如何求分式方程中參數的值

葉春甜

在學習分式方程時，我們會遇到分子含有參數，要求分式方程中參數的值的問題.解答這類問題的基本思路是把分式方程轉化為整式方程.但在解答過程中，若對含參數分式方程的解的情況分析不當，極易導致錯誤.對此，筆者針對如下幾種情況，探討了如何求分式方程中參數的值.

一、已知分式方程有增根，求參數的值

分式方程出現增根的原因是在去分母的過程中，方程兩邊同時乘以了一個可能使最簡公分母為0的整式，致使未知數的取值范圍發生了變化.因此，在求分式方程中參數的值時，若已知分式方程有增根，同學們要注意如下兩點：一是準確去分母，把分式方程轉化為整式方程；二是令最簡公分母為零，求出其增根，再把增根代入所得的整式方程中，求出參數的值.

例1

解：

評注：分式方程的增根，既是分式方程去分母后所得整式方程的根，也是使分式方程最簡公分母為零的未知數的值.所以，令分式方程最簡公分母為零，是破解分式方程有增根問題的重要突破口.

二、已知分式方程無解，求參數的值

分式方程無解主要包括兩種情況：一是原分式方程去分母整理后得到的整式方程沒有解，故而原分式方程無解；二是原分式方程去分母整理后所得到的整式方程有解，但該解為原分式方程的增根，從而導致原分式方程無解.所以，在求分式方程參數的值時，若已知分式方程無解，同學們要注意對整式方程無解、整式方程有解但該解為原分式方程的增根這兩種情況進行分類討論.

例2

解：

評注：在解答分式方程無解問題時，若分式方程去分母后所得的整式方程可以化為 ax = b（b ≠0）的形式時，要注意分 a =0和 a ≠0兩種情況進行討論.當 a =0時，整式方程無解，此時原分式方程也無解；當 a≠0時，整式方程有解 x= ，此解為原分式方程的增根，此時原分式方程無解.

三、已知分式方程有解，求參數的值

分式方程有解主要指分式方程的解是正數、負數、非正數、非負數等.在求分式方程中參數的值時，若已知分式方程有解，同學們要注意如下兩點：一是認真審讀題目，弄清題設中解的情況，即明確該解是正數，還是負數等；二是參數的取值要使分式有意義，即分式方程的分母不能為零.

例3

評注：求分式方程參數的取值范圍，一般先去分母，化分式方程為整式方程；然后用含參數的代數式把分式方程的解表示出來，再由分式方程中解的條件（正數、負數等），將其轉化為不等式問題.在這一過程中，同學們特別要注意分式方程有解的隱含條件：分母不能為零.

總之，分式方程中參數的值或取值范圍與分式方程的增根、無解、有解息息相關.在平時做題時，同學們要仔細審題，把握已知條件，尤其是隱含條件，并注意結合具體情況展開分類討論，及時檢驗和修正，從而規避漏解、多解以及錯解，提高解題的準確性.