淺析高中物理火箭發射的幾個常見疑問

陳小亮 李 明

(江西省吉安市第一中學,江西 吉安 343000)

1 火箭噴射氣體相對速度不變的深層次原因

為了研究方便,我們通常認為火箭發射過程滿足動量守恒(不考慮空氣阻力和重力對火箭的影響).同時也認為火箭每次噴出氣體速度不變,前者能理解但后者引起了爭議.這里氣體的速度是指對地面的絕對速度還是對火箭的相對速度?是相對于發射前還是相對于發射后火箭的速度?為什么可以認為相對速度不變?

情境:假設火箭以速度v0向前飛行,某時刻火箭往后噴出質量Δm的氣體速度為v2,火箭主體質量(除去燃氣)為m,其速度變為v1,則此次噴氣消耗的能量ΔE大約多少?

解析:設發射后火箭和氣體相對質心的速度分別為v1′和v2′,質心的速度噴氣前后不變恒為v0,噴射的氣體相對發射后火箭的相對速度為

u=v2-v1=(v2′+v0)-(v1′+v0)=v2′-v1′,

即u=v2′-v1′.

又因質心系動量守恒有mv1′+Δmv2′=0,結合以上兩式得

在質心系中總動能為

地面系火箭噴氣后總動能由柯尼希定理得

地面系火箭噴氣前總動能為

噴氣過程釋放的能量為

由上式可知,在燃料的化學性質和噴口形狀等確定的條件下,一次燃燒的質量Δm和放出的能量ΔE都近似不變,因此我們通常處理成火箭發射過程中氣體相對發射后箭體的相對速度u是不變的,這樣更貼近真實發射過程.

說明:若選地面參考系列火箭的動量守恒方程和能量守恒方程,理論上可以求解,但由于解答太過于繁瑣本文略過,有興趣的讀者可以自行證明.

2 火箭兩種噴射氣體方式獲得的速度

情境:假設火箭主體(除去燃氣)的質量為m,內部看成n團質量相等的氣體,每團氣體的質量為Δm,現火箭靜止點火發射,噴出氣體相對噴氣后火箭的速度為u.

(1) 若火箭把n團氣體一次性噴出,則火箭主體將獲得多大的速度?

(2) 若分n次連續噴射,則火箭主體最后將獲得多大的速度?

解析:(1) 設一次噴射完氣體火箭獲得的速度為vn′,根據動量守恒有

0=mvn′-n·Δm(u-vn′),

(2) 第1次發射后獲得速度v1.根據動量守恒有

第2次發射后獲得速度v2.根據動量守恒有

[m+(n-1)Δm]v1=[m+(n-2)Δm]v2-Δm(u-v2).

得

以此類推,第k-1次發射后的速度為vk-1,則第k次發射動量守恒有

[m+(n-k+1)Δm]vk-1=[m+(n-k)Δm]vk-Δm(u-vk).

得

數學歸納可得連續噴氣的末速度為(n項組合)

而一次全部噴氣的末速度為(拆成n項組合)

以上兩式比較可得除了第1項相等后面項第一式更大vn>vn′,即連續噴氣獲得的末速度大于一次性噴相同質量的氣體.

實際火箭發射采用連續噴氣的方式發射,當然上述的物理模型還比較簡陋,實際上火箭的發射過程是連續變質量問題,我們要用到高等數學的方法來確定火箭的收尾速度.

說明:高考范圍內經常出現一些連續發射題目,可以等效為一起發射,兩種發射結果速度相等,其原因是這類題設定發射物體的對地速度不變,而這里火箭發射是相對速度不變,這是二者本質的區別.

3 連續發射的理論分析和多級火箭的意義

情境:設任意時刻t,火箭(包括dt時間燃燒的燃料)質量為m,速度為v,在t+dt時刻,火箭質量變為m′=m+dm(噴出氣體dm<0),噴出燃氣的質量為dm,發射后火箭的相對速度為u,則火箭的收尾速度是多少?

由系統動量守恒得

mv=(m+dm)(v+dv)+(-dm)(v+dv-u).

這表明火箭的收尾速度與噴射相對速度和質量比的自然對數成正比.相對速度u與燃料化學性質和噴出形狀等有關,因此增加收尾速度最好增加質量比.而采用多級火箭及時把燃燒完燃料的空殼扔掉,減少火箭空殼的質量,這樣更有助于增加質量比,提高收尾速度.

因此現代火箭一般采用多級發射,當然級數越多,構造越復雜,工作的可靠性越差,現代火箭一般采用三級火箭作為動力.