例談證明兩條直線平行的常用方法

姚菁菁

在學習分式方程時，我們會遇到分子含有參數，要求分式方程中參數的值的問題.解答這類問題的基本思路是把分式方程轉化為整式方程.但在解答過程中，若對含參數分式方程的解的情況分析不當，極易導致錯誤.對此，筆者針對如下幾種情況，探討了如何求分式方程中參數的值.

一、已知分式方程有增根，求參數的值

分式方程出現增根的原因是在去分母的過程中，方程兩邊同時乘以了一個可能使最簡公分母為 0 的整式，致使未知數的取值范圍發生了變化.因此，在求分式方程中參數的值時，若已知分式方程有增根，同學們要注意如下兩點：一是準確去分母，把分式方程轉化為整式方程；二是令最簡公分母為零，求出其增根，再把增根代入所得的整式方程中，求出參數的值.

例1

分析：

證明：

評注：在證明兩條直線平行時，同學們要注意借助平行線的判定定理，證明這兩條直線被第三條直線所截成的同位角、內錯角相等，或者同旁內角互補.

二、利用“三角形或梯形的中位線定理”

由三角形或梯形的中位線定理可知，三角形的中位線平行于第三邊（不與中位線接觸），并且等于第三邊的一半，梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.因此，在證明兩條直線平行時，若題目涉及中點，同學們要注意構造中位線，利用三角形或梯形的中位線定理進行求證.

例2

分析：

證明：

評注：三角形或梯形中位線定理反映了圖形間線段的位置關系和數量關系.因此，當問題涉及三角形或梯形的中點時，同學們要注意考慮三角形或梯形的中位線，利用三角形或梯形的中位線定理來破解問題.

三、利用“平行四邊形對邊平行”的性質

對邊平行且相等，是平行四邊形的重要性質之一.因此，在證明兩條直線平行時，若問題涉及平行四邊形，同學們要注意結合已知條件，先證明這兩條直線所在的四邊形為平行四邊形，再根據“平行四邊形對邊平行” 這一性質判定這兩條直線平行.

例3

分析：

證明：

評注：平行四邊形的兩組對邊是平行且相等的，利用這一性質既可以證明兩直線平行，也可以證明兩直線相等.

總之，證明兩條直線平行的方法多種多樣，同學們在平時的學習中，既要注意夯實基礎知識，掌握基本定理和推論，又要注意強化訓練，結合具體問題，靈活選擇恰當的證明方法，從而快速、準確、高效地解題.