自主光學相對導航中序列圖像最優構建方法

孫博文，王大軼，2，周海銀，李茂登，王炯琦

(1. 國防科技大學理學院，長沙 410073；2. 北京空間飛行器總體設計部，北京 100094；3. 北京控制工程研究所，北京 100094)

0 引 言

空間目標自主相對導航技術在空間碎片清除[1]、航天器在軌服務[2]、深空探測[3]等領域發揮著重要作用。為了獲取更多的測量信息,航天器上往往配備光學相機、激光雷達、微波雷達等多種探測敏感器設備[4]。然而,航天器結構資源有限難以安裝過多的探測敏感器,且航天器計算資源受限難以處理過多的測量數據,這兩個約束要求航天器必須精簡星載探測敏感器。

光學相機具有結構簡單、數據豐富等特點,若僅用光學相機作為測量敏感器即可實現自主相對導航,則在降低航天器體積造價、降低計算消耗等方面具有很大的應用空間[5]。所以僅用星載光學敏感器提供的序列圖像進行空間目標自主相對導航成為空間導航領域的創新模式,也是當前的研究熱點。

然而,僅用序列圖像進行自主光學相對導航過程中,由于光學相機無法觀測目標的距離信息,導致其組成的自主相對導航系統無法通過測量直接解算得到相對位置參數,所以僅用序列圖像的自主光學導航系統為欠觀測系統[6]。如何通過序列圖像反演出相對距離信息,使此類欠觀測系統滿足可觀測性,能夠實現導航參數的完備估計,是自主光學相對導航面臨的難點問題[7]。

對于此問題,往往利用可觀測性理論判斷相對系統狀態是否可以被完備估計[8-10]。然而,Woffi-nden等[11]證明了基于Clohessy-Wiltshire (C-W)方程的自主光學相對導航系統不滿足可觀測性。為使此類系統滿足可觀測性(即實現狀態的完備估計),工程上通常有以下兩種方法:一是利用軌道機動方法,二是利用相機安裝偏置方法。兩種方法均利用虛擬預測方向與實際觀測方向的差異構成三角形結構(目標點、虛擬觀測點和實際觀測點構成的三角形),進而反演相對距離信息,實現相對導航參數的完備估計。

在軌道機動方法中,Woffinden等[12]研究了通過航天器軌道機動分析得到了目標距離信息,Grzymisch等[13-14]討論了通過軌道機動滿足系統可觀測性的充要條件,在代數層面上分析了狀態預測與機動的代數關系,得到了最優機動。基于軌道機動的自主光學相對導航方法需改變航天器軌道參數,對航天器軌道控制要求高;而且軌道機動需要消耗大量的能源,不利于星上進行連續軌道控制。

在不進行軌道機動的情況下,通過光學相機安裝偏置構建序列圖像也可實現自主光學相對導航參數的完備估計。相比于軌道機動方法,基于光學相機安裝偏置方法無需改變軌道參數,同時減少了軌道機動帶來的能源消耗。Geller等[15]分析了基于C-W方程的自主光學相對導航不可觀測時的充要條件,利用光學相機安裝偏置構建的序列圖像實現了系統狀態的完備估計,并通過實驗定性分析了相機安裝偏置中三軸分量對估計精度的影響。在此基礎上,Gong等[16]研究了估計精度對相機安裝偏置、姿態旋轉等因素的敏感性。宋亮等[17]在相機安裝偏置條件下對系統進行可觀測性分析,提出了一種基于擴展卡爾曼濾波的自主相對導航方法。

然而,在利用光學相機安裝偏置構建光學序列圖像進行系統狀態完備估計時,上述文獻均沒有考慮序列圖像構建對自主光學相對導航精度的影響。在測量噪聲和狀態預測協方差共同影響下,目標點、虛擬觀測點和實際觀測點所構成的三角形幾何屬性對相對導航狀態估計精度有著極其重要的影響。例如,極限條件下,若虛擬預測方向與實際測量方法重合,則無法構成三角形結構,此時系統仍不滿足可觀測性。所以,為了進一步提高自主光學相對導航精度,需要以系統可觀測度為指標,探索利用光學相機安裝偏置來實現光學序列圖像的最優構建方法。

針對此問題,本文在利用光學相機安裝偏置實現自主相對導航的條件下,提出了一種基于幾何屬性量化的自主光學相對導航序列圖像最優構建方法。首先通過分析自主光學相對導航系統可觀測性,探究了影響估計精度的關鍵因素,然后依據狀態估計誤差的幾何特性建立了相對導航系統可觀測度指標,并在此基礎上量化了該指標與序列圖像構建方式的映射關系,研究了序列圖像最優構建方法,給出了相應的導航濾波算法,提高了自主光學相對導航精度。

1 自主光學相對導航系統模型

1.1 坐標系定義與轉換

本節定義相關坐標系,如圖1所示。

圖1 坐標系

軌道系FO：原點為航天器質心,xO軸由地心指向航天器質心,zO軸垂直于軌道平面并平行于航天器的角動量矢量,yO軸與xO,zO軸構成右手系。

本體系FB：原點為航天器質心,三軸固定且已知,構成右手系。

相機系FC：原點為相機鏡頭中心,zC軸為光軸方向并指向外,xC軸與yC軸均與相機成像平面的平行,構成右手系。

文中利用上標O,B,C分別表示向量在FO, FB, FC下的表示。坐標系轉換定義如下:

2) FB到FC的轉換:如圖1所示,FB和FC之間不僅存在旋轉還存在平移,空間目標在兩坐標系下的位置矢量分別表示為rB和FC,兩者之間存在如下轉換關系

(1)

1.2 相對運動狀態方程

航天器與空間目標在軌運行時,可以在軌道系下建立兩者的相對運動狀態方程。令rO=[x,y,z]T為軌道系下目標的相對位置矢量,當航天器與目標距離遠小于地心距且航天器與空間目標軌道均為近圓軌道時,相對運動狀態可用C-W方程表示[18]

(2)

(3)

式中:

(4)

X(t)=Φ(t,t0)X(t0)

(5)

式中:

τ=n(t-t0),s=sin(τ),c=cos(τ)

(6)

1.3 光學測量方程

(7)

由于光學相機測量僅為目標的方向矢量,無距離信息,則測量方程為

(8)

式中:ν∈3為測量噪聲;表示向量的2-范數,值為向量的歐氏模長。

根據式(7)和式(8),可知觀測矩陣為

(9)

由式(8)可知,光學相機僅測量空間目標相對于相機的方向矢量,無距離信息,無法通過單次測量解算出相對位置矢量。為了實現相對導航狀態的完備估計,下面首先進行自主光學相對導航系統可觀測性分析,并在此基礎上研究序列圖像的最優構建方法。

2 序列圖像最優構建

2.1 自主光學相對導航系統可觀測性分析

(10)

此時光學相機測量方程為

(11)

由于光學相機無法測量距離信息,若將t0時刻的相對運動狀態擴大ρ倍,則t時刻的測量為

(12)

z(t)=zρ(t)

(13)

為了使系統滿足可觀測性,并可以實現高精度自主相對導航。從提升系統可觀測能力方面討論如何在現有條件下實現最優估計。首先構建相對導航系統可觀測度指標,后在其指導下星上自主構建序列圖像。

2.2 自主光學相對導航系統幾何特性分析

圖2 相對導航三角構型

根據三角形正弦定理可得

(14)

式中:

(15)

根據式(14),可知兩角度θ和β的關系,令

(16)

式中:

(17)

2.3 序列圖像星上自主構建

由文獻[15]可知,圖2所示的相對導航三角構型影響相對導航的估計精度,下面通過設定可觀測度指標,研究如何調整相對導航三角構型可以得到高精度的相對導航估計結果,即序列圖像如何星上自主構建。

在Kalman濾波框架下實現相對導航狀態的估計,需要利用光學相機的測量值對狀態預測值進行更新。其中狀態預測值可由C-W狀態方程遞推得到,本文主要考慮光學相機測量中序列圖像構建方式對估計精度的影響。

濾波過程中狀態預測值存在預測誤差,光學相機對空間目標進行觀測時存在測量誤差。假設兩誤差均服從正態分布,標準差分別表示為Δθ和Δβ。標準差范圍內,目標相對位置的估計誤差如圖3所示的陰影部分。

圖3 相對位置估計誤差

由于目標與航天器的距離遠遠大于相機安裝偏置長度,則圖3中陰影部分形狀細長。令陰影部分內的點與長對角線l的最遠距離為c,滿足

(18)

易知,

a+b≥c

(19)

同理,由于目標與航天器的距離遠遠大于相機安裝偏置長度,則可近似認為θ+β≈π,此時對角線長度l可近似為

l≈a+b

(20)

進一步地,

(21)

此時以陰影四邊形的長對角線長度l的倒數為可觀測度,即認為當長對角線的長度最小時可觀測度最大。由于角度θ和β存在函數關系,如式(16)所示。則l可以看做角度θ的函數,為了使得對角線長度l最小,需求

θ=argminl(θ)

(22)

長對角線l的長度最小時有

(23)

注1. 相對導航狀態濾波過程中,可以得到軌道系下相對位置預測值的協方差Prr,可參照文獻[19]將位置矢量的誤差轉化為方向矢量的誤差,即可計算圖3所示的平面中的角度標準差Δθ。

2.4 相對導航狀態估計算法

針對式(5)與式(8)組成的自主光學相對導航系統,假設tk時刻的過程噪聲方差為Qk,測量噪聲方差為Rk,狀態協方差矩陣為Pk。上標+和-分別表示變量的估計值和預測值。將tk-1時刻到tk時刻的狀態轉移矩陣用Φk/k-1表示。下面給出狀態濾波算法步驟。

初始化:當k=0時,令

(24)

狀態預測:

(25)

狀態更新:

(26)

計算旋轉軸

(27)

(28)

計算旋轉角度

(29)

故旋轉矩陣對應的四元數為

(30)

(31)

3 仿真校驗

文中設置仿真實驗驗證本文提出的基于可觀測度量化的自主光學相對導航序列圖像最優構建方法。實驗場景選自原型研究儀器與航天技術進步任務(PRISMTA)。以Mango為服務航天器,Tango為非合作目標,自主光學相對導航任務開始時間為2012年5月12日4∶00UTC。軌道根數如表1所示,軌道系下相對軌道與目標距離如圖4所示。

表1 軌道根數

圖4 相對位置軌跡

設置相機安裝偏置位于航天器本體系dB=[1, 1, 1]T處,假設安裝旋轉矩陣可以轉動且已知。根據圖4可知,航天器與目標距離遠遠大于相機安裝偏置長度,依據文中提出的可觀測度指標,仿真得到此相對導航場景下最優的角度θ和角度β。

如圖5所示,角度θ和角度β滿足式(23)中得到的結論。進一步,與20組隨機設置的夾角θ進行對比實驗(服從均勻分布),相對位置估計誤差如圖6所示,相對速度估計誤差如圖7所示。

圖5 最優角度

圖6 位置估計誤差

圖7 速度估計誤差

圖6和圖7中,紅色帶點實線表示本文提出以對角線長度為指標的估計誤差結果。可以看出本文提出序列圖像構建方法優于隨機生成的序列圖像。進一步,分別統計本文提出方法與隨機生成中最優的估計平均絕對誤差(MAE)。

從圖6、圖7以及表2、表3中可以看出,當航天器與目標距離遠遠大于相機安裝偏置長度時,相比于隨機生成的序列圖像,提出的序列圖像構建方法可以使相對導航狀態估計更好地收斂,而隨機生成的序列圖像中甚至存在濾波發散現象。通過仿真實驗驗證了本文提出方法的有效性。

表2 相對位置平均絕對誤差

表3 相對速度平均絕對誤差

4 結 論

本文提出了一種基于可觀測度量化的自主光學相對導航序列圖像最優構建方法,通過量化誤差幾何屬性并以此作為可觀測度指標指導了序列圖像構建方式,最終實現了高精度的自主光學相對導航。通過理論推導和仿真實驗,可以得到以下結論:

1) 系統可觀測度與角度θ相關,可以通過量化系統可觀測度(狀態估計誤差幾何特性)給出最優角度θ的值;

2) 相對于隨機構建的序列圖像方法,本文提出的序列圖像最優構建方法可有效提高自主光學相對導航精度;

3) 本文雖以基于相機安裝偏置的自主光學相對導航為背景,但提出的方法也可應用于通過軌道機動實現自主光學相對導航的方法中。