壓縮感知在口腔醫學圖像重構中的應用

李亞玲，邵 靜

（浙江科技學院 理學院，浙江 杭州 310023）

0 引 言

隨著生活水平的日益改善，口腔健康及美觀度等問題得到民眾廣泛的關注與重視。目前存在的口腔疾病會導致牙缺失、無牙頜、附著齦較窄或缺失等問題，既危害口腔健康，又嚴重影響美觀度。因此，需采取可靠的治療來維持牙齒的完整性和美觀性[1]。為了推進口腔疾病的診斷，實現精準化治療，醫療影像技術已應用至口腔醫學實踐，比如口腔種植植骨技術、牙齒矯正手術等。在患者進行種植修復過程中，首先需要進行術前診斷、評估，充分了解患者種植修復前的口腔狀況，獲得患者口腔牙齒醫學圖像，根據獲得的影像信息了解口腔內軟硬組織輪廓形態，種植區牙槽骨的寬度、高度，確定解剖的結構位置，確定種植體的長度和直徑，才能制定更加完整、細致、精準的修復計劃[2]，從而可以初步模擬手術時的操作，避免正式開展手術時造成不必要的損傷，減輕患者疼痛，有助于提高臨床修復成功率。目前，常見的醫學圖像有CT 圖像、X 射線圖像、正電子放射斷層圖像、核磁共振圖像以及DAS 數字減影圖像等。

為了得到高分辨率的掃描圖像，臨床上通常依據奈奎斯特-香農采樣定理。這就要求醫學影像設備的采樣頻率要達到信號最高頻譜的2 倍以上，才能完全高質量地重建圖像。這意味著，想要精確重構圖像，需要大量的觀測數據，圖像才能被完全重構。現如今，許多兒童和青少年都面臨牙齒健康和牙齒不整齊等問題，家長們極其重視。但是要獲得大量的數據恢復圖像，需要高頻率的采樣，而臨床上大部分醫學影像技術設備都存在輻射，這對兒童、青少年的發育具有一定的影響。為了盡量避免臨床上出現操作低效、放射劑量大、患者體驗差、醫學圖像模糊和不均勻、分辨率低等問題，本文在口腔醫學成像中引入壓縮感知理論，旨在利用原始圖像的少量感知數據進行重構，得到高質量的口腔醫學圖像，以此提升口腔醫學圖像重構的準確度，可輔助進行口腔疾病的早期診斷、病灶的精確定位[3]。

1 壓縮感知

壓縮感知（Compressed Sensing，CS）是由DONOHO，CANDèS，TAO 三人提出的指導信息采集和重構的理論，廣泛適用于許多領域。壓縮感知理論表明，稀疏或近似稀疏信號可以基于少量觀測數據通過求解最優化問題重構原始信號。壓縮感知理論與傳統香農采樣定理的區別在于：傳統的信號獲取技術是基于信號波形的信號獲取技術，一般都需要經過采樣、壓縮兩個步驟[4]（如圖1 所示）；而在壓縮感知指導下，信號的采樣、壓縮合二為一，同步完成[3]（如圖2 所示），這樣，采樣速率免受帶寬的限制，在精確重構原始信號的同時降低了采樣頻率，避免資源浪費，降低成本，提高效率。

圖1 傳統數據的編解碼過程

圖2 壓縮感知理論下數據的編解碼過程

壓縮感知理論主要包括信號稀疏表示、測量矩陣構造以及重構算法[5]。信號的稀疏性是壓縮感知理論的前提條件。從常見的稀疏表示如正（余）弦基、小波基到字典學習，稀疏表示理論已經越來越豐富。重構算法是壓縮感知理論實現的關鍵，根據觀測信號，通過重構算法來恢復原始信號。常用的重構算法有貪婪迭代算法（如匹配追蹤算法（MP）、正交匹配追蹤算法（OMP）等）、凸優化算法（如基追蹤算法（BP）等）以及組合算法等。壓縮感知可以充分有效地運用信息的稀疏性，將采樣和壓縮兩個步驟進行合并來獲取信號[6]，一定程度上降低了傳統采樣所耗費的時間及存儲空間。

為了提高口腔醫學圖像的重構效果，本文結合口腔激光醫學圖像的稀疏性，將壓縮感知理論引入口腔激光醫學圖像的重構中，選擇適當的圖像重構算法，對口醫學圖像進行去噪，使得重構后的口腔醫學圖像分辨率高，抗噪聲性能強，細節保留較完整，獲得高質量口腔醫學圖像，為口腔疾病的診斷、精準化治療提供保障。

1.1 稀疏表示

所謂稀疏表示，指的是用較少的基本信號的線性組合來表示原始信號的大部分或者全部信息[7]。稀疏表示概念發展已久。1959 年，HUBEL和WIESEL 在觀察哺乳動物主視皮層V1 區神經元感受野的反應時發現，其中視覺信息的記錄方法是一種“稀疏表示”[8]。后來，許多研究人員在這個思路的引領下，不斷將其應用于各個領域，如神經網絡、圖像處理、信號處理等。稀疏表示有兩個基礎的定義。

（1）稀疏向量。假設向量x={x1,x2,…,xN}中的絕大部分元素為零元素，則稱此向量為稀疏向量。

（2）稀疏表示[8-9]。假設RN空間中的任何一個信號都可以通過P個N維基向量進行線性表出。若此時基向量之間是正交的，則所有的基向量組成了一個基矩陣Φ=[φ1,φ2,…,φP]，這個矩陣被稱為字典。離散信號x為N×1 的列向量，都可以用RN中的N維列向量表示，從而通過基矩陣表示為

式中：Φ稱為變換矩陣；s表示信號x在基矩陣上面的投影，稱為變換系數，是一個P維的列向量。當向量s存在非零值的個數K遠遠小于向量的維度P，則稱s是稀疏的，并且s在域內K稀疏。當P>N，意味著s有無窮多個解，若要得到唯一解，則需要增加限制條件[8]。所以，稀疏表示的重心是在某種基（字典）下系數稀疏，而這些基（字典）與圖像本身關系密切，也就是這些圖像的基本信息。因此，在稀疏表示中，將字典視為一種變換域，在變換過程中保持變換系數是稀疏的，用數學式子可表示為[10]

若存在00 且滿足式（2），則認為s在某種意義上是稀疏的。

若式（1）中只有少量的系數是較大值，而其他系數都很小，則稱該信號是可壓縮信號。

求解式（1）問題，可轉化為求解l0范數的最小優化問題，即：

一般情況下，壓縮感知的線性過程為y=Ψx，將式（1）代入[11]可得

式中：Ψ為M×N測量矩陣，y為M維觀測數據（觀測值），是在采樣時由原始信號x壓縮獲得。因此，可知觀測值y獲取了原始信號x的大量信息，同時Γ=ΨΦ是M×P的傳感矩陣。

式（2）可以視為向量s的lp范數。當式（2）中p為1 的時候，求解問題（4）可轉變為l1范數的最小化問題，即：

選取適當的稀疏表達方式，可以對所收集的口腔醫學圖像進行變換。經典的方法如小波變換，但是由于它本身的不足，重建效果可能不是很理想。因此，需要針對收集到口腔醫學圖像，進行特定的稀疏化。

1.2 測量矩陣

壓縮感知理論是否能成功實現，關鍵在于測量矩陣。測量矩陣起到承上啟下的作用。若要重建原始信號，壓縮后的信號需要包含所有重要的原始信息，這樣信號才能被準確地恢復。本節將介紹測量矩陣的相關性質以及測量矩陣的構造。

1.2.1 相關性質

限制等距性質（Restricted Isometry Property，RIP）和互相干性是測量矩陣性能好壞的決定性因素。若要對信號進行唯一性的重構，測量矩陣必須滿足這兩個性質，同時，也可以用盡量少的觀測信號恢復出原始信號。

1.2.1.1 限制等距性質（RIP）

RIP 性質即限制等距性質（Restricted Isometry Property，RIP）。當測量值中包含噪聲，若要唯一地恢復出稀疏信號，需要對矩陣引入更嚴格的限制，從而引入RIP 性質。

若存在常數δK∈(0,1)，使得

對任意K稀疏向量成立，則認為該矩陣滿足了K階RIP 性質，最小的δK稱為等距限制常數[12]。可以將RIP 性質看成一個矩陣中K列組成的子矩陣與正交矩陣的相似度。

1.2.1.2 互相干性

如果將RIP 性質看作是矩陣中K列組成子矩陣的正交程度，那么互相干性則表示測量矩陣列與列之間的關聯度，定義如下：

式中：0 ≤μ≤1。當測量矩陣列之間兩兩都正交，此時μ=0。

1.2.2 矩陣構造

測量矩陣的一般形式為

測量矩陣分為隨機性測量矩陣和確定性測量矩陣。其中，隨機性測量矩陣有高斯隨機矩陣、隨機伯努利矩陣、傅里葉矩陣及局部傅里葉矩陣等。此類矩陣能很好地滿足RIP 性質，因此在實際中應用非常廣泛。比如，高斯隨機矩陣滿足矩陣內元素是期望為0、方差為的獨立隨機變量；確定性測量矩陣有循環矩陣、托普利茲測矩陣等。

面對不同的口腔醫學圖像，需要挑選合適的測量矩陣，從而為后續的圖像重構奠定基礎。

1.3 重構算法

重構算法是壓縮感知中恢復原始信號的重要步驟，保證了壓縮感知模型的求解。重構算法多種多樣，需要考慮到測量噪聲、少量測量值以及圖像重構的穩定性等因素。由于不同的重構算法在重構信號的精度、運算時間以及穩定程度存在差異，因此需要選擇合適的重構算法恢復信號[13]。目前比較典型的信號重構算法主要有基追蹤算法[14]、貪婪算法及迭代硬閾值算法等。

基追蹤（Basis Pursuit，BP）算法是將求解l0極小問題轉化為求解l1極小問題，表示為

也可寫成分析基追蹤（ABP）模型：

求解l1極小問題是一種凸優化求解，引入正則化參數λ，等價轉化為求解線性規劃問題，即：

即求解下列分析LASSO 模型（ALASSO）：

BP 算法對測量矩陣的要求非常高，同時也沒有強的多項式進行約束或運行時間上的線性約束。如果在高尺度上存在低尺度信號，那么此類方法并不是時間最優的重構信號算法[15]。

為優化BP 算法的重構速度，研究者提出了貪婪算法，如匹配追蹤算法（Matching Pursuit，MP）、正交匹配追蹤算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）等[16]。匹配追蹤算法的核心是通過不斷的迭代逐步逼近待重構的稀疏信號的支集[13]。迭代過程中，找到與原始信號最匹配的原子，從而得到原始信號的稀疏逼近，不斷求解殘差，更新殘差，直至達到某個指定的停止準則，退出迭代并給出最為匹配的原子。由于MP 算法中信號在原子集上并非正交投影，導致每次迭代結果并不是最優的并且迭代收斂比較緩慢，從而導致迭代時間較長[17]。

為解決MP 算法重構時間較長的問題，正交匹配追蹤算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）被提出。此方法仍然利用MP 算法中的原子選擇的迭代方式，不同的是，為確保每次迭代都是最優的，對每次迭代得到的原子通過正交化處理，從而在保證精度的同時，使得迭代次數降低，圖像信號重構時間縮短。OMP 算法實現信號重構的步驟如下。

假設原始信號x是K稀疏的。

輸入：觀測矩陣Ψ，觀測值y，稀疏度K。

Step1：對數據進行初始化。令初始值殘差r0=y，索引集Λ0=?，初始迭代數k=0。

Step2：找出殘差r與觀測矩陣的列向量ψj內積中的最大值所對應的腳標λk，即

Step3：不斷更新索引集。更新后的索引集為Λk=Λk-1∪{λk}。記錄尋找得到的原子集合Ψk=[Ψk-1,]。

Step4：利用最小二乘法計算信號x稀疏逼近的估計值

Step5：更新殘差，得到新的殘差為

并且，迭代次數增加一次，即k=k+1。

Step6：當迭代次數大于信號稀疏度K時，停止迭代；若不滿足，則返回Step2 繼續進行迭代。

信號重構是構建高質量圖像的關鍵。因此，應用圖像重構的客觀評價指標進行判定，可以在一定程度上提高重構算法構建圖像的成功率。信號重構質量評價（IQA）是檢測信號重構質量效果的常用指標，其中評價度量指標包括均方誤差（Mean Square Error，MSE）、信噪比（Signal-to-Noise Ratio，SNR）、峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）、結構相似性（Structural Similarity，SSIM）等指標。峰值信噪比（PSNR）越大，意味著圖像信號重構的質量越優，此信號重構指標廣泛應用于重構質量的評價標準[18]。以下將介紹這些度量指標的數學表達方式，具體可見文獻[18]。

設原始信號為X，重構得到的信號為Y，其中信號的大小均為N=m×n，因此得到均方誤差：

信噪比：

峰值信噪比：

式中：n表示每個采樣值的比特數，峰值信噪比的單位為dB。

結構相似性：

式中：μX和σX代表均值與標準差，μY和σY表示重構圖像的均值與標準差，C1，C2則為避免計算溢出的常數。

由上可以總結，在壓縮感知理論指導下，為了能得到高質量的口腔醫學圖像，需先將原始圖像信號進行稀疏表示，利用壓縮的測量矩陣對變換系數進行采樣，再從眾多的重構算法中選擇相對合適的算法，經過重構算法重建以及稀疏表示的逆變換，得到重構后的口腔醫學圖像信號，最后利用圖像重構的客觀評價指標去檢驗重構后的口腔醫學圖像信號的重構質量效果。

2 結 語

從2006 年開始研究發展至今，壓縮感知理論不斷完善，不僅在信號采樣處理方面有了進步，而且在其他相關領域應用廣泛。但不可忽視的是，壓縮感知理論仍然不具有普遍性，比如在面對一些非結構信號如隨機信號和噪聲信號時，壓縮感知理論并不能適用，存在一定的局限性。

盡管在某些場合此理論并不能運用，但是壓縮理論依舊蓬勃發展，對電子工程、地質勘探、圖像處理、醫學等領域具有重要的影響。將此理論應用于醫學圖像中，尤其是口腔醫學圖像中，可以將不清晰的口腔醫學圖像通過稀疏圖像信號、測量矩陣采樣信號、算法重構信號，得到分辨率高的口腔醫學圖像，這樣可以避免傳統的先采樣再壓縮造成的資源浪費，而且重構算法在一定程度上抗噪聲干擾性強，計算量小，速度快，效率高。這為口腔疾病的早期精確診斷、病灶的精確定位、精準化治療提供了堅實的理論基礎。