(7)知,

2I1(t)+2I2(t)．

(8)

由h(t)≥h0>0及積分中值定理可知,存在某個ξ∈(0,t),有

其中

若令M(x)max{1,e-a(x)T},則

關于I2(t),有

情形1 當H∈(0,1/2)時,由式(4)可知

J1(t)+J2(t)+J3(t),

(9)

這里“ab”表示a≤Cb,其中C為某個正常數．顯然有

(10)

(11)

由引理1可知

J2(t)τ1-2H(t4H-2+τ4H-2)dτ·M2(x)t2HM2(x)．

關于J3(t),由于

1) 當|a(x)|≤1時,

|e-a(x)(t-u)-e-a(x)(t-τ)|≤|a(x)|M(x)|u-τ|≤M(x)|u-τ|;

2) 當|a(x)|>1時,

根據?KH(u,τ)/?u的表達式,易得

(12)

將式(10)—(12)代入式(9),可得

此時有

情形2 當H=1/2時,由式(5)可知

所以

情形3 當H∈(1/2,1)時,由式(6)可知

(13)

因此

綜上可知如下定理成立．

定理1 如果函數f(x),g(x)∈L2(D),則有估計式

注1 由定理1可知：1) 若a(x)有界,則‖M‖L∞(D)也有界;2) 若a(x)≥0,則‖M‖L∞(D)亦有界;3) 若a(x)→-∞,則‖M‖L∞(D)無界．因此第1)、2)兩種情況下問題(1)的解是穩定的,但第3)種情況下問題(1)的解不穩定．

3 反 問 題

本節我們考慮通過u(x,T,ω)的統計量來反演問題(1)隨機源項中的統計量φ(x)和ψ2(x)．若h(t)≡1時,φ(x)和ψ2(x)就是隨機源項的期望和方差．由式(7)可知

(14)

(15)

其中var(·)表示方差．

進一步可得

(16)

下面分析由式(14)和(15)來反演φ(x)與ψ2(x)的唯一性與穩定性如何．

3.1 唯一性

由h(τ)≥h0>0易知,對于固定的x,總有

情形1 當H∈(0,1/2)時,

對于固定的x,當a(x)≥0時,e-a(x)(T-s)關于s是遞增的,所以

e-a(x)(T-u)-e-a(x)(T-τ)≥0．

又由KH(u,τ)的表達式可知KH(T,τ)與?KH(u,τ)/?u均大于0且連續,所以一定存在一個c1(x)>0,有

當a(x)<0時,e-a(x)(T-s)關于s是遞減的,所以(d/ds)e-a(x)(T-s)<0,此時

根據分部積分,可知

由e-a(x)(T-s)關于s是遞減的,且KH(u,τ)>0,可知

(17)

情形2 當H=1/2時,由It等距公式(5)可知：當a(x)≥0時,有

當a(x)<0時,有

(18)

情形3 當H∈(1/2,1)時,有

當a(x)≥0時,有

注意到式(13),有

當a(x)≤0,類似地有

(19)

綜上分析可知,如下定理成立．

定理2 若φ(x),ψ(x)∈L2(D)且‖ψ‖L2(D)≠0,h(x)≥h0>0,h(x)∈L∞(0,T),則源項中φ(x)與ψ2(x)能由u(x,T,ω)的期望和方差唯一確定．

3.2 穩定性分析

反源問題在醫學、地質勘探等方面都有非常廣泛的應用,然而反源問題往往是不穩定的．本小節將分析反演φ(x)與ψ2(x)時的穩定性．先分析a(x)>0時的穩定性．

一方面,我們有

情形1 若a(x)>1/T2,由式(9)可知

對于H∈(0,1/2),借助于不等式

(20)

有

根據式(20)易得

并且

因此

此外,

J21(T)+J22(T)+J23(T)．

根據引理1,有

利用證明引理1相同的方法,我們得到

同樣地,利用引理1,有

所以,對于J2(T),我們有

此外,

因此

對于H=1/2,利用It等距公式(5)并注意到a(x)>1/T2可得

對于H∈(1/2,1),利用式(6)并注意到估計式(20),將其化為4個部分,每個部分分別借用估計式(20)進行計算,所以有

其中

由于對稱性

因此

對于H=1/2,利用It等距公式(5)易得

對于H∈(1/2,1),利用公式(6)并進行簡單的計算可得

綜合本小節的推導以及3.1小節中的式(17)—(19),我們得到以下定理．

定理3 對于任意的a(x),有估計式

對于a(x)≥1/T2,有

對于a(x)<0或0

注2 由定理3可知,當a(x)<0或0

4 結 論

本文討論了一類隨機微分方程的反源問題,根據方程的溫和解,討論了正問題的適定性．利用溫和解的統計性質,根據T時刻的數據反演方程的源項,證明了源項反演的唯一性,并分析了關于源項φ(x)和ψ2(x)反演的穩定性情況．后面我們將進一步考慮相應的數值結果．