運用“解直角三角形”知識解答實際問題的三種類型

陳永安

解直角三角形在實際生活問題中的應用十分廣泛，主要應用于測量距離、度量尺寸、測高或測角等方面.解答這類應用問題的一般步驟是：（1）弄清題中名詞術語的意義，然后根據題意畫出幾何圖形，建立數學模型；（2）將實際問題中的數量關系歸結為直角三角形中元素之間的關系，當有些圖形不是直角三角形時，可添加適當的輔助線，把它們分割成直角三角形；（3）尋求基礎直角三角形，并解這個三角形或設未知數進行求解.本文就三類解直角三角形的應用問題舉例說明.

一、仰角與俯角問題

初中階段的“俯角與仰角”問題主要是測量問題，如圖1，其中的仰角是指從下向上看時，水平線與視線的夾角；俯角是指視線從上往下看時，水平線與視線的夾角.在空間導航、航空航天、地理測量等領域中，仰角和俯角的應用非常廣泛.解答此類問題時往往要用到解直角三角形的知識點與“轉化”思想.

例1

解：

點評：解答仰角俯角問題要了解角之間的關系，找到與已知和未知相關聯的直角三角形.當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構造直角三角形.同時，要善于讀懂題意，把實際問題轉化為直角三角形中的邊角關系問題加以解決．

二、方向角問題

方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向，旋轉到目標的方向線所成的角，一般表示為北（或南）偏東（或西）多少度，可借助十字坐標幫助理解，如圖4.在實際生活中，方位角可以用來確定物體的位置；在示意圖中，通過方位角確定幾個物體的位置后，可以量出它們之間的距離，進而算出物體之間的實際距離.在解答有關方向角的問題中，一般要根據題意理清圖形中各角的關系.有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，就需要用到等角轉化為所需要的角．

例2

解：

點評：本題考查了方向角問題以及勾股定理.解題的關鍵是通過作輔助線構造直角三角形，應用三角函數的定義來解決問題.

三、坡度、坡角問題

坡度、坡角問題，涉及的知識點有：①坡角，如圖7，坡角指坡面與水平面的夾角，記作 α.②坡度，坡面的鉛垂高度 h 與水平長度 l 的比，是坡面的坡度，記作 i ，即 i = h l ，一般情況下坡度要寫成 1：n 的形式，如 1：2.③坡度與坡角的關系為：坡度是坡角的正切值，即 i = h l = tan α . 坡度和坡角是兩個相關概念.坡角越大，坡度也越大，坡面就越陡，因此常被用來衡量地勢的陡峭程度、山坡的高度以及河流的坡度.

例3

解：

點評：掌握坡度的概念和銳角三角函數的定義，熟記特殊角的三角函數值是解題的關鍵．