剛體航天器預設時間預設精度姿態跟蹤控制

王云騰,肖 巖,葉 東,孫兆偉

(哈爾濱工業大學 航天學院,哈爾濱 150001)

剛體航天器姿態跟蹤控制問題因其在空間任務中的重要作用得到了國內、外學者的廣泛關注。針對航天器姿態控制系統的非線性特性,各種非線性控制方法已經在航天器姿態控制問題中得到了應用[1-3]。但是,上述控制方法只能使航天器姿態誤差漸近收斂,理論上完成收斂所需的時間是無窮大的,而工程應用中對姿態誤差的收斂時間往往是有要求的,因而這些方法的實用性受到了一定限制。為增強控制器的實用性,有限時間控制是一種有效的方法[4-6]。有限時間控制方法可以保證系統在不多于某確定值的時間內完成收斂,但此收斂時間上界與初始條件直接相關。相比之下,固定時間控制的收斂時間上界僅由控制器參數決定,與初始條件無關,可以使設計者在控制器設計期間擺脫初始條件的制約[7-9]。文獻[7]使用終端滑模控制方法,實現了剛體航天器的固定時間姿態跟蹤控制。文獻[8]使用神經網絡對航天器所受的外部擾動力矩及自身建模不確定性進行近似逼近,并考慮執行機構飽和與故障的因素,提出了一種固定時間姿態控制方法。文獻[9]則采用自適應方法對擾動項和系統建模不確定性進行補償,考慮執行機構飽和與故障,設計了一個自適應航天器姿態控制器。傳統固定時間控制方法的一個主要缺點是收斂時間上界往往與控制器的多個參數存在比較復雜的等式關系。給定要求的收斂時間以后,如何確定各個控制參數的值是一個比較困難的問題。

作為固定時間控制的一種特殊情況,預設時間控制[9-12]的收斂時間上界顯式存在于控制器參數當中,設計者可以根據實際需要很方便地對其進行設置。文獻[13]針對戰斗機空中加油時的姿態穩定問題設計了一種預設時間姿態控制方法,但是其控制律存在不連續性,易出現抖振現象。文獻[14]基于一種新型性能函數,實現了航天器的預設時間預設精度姿態跟蹤控制。文獻[15]建立了一種準終端滑模面,在實現剛體航天器預設時間預設精度姿態跟蹤控制的同時,保證了控制律的連續和非奇異。針對有界外部擾動力矩,文獻[15]采用的處理方法是在控制律中添加魯棒項予以補償,這是一種比較保守的方法。

本文針對剛體航天器受有界外部擾動力矩的情形,首先設計了一個預設時間擾動觀測器[16-17],用以對有界外部擾動力矩進行補償,然后設計了一個預設時間準終端滑模面,最后基于上述觀測器和滑模面構造了一個連續非奇異控制器。Lyapunov理論分析表明,本文提出的控制策略可以在已知外部擾動力矩上界的情況下實現剛體航天器的預設時間預設精度姿態跟蹤控制,即保證航天器的姿態跟蹤誤差在預設的時間內收斂到預先指定的精度以內。

1 航天器建模與問題描述

描述航天器本體坐標系相對空間參考坐標系的方位的物理量稱為姿態參數。姿態參數有多種描述形式,常用的有方向余弦矩陣、歐拉角、歐拉軸/角、歐拉四元數、羅德里格參數(Rodrigues parameters,RPs)以及修正羅德里格參數(Modified Rodrigues parameters,MRPs)。其中,修正羅德里格參數(MRPs)具有幾何直觀性好、不存在奇異性問題和范數約束等優點。故本文采用MRPs來描述航天器的姿態。在MRPs下,剛體航天器的姿態運動學和姿態動力學模型分別為:

(1)

(2)

式中:ω為航天器的角速度,J為航天器的轉動慣量矩陣,τ為所施加的控制力矩,d為外部擾動力矩,q即為航天器姿態的MRPs表示。對任一矢量a=[a1a2a3]T,a×表示如下反對稱矩陣:

記航天器的目標姿態及相應目標角速度分別為qd和ωd,則姿態跟蹤誤差和角速度跟蹤誤差分別為:

(3)

ωe=ω-Cqeωd

(4)

(5)

(6)

這里,運動學矩陣T(qe)滿足如下性質(在不至混淆的情況下,下文以T表示T(qe)):

(7)

(8)

(9)

現給出本文控制器設計過程所滿足的假設。

假設2外部擾動力矩是有界的,即存在正常數dM使得外部擾動力矩滿足‖d‖≤dM,其中‖·‖表示向量的2范數。

本文的研究目標便是設計一個連續非奇異的控制律τ(t)使得航天器在滿足上述假設的外部擾動力矩作用下,其姿態跟蹤誤差仍能實現預設時間預設精度穩定,即對給定的預設時間常數Tp和預設精度常數εi(i=1,2,3),當t≥Tp時,姿態跟蹤誤差的各分量滿足|qe,i|≤εi(i=1,2,3)。在本文的控制策略設計過程中會用到如下引理。

引理1[18]假設某動態系統存在一個李雅普諾夫函數 ,滿足:

(10)

式中0<η<1,則系統關于時間常數Tp是預設時間穩定的。

2 預設時間預設精度姿態跟蹤控制器設計

本文考慮受有界外部擾動力矩的剛體航天器的預設時間姿態跟蹤控制問題。首先,提出了一種預設時間擾動觀測器,可以在預設的時間內保證對有界外部擾動力矩的估計誤差收斂為零。然后,在此基礎上設計了一個基于準終端滑模面的連續非奇異預設時間預設精度姿態跟蹤控制器。

2.1 預設時間擾動觀測器設計

為便于后續推導,首先構造中間變量:

(11)

式中ρ為一個大于零的常數。將式(11)求導并將式(2)代入可得

(12)

基于中間變量ξ,進一步構造輔助變量:

s0=z-ξ

(13)

式中z滿足如下關系:

ρdMsign(s0)-ρ‖ξ‖sign(s0)

(14)

sig(a)α=[sign(a1)|a1|αsign(a2)|a2|α

… sign(an)|an|α]T

式中sign(·)為符號函數。

定理1取擾動力矩的估計值為

ρdMtanh(Ks0)-ρ‖ξ‖tanh(Ks0)+ξ

(15)

證明由式(12)～(14)可得:

ρdMsign(s0)-ρ‖ξ‖sign(s0)+ρξ-ρd

(16)

ρdMsign(s0)-ρ‖ξ‖sign(s0)+ρξ-ρd)≤

(17)

ρdMtanh(Ks0)-ρ‖ξ‖tanh(Ks0)+ξ-d=

(18)

所以當t≥Tp1時,擾動力矩估計誤差收斂到零,定理1得證。

2.2 連續非奇異預設時間姿態跟蹤控制器設計

首先,構造一個(準)終端滑模面:

s=ωe+?

(19)

定理2如果s=0,則當t≥Tp2時,|qe,i|≤εi(i=1,2,3),即經過預設的時間Tp2以后姿態跟蹤誤差將保持在指定的精度εi(i=1,2,3)以內。

證明由定義(19), 當s=0時誤差角速度的值為

(20)

將式(20)代入式(5)可得

(21)

取李雅普諾夫函數:

(22)

則有

(23)

當|qe,i|>εi時,有

(24)

由引理1,在預設時間Tp2以內,姿態跟蹤誤差可以收斂至|qe,i|≤εi(i=1,2,3),定理2得證。

(25)

(26)

極限存在,連續性結論得證;同時,由式(6)、式(19)和式(25)可得

(27)

所以:

(28)

綜上所述,根據定理1～定理3,在任意初始條件下,本文所設計的觀測器及控制器可以保證系統的姿態跟蹤誤差在Tp1+Tp2+Tp3時間內收斂到|qe,i|≤εi(i=1,2,3)范圍以內。

3 仿真分析

為檢驗上述控制策略的性能,本文通過數值仿真對其進行了驗證。航天器的轉動慣量矩陣取為

(29)

目標姿態軌線取為

外部擾動力矩設為

d=0.03[sin(t/4) cos(t/6) sin(t/5)]TNm

控制器參數選擇如下:Tp1=Tp2=30 s,Tp3=40 s,ρ=3,K=1,ε1=ε2=ε3=0.000 5,η=0.3。

初始時刻姿態設為

q(0)=[1.0 -2.0 -1.5]T

初始時刻角速度設為

ω(0)=[0.000 5 0.000 5 -0.000 5]Trad/s

z的初始值取z(0)=[0 0 0]T。以下兩種仿真方案均滿足上述條件。

CaseⅠ 在上述條件下,仿真結果如圖1所示。圖1(a)所示為擾動觀測器對有界外部擾動力矩的追蹤結果,可以看出,觀測器在5 s的時間內實現了對外部擾動力矩的高精度追蹤,收斂后的觀測器對擾動力矩的估計值相比其真實值略有時延。圖1(b)所示為滑模面(19)的響應曲線,可見滑模面在10 s的時間內收斂到零。圖1(c)、1(d)分別為姿態跟蹤誤差和角速度跟蹤誤差的響應曲線。可以看出,在25 s以后本體航天器的姿態值實現了對期望軌線的跟蹤收斂,且跟蹤誤差遠遠小于控制器中預設的精度要求(|qe,i|≤εi(i=1,2,3))。圖1(e)所示為在此控制策略下完成姿態跟蹤任務所需的控制力矩,可以看出其是連續的,本文所設計的控制策略很好地避免了抖振現象,定理1～定理3中的有關結論得到了驗證。

圖1 方案Ⅰ下預設時間預設精度姿態跟蹤控制策略仿真結果

CaseⅡ 本方案考慮航天器系統的建模不確定性,假設航天器的轉動慣量存在建模不確定性,其真實值為J=J0+ΔJ,其中不確定項為ΔJ=0.1J0。將此時的真實轉動慣量代入動力學方程,可得

(30)

進一步整理有

(31)

圖2 方案Ⅱ下預設時間預設精度姿態跟蹤控制策略仿真結果

4 結 論

1)針對受有界外部擾動力矩的剛體航天器的姿態跟蹤控制問題,提出了一種預設時間預設精度姿態跟蹤控制策略。首先設計了一個預設時間擾動觀測器,然后在利用此觀測器的估計值對擾動力矩進行補償的基礎上使用終端滑模控制方法設計了一個姿態跟蹤控制律。

2)理論分析表明,本文所設計的觀測器可以在外部擾動力矩上界已知的情況下對其進行精確估計;所提控制律可以保證姿態跟蹤誤差在預設的時間內收斂到指定的精度以內,并且其自身是連續非奇異的。

3)數值仿真結果表明,本文所設計的觀測器和控制器在實際應用中表現出的收斂速度和精度可能會遠遠優于預設值,并且其對系統的建模不確定性具有比較出色的魯棒性,有關結果對工程應用有一定的參考價值。