一種衛星姿軌一體化模型預測容錯控制方法

孫楚琦，肖 巖，葉 東，孫兆偉

(哈爾濱工業大學航天學院衛星技術研究所，哈爾濱 150080)

0 引 言

隨著航天技術不斷革新,大部分衛星在研制過程中加入了標準化外部插件接口的設計,以適應未來計劃內或計劃外的在軌升級、維護和搶救等空間任務。諸多在軌服務任務的實現都需要進行六自由度機動,用于對接或抵近目標衛星,并調整至滿足任務需求的姿態[1-2]。近年來,關于此類六自由度姿軌一體化建模與控制的研究一直是航天領域的研究熱點。對于六自由度相對運動建模,考慮衛星軌道運動和姿態運動間有著強耦合,傳統方法將軌道運動和姿態運動分開處理的方式難以妥善處理兩者之間的耦合關系[3-5]。此外,考慮在軌衛星長期處于空間惡劣環境,衛星上的執行機構因老化或其它不可抗力所導致的效能下降將大大降低衛星機動能力[6-7]。綜合上述問題,針對衛星的姿軌一體化容錯控制策略具有一定的工程實踐意義,并能夠為在軌服務的完成提供技術保障。

針對航天器軌道和姿態運動一體化的建模方法現階段主要分為三種。1)首先是姿軌獨立建模方法,其思想為將描述軌道運動和姿態運動的動力學模型聯立,形成姿軌一體化動力學模型[8-11]。上述研究中雖然實現了軌道和姿態運動的一體化描述,但是仍然需要通過軌道和姿態之間的耦合關系往復運算,并沒有從姿軌耦合特性的本質上進行動力學建模。2)第二種是基于Lie群SE(3)的姿軌一體化建模方法。通過由旋轉矩陣與位置矢量構成的三維歐幾里得空間里的Lie群,一體化描述剛體在三維空間中的平動和轉動。文獻[12]借助李群SE(3)指數坐標模型設計了一種魯棒自適應控制方法。文獻[13]研究了SE(3)模型下的考慮執行機構延遲和飽和下的無人機位姿穩定控制方法。文獻[14]研究了基于李代數SE(3)和一致擴展卡爾曼濾波的剛體運動一致估計。這種數學工具的缺點是建模中包含較為復雜的矩陣運算,加大了控制器設計的復雜度。3)第三種是基于螺旋位移理論的對偶四元數描述,將四元數和對偶數結合形成一個統一框架的矢量,用于一體化描述平動和轉動。文獻[15-18]研究了對偶四元數應用于機器人和衛星的六自由度運動建模的狀態控制和估計。針對非合作滾轉目標,文獻[19]設計了一種柔性航天器交會的自適應迭代學習控制。文獻[20]建立了基于對偶四元數的電磁配置衛星模型,用于衍射成像任務。李群SE(3)是對偶四元數的齊次變換形式,但是基于對偶四元數的姿軌動力學模型能夠給出更簡潔的狀態空間形式,從而降低控制器設計難度。

航天器姿軌一體化控制通常選取自適應控制、反步法控制、變結構控制等方法進行設計[21]。由于姿軌一體模型具備強耦合、強非線性的特點,相應的控制方法復雜程度高、設計難度大。模型預測控制(Model predictive control,MPC)作為一種能夠同時處理約束滿足、優化指標、魯棒性及模型適應性的先進控制綜合技術,已經逐步在航天領域中得到應用。當今MPC在航天領域的應用主要體現在航天器交會機動控制和姿態控制中,在基于姿軌耦合動力學模型的位姿控制研究中較少。文獻[22]針對六自由度的近距離機動過程,設計了基于序列凸優化的滾動時域制導與控制策略。文獻[23]以火星登陸為背景,設計了在若干火星著陸的關鍵約束條件下的模型預測控制方法。

一般來說,航天器設計采用冗余配置的硬件設施提高系統的可靠性,但是這種措施只能在一定程度上以空間體積為代價換取系統可靠性。為進一步提高系統的可靠性和適用性,在對系統進行控制器設計時考慮系統潛在故障,使控制器具備一定容錯能力十分必要。本文研究的主要動機在于試圖將MPC與容錯控制相結合,設計一種針對航天器姿軌一體控制系統的模型預測容錯控制方法。常規MPC在航天領域的研究大多用于根據不同場景約束設計相應的優化算法,解決控制或路徑規劃問題。相比于文獻[23]所使用的常規MPC控制策略,顯式模型預測控制方法對常規MPC進行了一定改進,能夠將優化求解的在線計算放到離線進行,在線實施時只需查詢狀態量和控制量對應的仿射關系即可得出對應的控制量,能夠降低計算量,更適用于在線過程[24]?，F有研究中對于具備容錯性能的MPC研究較少,文獻[25]針對執行機構存在部分故障的線性系統,提出了一種基于閉環辨識的模型預測容錯控制方法。文獻[26]以吸氣式高超音速飛行器為控制對象,當執行機構發生故障時,根據故障對參考控制指令進行二次重構,提出了一種基于模型預測控制策略的容錯控制方法。上述研究中,對系統故障的處理均基于優化思想對執行機構的輸出能力進行估計,受此啟發,本文將引入MPC算法過程機制衍生出的一種先進狀態估計方法——滾動時域估計(Moving horizon estimation,MHE)方法處理容錯控制問題,該方法能夠方便地處理系統的非線性特性,能夠利用時域約束及測量信息進行在線估計。針對MHE的相關研究并不多見,文獻[27]基于滾動時域估計理論和隨機最小二乘理論,提出了一種分布式滾動時域估計算法,研究了數據傳輸丟失情況下的參數不確定無人機系統狀態估計問題。當在軌服務航天器執行機構發生故障時,需要引入準確的系統模型才能解算使系統穩定的控制信號,此時需要引入一種基于在線數據的參數估計方法,提取系統發生故障后的模型參數,為MPC盡可能減少模型參數突變的影響,從而賦予MPC容錯能力。與現有研究成果相比,本文的創新性可以總結為:針對航天器姿軌一體化控制問題,提出了一種基于姿軌一體化的顯式模型預測控制策略,此外,將滾動時域估計方法與該模型預測控制方法相結合,提出了一種模型預測容錯控制策略,共同實現執行機構輸出效能退化情況下的航天器姿軌一體化容錯控制。

綜上所述,為了實現可靠穩定的衛星姿軌一體化容錯控制,本文將利用MHE方法對執行機構的輸出能力進行估計,同時與MPC相結合,從而實現模型預測容錯控制策略。該方法能夠在系統發生執行機構退化失效故障時迅速估計執行機構的輸出能力,并在故障工況下完成對期望狀態的跟蹤,有效提高了衛星姿軌控制系統的實時性和可靠性。最后通過數值仿真驗證了所提出控制方法的有效性,并通過與另一研究中的容錯控制方法進行對照,體現了本文所提出方法的優越性。

1 相對姿軌一體化模型

1.1 坐標系定義及對偶四元數

首先定義相關坐標系,如圖1所示。定義地心慣性坐標系O-XIYIZI的原點為地心,OXI軸在赤道平面內,方向由原點指向春分點,OZI軸垂直于地球赤道平面且與地球自轉角速度矢量方向相同,OYI軸方向由右手法則確定。定義目標衛星本體坐標系O-XTYTZT的原點為目標航天器質心OT,三個坐標軸方向分別與航天器的慣量主軸重合。服務衛星本體坐標系O-XSYSZS定義與目標衛星一致。

圖1 坐標系定義示意圖

根據Chasles定理[28],剛體的運動可看作不經過原點的軸旋轉并沿著該軸平移的合成螺旋運動?；谠撀菪\動的運動參數,由元素為對偶數的四元數表示,也可看作是元素為四元數的對偶數。具體描述為:

(1)

式中:qr,qd分別為對偶四元數的實部和對偶部。ε為對偶單位。

對偶四元數的運算法則與四元數類似,對于四元數運算法則和對偶四元數性質的詳細介紹可參考文獻[15]。本文關于所運用到的對偶四元數運算及相關定義如下:

四元數:

(2)

式中:θ為歐拉角;n為歐拉軸單位矢量。

矢量a=[a1,a2,a3]T的叉乘算子:

(3)

對偶四元數加法:

(4)

對偶四元數乘法:

(5)

式中:“° ”為四元數乘法運算,對偶四元數乘法的矩陣描述形式為:

(6)

式中:“[°]”表示為對應的乘法矩陣描述。

對偶四元數叉乘:

(7)

其矩陣描述形式由四元數叉乘運算得出,表示為:

(8)

對偶四元數的共軛:

(9)

對偶四元數的范數:

(10)

(11)

1.2 基于對偶四元數的姿軌一體化動力學

基于對偶四元數的誤差運動學方程為:

(12)

基于對偶四元數的誤差動力學模型方程為:

(13)

(14)

式中:m為質量,J為轉動慣量。

為在該動力學模型中描述執行機構退化效能下降的故障,將控制輸入對系統的對偶合力擴展為以下形式:

(15)

2 控制器設計

2.1 顯式模型預測控制方法設計

為便于模型預測控制器設計,將基于對偶四元數的誤差動力學與運動學整理成狀態空間的形式。同時為了處理動力學中的冗余維度,可將該動力學系統狀態空間形式記為

(16)

式中:

(17)

其中A(x)和B包含的矩陣運算算子為

(18)

采用前向歐拉法將該連續時變系統進行離散化,記為

x(k+1)=(A(x(k))·δt+I)x(k)+

(19)

基于式(19),可以遞推出在k時刻下,預測時域為p的狀態序列,記為

(20)

為方便后續優化過程描述,定義如下的狀態序列和控制序列:

(21)

基于狀態序列的預測方程為:

Xk=Ψx(k)+ΘUk

(22)

式中:

(23)

定義需跟蹤的參考狀態軌跡為:

Rk=[rT(k+1),…,rT(k+p)]T

(24)

此時,對于狀態和控制量的代價函數可設計為:

(25)

(26)

式中:Ξ?R14,υ?Rm+l,Ξf∈Ξ為狀態容許集,控制約束集和終端約束集。上標*指代價函數最優時對應的參數值。通過求解該優化問題即可得到該顯式模型預測控制策略的控制序列。

2.2 基于滾動時域估計的模型預測容錯控制方法

基于式(16)的帶有故障信息的系統模型可簡寫為:

(27)

對于衛星執行機構的故障在線辨識過程,需要由故障系統的歷史狀態數據和控制序列進行估計。本文通過引入滾動時域估計方法,采用系統測量的固定窗口的歷史狀態對控制量進行求解。將該固定窗口定義為估計時域NI。滾動時域估計方法通過優化求解如下辨識代價函數求解執行機構的故障系數:

(28)

式中:S為正定的對稱矩陣,Υk為估計時域內的歷史狀態量和控制序列。

Υk={x(k-n),u(k-n)n=1,2,…,NI}

(29)

相似地,執行機構的故障系數序列可定義為:

(30)

該滾動時域估計器對于執行機構故障系數的估計可化為如下優化問題的求解:

(31)

圖2 模型預測容錯控制流程圖

3 仿真校驗

表1 仿真參數與初值

本文算例中服務星的執行配置選擇了推力器和反作用飛輪的組合形式。服務星總計安裝了4個可提供雙向輸出的推力器對及4個反作用力飛輪。

推力器和反作用飛輪的最大輸出值分別為1 N和0.2 N·m。推力器和反作用飛輪的配置結構如圖3所示:

圖3 執行機構配置示意圖

基于這種配置,服務星的對偶控制分配矩陣為:

模型預測控制器參數為

表2 故障工況下兩種不同控制器對比

圖4 故障情況示意圖

圖5 執行機構故障時狀態響應及控制輸出響應

圖6 MHE故障估計性能曲線

需要說明的是,估計器在故障估計時產生了抖振,這是因為在模型預測控制器的作用下,所解算的力或力矩輸出與上一時刻的控制輸出方向相反且差值較大,表現為系統狀態運行到狀態拐點處。抖振后的估計系數仍能夠快速收斂至準確的故障系數值。仿真表明,雖然受執行機構故障影響,系統收斂速度較執行機構完全正常時變慢,但是仍能保證收斂性能?？偨Y來說,仿真結果證明了本文提出的算法具備執行機構故障時的容錯能力,能夠實現誤差的快速收斂。

4 結 論

本文面向衛星在軌服務,基于對偶四元數框架下的姿軌一體化模型進行了模型預測容錯控制方法研究。通過引入滾動時域估計器在線估計執行機構發生效率減退時的故障系數,設計了一種模型預測容錯控制方法。最終通過數學仿真,驗證了該控制方法在執行機構正常和故障兩種工況下對衛星位置和姿態的跟蹤控制能力,證明了所提出方法的有效性。