極點極線視角下對一道模考題的探析、變式、推廣

安徽省蕪湖市第一中學;新青年數學教師工作室(241000) 劉海濤

1 問題的提出

每一年高考結束,解析幾何解答題一直是一線教師及廣大考生津津樂道的問題之一, 原因在于該類問題的綜合性強、解法靈活、難度較大,常作為壓軸題或次壓軸題出現. 筆者縱觀近些年的高考全國卷解析幾何解答題,發現有相當一部分試題是以高等幾何中的極點極線為背景命制的. 去年4月20 日的廣州二模解析幾何解答題,表面上看是調和點列背景問題,但筆者經過深入分析,發現該題實為極點極線背景問題. 基于此,筆者從不同角度探析該道試題,并將其變式拓展到一般化情形,最后給出極點極線的背景介紹.

2 題目的呈現與分析

題目(2022 年廣州二模第21 題) 已知橢圓C:的離心率為,短軸長為4.

(1)求C的方程;

(2)過點P(-3,0)作兩條互相垂直的直線l1和l2,直線l1與C相交于兩個不同點A,B,在線段AB上取點Q,滿足,直線l2交y軸于點R,求ΔPQR面積的最小值.

分析該題第(1) 問屬于常規問題,C的方程為,此處不再贅述.

第(2)問考查了直線與橢圓的位置關系、線段長度與比例、動點的軌跡、三角形面積等知識,綜合性強、解法靈活、難度較大,體現了邏輯推理、數學運算、直觀想象、數學建模等數學核心素養. 表面上看該題以調和點列為背景命題,但動點Q的軌跡實為點P關于橢圓C的極線(位于橢圓C的部分),即該題的命題背景實為極點極線.

3 題目的探析與評注

圖1

評注《中國高考評價體系》指出:“高考要求學生能夠觸類旁通、融會貫通,既包括同一層面、橫向的交互融合,也包括不同層面之間、縱向的融會貫通”[1]. 在解題教學過程中, 對于一些典型問題, 如果我們能夠從不同角度思考, 尋求不同的解法, 以一題多解的方式尋求知識間的內在聯系,構建知識的網絡體系,加深對問題的本質認識,定會拓寬解題視野,發散解題思維,提升學習興趣,提高解題能力[2]. 思路1 屬于常規解法,聯立直線與橢圓方程,得到兩交點A,B橫坐標的關系式(韋達定理), 根據弦長公式用橫坐標表示,化簡得點Q橫坐標為定值,得動點Q在定直線上,另外這里我們還可以設直線l1的方程為x=my-3,與橢圓C的方程聯立后得到關于y的方程,在運算上會稍簡捷一些. 思路2 和思路3 均為設點法,將線段等比例轉化為向量的數乘關系來表示,思路2 屬于定比點差法,思路3 屬于同構方程法. 事實上,解題中我們遇到點共線且線段成比例時,均可以考慮轉化為向量的數乘形式,進而利用坐標解題,至于定比點差法還是同構方程法,兩法各有優劣,讀者還需在日常學習中慢慢體會,這里不再贅述,可參考文獻[3]和[4]. 對于ΔPQR面積的表示,筆者給出了5 種方法,方法1 和5 表示為關于直線l1的斜率k的表達式,方法2 表示為關于直線l1的傾斜角θ的表達式,方法3 和4 表示為關于線段長度的表達式,最后除方法2 利用三角函數的有界性得到面積的最小值外,其余4 種方法均借助基本不等式(或柯西不等式)求得面積最小值,這里我們要弄清取等條件.

4 題目的變式探究與一般化推廣

5 極點極線背景介紹

5.1 圓錐曲線的極點與極線的定義

已知曲線Γ :Ax2+Cy2+ 2Dx+ 2Ey+F= 0(A2+C2?0), 稱點P(x0,y0)和直線l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F= 0 是圓錐曲線Γ 的一對極點和極線.

對于具體的圓錐曲線,有如下極點與極線方程:

5.2 圓錐曲線的極點與極線的性質[6]

定理1已知點P(x0,y0) 和直線l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0 是圓錐曲線Γ:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 (A2+C20)的一對極點和極線,

(1)若極點P在曲線Γ 上,則極線l就是曲線Γ 在點P處的切線;

(2)若過極點P可作曲線Γ 的兩條切線,M,N分別為切點,則極線l就是直線MN;

(3)若過極點P的直線與曲線Γ 相交于M,N兩點,則曲線Γ 在M,N兩點處的兩條切線的交點Q在極線l上;

(4)若過極線l一點Q可作曲線Γ 的兩條切線,M,N分別為切點,則直線MN必過極點P.

證明(1)由點P在曲線Γ 上,得,則曲線Γ 的方程可以寫成

聯立

得A(x-x0)2+C(y-y0)2=0,有唯一解(x,y)=(x0,y0),所以極線l就是曲線Γ 在點P處的切線.

(2) 設 點M(x1,y1),N(x2,y2), 則 由(1) 知 曲 線Γ 在M,N兩點處的切線分別為Ax1x+Cy1y+D(x+x1)+E(y+y1)+F=0,Ax2x+Cy2y+D(x+x2)+E(y+y2)+F=0,因點P(x0,y0)為兩切線的交點,所以

易知(x1,y1),(x2,y2)是方程Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0) +F= 0 的兩解, 則直線MN的方程為Ax0x+Cy0y+D(x+x0) +E(y+y0) +F= 0, 即極線l就是直線MN.

(3)設Q(s,t),由(2)知直線MN的方程為Asx+Cty+D(x+s)+E(y+t)+F= 0,又直線MN過點P(x0,y0),則Asx0+Cty0+D(x0+s)+E(y0+t)+F= 0,故兩條切線的交點Q在極線l上.

(4)設Q(s,t),則Ax0s+Cy0t+D(s+x0)+E(t+y0)+F=0,由(2)知直線MN的方程為Asx+Cty+D(x+s)+E(y+t)+F=0,則極點P(x0,y0)在直線MN上,即直線MN過極點P.

定理2(配極原則)點P關于圓錐曲線Γ 的極線經過點Q,則點Q關于圓錐曲線Γ 的極線也經過點P. 反之,也成立.

證明設Γ :Ax2+Cy2+ 2Dx+ 2Ey+F= 0(A2+C20),P(x1,y1),Q(x2,y2),點P,Q關于E的極線分別為lP:Ax1x+Cy1y+D(x+x1)+E(y+y1)+F=0,lQ:Ax2x+Cy2y+D(x+x2)+E(y+y2)+F=0,點P的極線經過點Q?Ax1x2+Cy1y2+D(x2+x1)+E(y2+y1)+F=0?點Q的極線也經過點P.

推論(1)共線點的極線必共點,即兩點連線的極點是此二點極線的交點;(2)共點線的極點必共線,即兩直線交點的極線是此二條直線極點的連線.

證明(1)設兩點A,B連線的極點是P,即點P的極線經過A,B兩點,由配極原則知點P的極線經過點,即點是此二點極線的交點;

設直線l1,l2的交點P的極線是l,即直線l的極點P是直線l1,l2的交點,由配極原則知直線l1,l2的極點均在直線l上,即直線l為此兩條直線極點的連線.

6 命制變式問題,鞏固深化理解

變式1設橢圓C:x a22+y b22= 1 (a＞b＞0) 過點M(2,1),且左焦點為F1(-2,0).

(1)求橢圓C的方程;

(2) 當過點P(4,1) 的動直線l與橢圓C相交于兩不同點A,B時, 在線段AB上取點Q, 滿足|AP|·|QB| =|AQ|·|PB|,證明: 點Q總在某定直線上.

變式2設橢圓C:x a22+y b22=1 (a＞b＞0),已知橢圓的短軸長為22,離心率為2 2 .

(1)求橢圓的方程;

(2)點P為直線x= 4 上的動點,過點P的動直線l與橢圓C相交于不同的A,B兩點,在線段AB上取點Q,滿足|AP|·|QB|=|AQ|·|PB|,證明: 點Q總在一條動直線上且該動直線恒過定點.

變式3已知雙曲線的離心率是,實軸長是8.

(1)求雙曲線C的方程;

(2) 過點P(0,3) 的直線l與雙曲線C的右支交于兩不同點A和B, 若直線l上存在不同于點P的點D滿足|PA|·|DB| = |PB|·|DA|成立,證明: 點D的縱坐標為定值,并求出該定值.