活用配方法，巧解特殊方程

朱慧

配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，不僅可以用于因式分解、求解函數(shù)最值等，還在求解特殊方程方面有著廣泛應(yīng)用.它能夠使方程化繁為簡，解答過程化難為易.本文分析了配方法在求解二元二次方程和根式方程中的應(yīng)用方法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)與參考.

一、活用配方法巧解二元二次方程

二元二次方程是指含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程. 通常二元二次方程的解有無限個(gè)，但是特殊的二元二次方程可以利用配方法配湊成完全平方的形式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解出其唯一一組解.

運(yùn)用配方思想解二元二次方程，要重點(diǎn)關(guān)注各項(xiàng)的系數(shù)，可以將其拆分、拼湊，使其成為平方數(shù)，以便運(yùn)用完全平方和公式 a2 ± 2ab + b 2 = （a ± b）2 進(jìn)行配方. 本題中的 “5”也很特殊，可以分為“1”和“4”，剛好供 x 與 y 配方使用.所以，同學(xué)們一定要學(xué)會(huì)仔細(xì)觀察數(shù)據(jù)，對(duì)特殊的數(shù)據(jù)進(jìn)行特別的處理.

評(píng)注：解題時(shí)同學(xué)們很容易想到對(duì) 2xy 的處理方法，但處理后出現(xiàn)“ y2 + 6x + 4y + 10 ”的情況就比較棘手了.此時(shí)，同學(xué)們需要繼續(xù)認(rèn)真觀察處理后的數(shù)據(jù)與前面數(shù)據(jù)之間的關(guān)系.同時(shí)要考慮到“ y2 + 6x + 4y + 10 ”中只有 y 有二次項(xiàng)，所以需要將 x與y 的一次項(xiàng)處理掉，只剩 y ，這樣才可以更好地配湊.

二、活用配方法巧解根式方程

根式方程往往比較復(fù)雜，難以直接求解. 但是對(duì)于特殊的根式方程，可以通過觀察，找出根式（數(shù)）與整式（數(shù)）之間的關(guān)系，再利用配方法配湊成完全平方式，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，從而求得其解.

評(píng)注：此題有3個(gè)根式，直接解題很困難. 利用“ x 2 + 5x = x （ x + 5 ）”轉(zhuǎn)變后配湊完全平方式是解題的關(guān)鍵.另外，需將“ x + x + 5 ” 視為整體，進(jìn)一步利用“十字相乘法”解題.

評(píng)注：利用配方法避免了兩邊平方去根號(hào)的繁瑣計(jì)算.通過觀察算式特征，靈活運(yùn)用配方法可將等式左邊配成完全平方式，等式右邊為零，最后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解.

運(yùn)用配方法求解二元二次方程、根式方程等特殊方程時(shí)，我們需要牢牢記住“完全平方公式”，利用現(xiàn)有的“局部”配湊出公式的 “全部”，最后利用“非負(fù)數(shù)大于等于零”的性質(zhì)，求解出特殊方程的唯一解.對(duì)于“局部”的觀察一定要多方嘗試，找出最合適的一種配湊方法來求解.