怎樣利用面積法求解線段問題

蔣弟弟

面積法是利用面積相等或成比例關系，利用面積與邊、角之間的關系來解題的一種方法.它能夠把兩個表面看起來沒有任何關系的變量關聯在一起.在面對一些無從下手的線段問題時，同學們若能挖掘相關幾何量與所涉及的圖形的面積的內在聯系，則可以收到意想不到的效果.

一、利用面積法，證明線段相等

圖形的面積公式都是用含有線段的代數式來表示的，因此面積與線段之間可以互相轉換.利用面積法證明兩條線段相等，即通過證明兩個三角形面積相等，然后借助三角形面積公式推導出兩條線段相等.

例 1如圖 1 所示，已知 D 是△ABC 內∠ABC 的平分線上的一點，作 AE ∥ DC 交 BC 的延長線于點 E ，作 CF ∥ AD交 BA 的延長線于點 F ，AE、CF 相交于點 G .求證：AF = CE.

分析：若按照常規思路證明 AF = CE，需證明兩個三角形全等，顯然全等的證明條件不充分.由于已知圖形中出現兩組平行線，這樣容易出現等面積的三角形，因此不妨考慮利用面積法解題.

證明：

評注：本題借助等面積變換證明了 S△ADF= S △CDE，而這兩個三角形的高 DH =DK，這樣根據三角形的面積公式，即可證明它們的底邊 AF = CE，目標得證.

二、利用面積法，證明線段成比例

我們常利用相似三角形對應邊成比例來證明線段成比例.但當待證的線段在兩個三角形中，又很難用三角形相似來證明時，我們可以觀察這兩個三角形是否在某一邊上的高（底）相等，然后利用兩個等底（高）的三角形的面積之比等于它們對應高（底）之比來證明線段成比例.

例2如圖2所示，已知在△ABC 中，BM平分∠ABC.求證：MC（AM）= BC（BA）.

分析：

證明：

評注：利用面積法證明線段成比例，實際上就是借助面積公式來實現比例式的轉化. 本題根據三角形面積公式，得到 S△BAM S△BCM = BA BC ，再根據等底（高）的兩個三角形面積比等于高（底）的比，得到 S△BAM S△BCM = AM MC ，進而得到所要求證的目標比例式.

三、利用面積法，求線段的長度

利用面積法求線段的長度，一般根據題意采用兩種解題思路：一是若題目已知圖形的面積，可直接利用面積公式構建關于所求目標線段的關系式；二是若幾個圖形之間存在等面積關系，則可以利用等面積法構建線段之間的關系式.最后通過求圖形的高或底邊長，求出目標線段的長度.

例3

分析：

證明：

評注：本題根據“S△MQP+S△NQO+S△PQO=S 四邊形MNPO” 這一面積關系，建立起已知線段與待求線段之間的關系式，從而求出 QR 的長度.該解法簡捷、巧妙.

總之，面積法是解答平面幾何問題的重要方法之一，在解答線段問題中的應用相當廣泛.除了上述提及的三種應用情況外，還可以利用面積法求解線段之和、線段的比值等問題.同學們應靈活運用所學知識以及掌握的解題方法，提升解題效率.