基于閉環耦合度的大系統常規PID控制回路的投用規則

許鋒　黃佳宇　任杰　羅雄麟

摘 要 化工過程全流程為具有高維輸入輸出的多變量大系統，內部存在一定程度的耦合作用，因此其底層常規PID控制系統的設計、投用和整定也必然與整個系統的耦合程度有關。首先，提出了閉環相對增益和耦合度的概念，分析閉環相對增益在理想控制條件下與開環相對增益的等效性，發現閉環控制回路的反饋作用引起操縱變量和被控變量的關聯，由此加劇整個系統的耦合程度，因此閉環控制回路并非投用得越多越好。然后，提出了基于閉環耦合度的化工過程大系統常規PID控制回路的投用規則，根據被控過程開環相對增益陣確定控制回路變量配對和投用順序，依次投用各控制回路并計算控制回路的耦合度，當耦合度超過閾值時停止剩余控制回路的投用。最后，以典型多變量TE過程為例驗證了該投用規則的有效性。

關鍵詞 過程控制 PID控制 多變量系統 關聯分析 控制回路配對 閉環相對增益 耦合度

中圖分類號 TP273? ?文獻標識碼 A? ?文章編號 1000?3932（2023）02?0142?10

化工過程一般為復雜大型工業過程，被控對象一般為多變量系統，即存在著多個被控變量和多個操縱變量。與單變量系統相比，多變量系統的輸入變量和輸出變量之間一般存在一定程度的耦合，給控制系統設計造成了相當大的困難。當然，對于多變量系統，設計一個包含所有被控變量和操縱變量的大型集中控制系統是最為理想的，但這樣的控制設計方案復雜，難以實現，不易維護，可靠性差。因此，考慮到底層控制系統安全可靠的要求，工業現場的底層控制系統仍然主要采用常規分散PID控制，即將多變量系統分解為多個單變量子系統，分別設計PID控制回路，組成分散的多回路PID控制系統。

在進行多回路PID控制系統設計時，在備選的操縱變量和被控變量確定后，首先進行控制系統的結構設計，即確定操縱變量和被控變量的控制回路配對，然后進行PID控制系統參數設計，將PID控制回路視為單變量系統，整定PID控制參數。

由于多變量系統的輸入變量和輸出變量之間存在著相互耦合作用，控制系統結構設計應使控制回路間的耦合作用盡可能小。為此，BRISTOL E H提出了相對增益陣（Relative Gain Array，RGA）［1］，WANG S和MUNRO N將其推廣到高維系統［2］。在RGA中應當盡可能選擇大于零且接近于1的元素對應的輸入輸出配對，即可保證控制回路之間的耦合最小化。為保證閉環控制系統穩定性，NIEDERLINSKI A提出了尼德林斯基指數（Niederlinski Index，NI），與RGA配合使用，篩選不合適的控制回路配對［3］。GROSDLDLER P等進一步給出了RGA和NI閉環穩定性的證明［4］。

由于RGA只是利用系統的穩態信息，忽略了系統的動態特性，因此學者們在此基礎上提出了各種基于動態信息的改進方法。RGA的動態改進方法大體可以分為：基于開環階躍響應的時域RGA［5～8］、基于頻率特性的頻域RGA［9～11］、基于最優閉環控制器的動態RGA［12～14］、穩態信息與動態信息相結合的組合RGA［15～20］。以上改進方法中，基于開環階躍響應的時域RGA和穩態信息與動態信息相結合的組合RGA計算比較簡單，但不能解決開環不穩定系統的控制回路配對問題；基于頻率特性的頻域RGA和基于最優閉環控制器的動態RGA能夠處理開環不穩定系統，但前者需要對頻域積分，計算量較大，后者配對結果依賴于閉環控制器的性能，需要對閉環控制器進行最優參數整定，這極大地限制了該方法的應用。

此外，CHEN D和SEBORG D E［21］、KARIWALA V等［22］、MOAVENI B和KHAKI?SEDIGH A［23］將RGA推廣到了不確定多變量系統中，YU C C和LUYBEN W L利用RGA對系統的魯棒性進行了分析［24］。CHANG J W和YU C C將RGA推廣到非方系統中得到非方相對增益（non?square relative gain array，NRGA）［25］，SKOGESTAD S和POSTLETHWAITE I總結了NRGA的性質［26］。

雖然RGA方法排除了可能引起不穩定的控制回路配對，在一定程度上解決了常規控制回路配對問題。但是在進行常規控制系統結構設計時，控制工程師傾向于將所有備選的操縱變量和被控變量盡可能進行配對，只要某個被控變量具有大于零的RGA元素，總是希望將該被控變量與對應的操縱變量進行配對。然而，對于基于單變量系統的分散常規PID控制，由于本身控制性能的限制，控制回路并非投用越多越好。例如，對于典型精餾塔，眾所周知，由于塔頂溫度與塔底溫度存在比較嚴重的耦合，當采用常規PID控制器時，塔頂溫度和塔底溫度是無法同時進行控制的，當塔頂溫度與冷回流量組成控制回路時，塔底溫度就不能作為被控變量了。因此，在使用RGA方法進行常規控制系統結構設計時，不宜貪大求全，應對備選的被控變量與操縱變量有所取舍，進行必要的控制回路配對。

此外，雖然RGA方法能夠給出常規控制回路配對方案，但是工業現場并不是將這些常規PID控制回路一次性全部投用，而是逐個投用，這就要求控制工程師能夠確定各個常規PID控制回路的投用順序。而且，當某一個控制回路投用自動以后，閉環控制回路的反饋作用引起操縱變量和被控變量的關聯，改變了原有的被控系統，可能加劇整個系統的耦合程度，后續控制回路能否繼續投用，需要通過對當前系統耦合程度的在線分析來做出決定。

針對以上問題，筆者提出常規PID控制回路的閉環相對增益和耦合度的概念，用于對當前系統條件下控制回路耦合程度的在線評價。在此基礎上提出基于閉環耦合度的化工過程大系統的常規PID控制回路的投用規則，根據多變量被控過程的開環相對增益陣確定控制回路的變量配對和投用順序，然后依次投用各控制回路并計算控制回路的耦合度，當耦合度超過閾值時停止剩余控制回路的投用。解決了常規控制回路的變量配對和投用順序問題，同時避免了非必需控制回路的投用加劇系統耦合的問題。

與RGA相似，利用REGA進行分散常規PID控制系統設計時，選擇配對方案應遵照以下規則：

a. 所有被選擇配對的REGA元素必須是正數；

b. 被選擇配對的REGA元素必須接近于1；

c. 太大的REGA元素應避免選擇配對。

根據REGA進行控制回路配對并給出控制回路投用順序，選用規則為：

a. 選擇REGA中最接近于1的元素對應輸入輸出組成控制回路，確定為首先投用的控制回路；

b. 去掉REGA中完成配對的行與列，在剩余元素中選擇REGA中最接近于1的元素對應輸入輸出組成控制回路，并且確定為下一個依次投用的控制回路；

c. 返回規則b。

2.2 基于閉環相對能量增益的耦合度在線計算

與開環相對能量增益類似，綜合考慮給定值對控制器輸出的穩態信息和動態信息，閉環相對增益也采用能量增益的形式。

首先，得到給定值y對控制器輸出u的穩態增益k。

然后，計算給定值y對控制器輸出u的能量消耗E。

控制回路投用順序確定以后，依次閉環各控制回路并整定PID控制器參數。每次閉環一個控制回路后，先將之前閉環的控制回路都投手動，對本控制回路給定值施加單位階躍，測量控制器輸出響應；再將之前閉環的控制回路都投自動，對本控制回路給定值施加單位階躍，測量控制器輸出響應。其他回路閉環的給定值對控制器輸出的閉環能量增益與其他回路開環的給定值對控制器輸出的閉環能量增益之比即為閉環相對能量增益，進而求出耦合度。

2.3 投用規則

控制回路的投用規則制定如下：

a. 根據被控過程的傳遞函數矩陣求取系統的開環REGA，根據開環REGA中各元素與1相接近的程度獲得控制回路配對以及控制回路投用的順序。

b. 閉環第1個控制回路，整定本控制回路的PID控制器參數，由于目前沒有其他回路投用，本回路的耦合度為0。

c. 閉環第i個控制回路，整定本控制回路的PID控制器參數，然后分別將之前投用的控制回路開環和閉環，對本控制回路給定值施加單位階躍，測量控制器輸出響應，計算本控制回路的閉環相對能量增益，進而求出耦合度。

d. 如果第i個控制回路耦合度小于0.4，繼續投用第i+1個控制回路，i=i+1，返回規則c；否則，停止繼續投用控制回路，第i個控制回路開環，只保留之前的i-1個控制回路閉環。

對于無法投用的控制回路，可以將其設置手動控制，不納入控制系統投用率的計算，從而能夠提高整個控制系統的投用率；也可以設置為備用控制回路，因為整個系統是在不斷動態變化之中，如果工藝條件的變化引起系統工作點變化，被控對象的傳遞函數矩陣也會發生變化，對應的控制系統也應隨之改變，包括控制參數甚至控制結構，原來無法投用的控制回路可能會適宜投用，因此保留備用的控制回路提高控制系統的冗余度也是合理的。

3 實例分析

現以TE過程（Tennessee Eastman Process）為例，驗證基于閉環耦合度的大系統常規PID控制回路投用規則的有效性。TE系統是一個對于實際化工過程的仿真模擬，它是由美國Tennessee Eastman公司的一個控制工程師小組提出的，TE過程模型主要被用于多變量控制方案的設計和優化。

在本例中，將TE過程轉換成為多變量系統，共有12個被控變量和12個操縱變量，是一個典型的大型化工過程。TE過程系統的各操縱變量和被控變量列于表1，傳遞函數參見文獻［27］。

首先要做的是根據被控過程的傳遞函數矩陣求取TE系統的REGA，根據REGA中各元素與1接近的程度獲得控制回路配對以及控制回路投用的順序，具體為：

根據以上控制回路投用的順序將上述控制回路逐個投用，仿真如下：

a. 閉環y～u控制回路，整定該回路的PID控制器參數，進行給定值單位階躍響應測試，仿真曲線如圖1所示，輸出穩定于給定值。由于目前沒有其他回路投用，本回路的耦合度為0。

b. 閉環y～u控制回路，整定該回路的PID控制器參數。此時y～u、y～u總共兩條控制回路閉環，進行給定值單位階躍響應測試，仿真曲線如圖2所示，輸出穩定于給定值。在y～u控制回路閉環時，分別將其他控制回路開環和閉環，然后對

y～u控制回路給定值施加單位階躍，測量控制器輸出響應，計算y～u控制回路的閉環相對能量增益，得到y～u控制回路的耦合度為0.040 9。耦合度小于0.4，可以繼續投用控制回路。

c. 閉環y～u控制回路，整定該回路的PID控制器參數。此時y～u、y～u、y～u總共3條控制回路閉環，進行給定值單位階躍響應測試，仿真曲線如圖3所示，輸出最終能穩定于給定值。在y～u控制回路閉環時，分別將其他控制回路開環和閉環，然后對y～u控制回路給定值施加單位階躍，測量控制器輸出響應，計算y～u控制回路的閉環相對能量增益，得到y～u控制回路的耦合度為0.227 9。耦合度顯著上升，從圖3可以看出，控制效果明顯變差，這是控制回路閉環引起系統的整體耦合程度提高引起的。耦合度小于0.4，可以繼續投用控制回路。

d. 閉環y～u控制回路，整定該回路的PID控制器參數。此時y～u、y～u、y～u、y～u總共4條控制回路閉環，進行給定值單位階躍響應測試，仿真曲線如圖4所示，輸出最終能穩定于給定值。在y～u控制回路閉環時，分別將其他控制回路開環和閉環，然后對y～u控制回路給定值施加單位階躍，測量控制器輸出響應，計算y～u控制回路的閉環相對能量增益，得到y～u控制回路的耦合度為0.230 0。耦合度小于0.4，可以繼續投用控制回路。

e. 閉環y～u控制回路，整定該回路的PID控制器參數。此時y～u、y～u11、y～u、y～u、y～u總共5條控制回路閉環，進行給定值單位階躍響應測試，仿真曲線如圖5所示，輸出最終能穩定于給定值。在y～u控制回路閉環時，分別將其他控制回路開環和閉環，然后對y～u控制回路給定值施加單位階躍，測量控制器輸出響應，計算y～u控制回路的閉環相對能量增益，得到y～u控制回路的耦合度為0.298 8。耦合度小于0.4，可以繼續投用控制回路。

f. 閉環y～u控制回路，整定該回路的PID控制器參數。此時y～u、y～u、y～u、y～u、y～u、

y～u總共6條控制回路閉環，進行給定值單位階躍響應測試，仿真曲線如圖6所示，輸出最終能穩定于給定值。在y～u控制回路閉環時，分別將其他控制回路開環和閉環，然后對y～u控制回路給定值施加單位階躍，測量控制器輸出響應，計算

y～u控制回路的閉環相對能量增益，得到y～u控制回路的耦合度為0.323 2。耦合度上升，從圖6可以看出控制效果又變差了，但耦合度小于0.4，可以繼續投用控制回路。

g. 閉環y～u控制回路，整定該回路的PID控制器參數。此時y～u、y～u、y～u、y～u、y～u、

y～u、y～u總共7條控制回路閉環，進行給定值單位階躍響應測試，仿真曲線如圖7所示，輸出最終能穩定于給定值。在y～u控制回路閉環時，分別將其他控制回路開環和閉環，然后對y～u控制回路給定值施加單位階躍，測量控制器輸出響應，計算y～u控制回路的閉環相對能量增益，得到y～

u控制回路的耦合度為0.362 7。耦合度上升，從圖7可以看出控制效果進一步惡化，但耦合度小于0.4，可以繼續投用控制回路。

h. 閉環y～u控制回路，整定該回路的PID控制器參數。此時y～u、y～u、y～u、y～u、y～u、

y～u、y～u、y～u總共8條控制回路閉環，進行給定值單位階躍響應測試，仿真曲線如圖8所示，輸出最終能穩定于給定值。在y～u控制回路閉環

時，分別將其他控制回路開環和閉環，然后對y～u控制回路給定值施加單位階躍，測量控制器輸出響應，計算y～u控制回路的閉環相對能量增益，得到y～u控制回路的耦合度為0.371 5。耦合度小于0.4，可以繼續投用控制回路。

4 結論

4.1 用常規PID控制回路的閉環相對增益和耦合度用于對當前控制回路耦合程度的在線評價，發現閉環控制回路的反饋作用會加劇整個系統的耦合程度，因此閉環控制回路并非投用越多越好。

4.2 提出基于閉環耦合度的化工過程大系統常規PID控制回路的投用規則，根據開環相對增益陣確定控制回路變量配對和投用順序，依次投用各控制回路并計算控制回路的耦合度，根據當前的控制回路耦合度決定是否繼續投用，避免非必需的控制回路反而降低控制系統的性能。

4.3 整個系統是在不斷動態變化之中，大到工藝條件的變化，小到1個控制回路的投用，都對整個系統可能產生不可忽視的影響，因此與之對應的控制系統也不應當是一成不變的。在設計和投用控制系統時，不能把目光局限于局部的個別回路，而應把握整個系統，正所謂“不謀全局者，不足謀一域”，單個控制回路的控制性能太好引起強耦合可能會導致其他控制回路無法投用，適當降低個別控制回路的性能要求并進行松弛整定，可能會投用更多的控制回路，改善整個系統的控制性能?；蛘咴谡≒ID控制參數時對整個系統所有控制回路進行同步優化，對各控制回路的控制要求進行整體協調，就有可能投用更多控制回路，提高整個系統的控制性能。

參 考 文 獻

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（收稿日期：2022-11-01，修回日期：2022-12-21）

PID Control Loop Putting?in?service Rules for Large SystemBased on Closed?loop Coupling Degree

XU Feng， HUANG Jia?yu， REN Jie， LUO Xiong?lin

（College of Information Science and Engineering， China University of Petroleum（Beijing））

Abstract? ?Considering the fact that chemical plant?wide process is a multivariable large?scale system with high?dimensional inputs and outputs and certain internal interaction exists there； the design， putting?in?service and setting of the underlying PID control system involves the degree of coupling of the whole system. Firstly， the concept of closed?loop relative gain and coupling degree was put forward to analyze equivalence of the closed?loop relative gain under ideal control. The results show that， the feedback of closed control loop can cause the interaction between controlled variable and manipulated variable and aggravate the coupling degree of the whole system， and it is not better that more PID control loops are put into service. Secondly， the sequential putting?in?service rules of PID control loops were proposed based on closed?loop coupling degree for large?scale chemical process， including having the open?loop relative gain array of controlled process based to determine variable pairing and putting?in?service sequence of PID control loops and having each PID control loop put into service in sequence and the coupling degree calculated for each PID control loop. When the coupling degree exceeds the threshold value， the remaining PID control loops will be suspended. Finally， a typical multivariable large?scale system （Tennessee Eastman process） was taken as an example to verify the putting?in?service rules effectiveness of the PID control loop.

Key words? ? process control， PID control， multivariable system， interaction analysis， control loop pairing， closed?loop relative gain， coupling degree

基金項目：國家自然科學基金項目（21676295）。

作者簡介：許鋒（1976-），副教授，從事過程控制與系統工程方面的研究，xufeng@cup.edu.cn。

引用本文：許鋒，黃佳宇，任杰，等.基于閉環耦合度的大系統常規PID控制回路的投用規則［J］.化工自動化及儀表，2023，50（2）：142-151.