來自“三體”的一些思考
——拉格朗日點中的三星穩定體系

龍海文

(深圳市福田區教科院,廣東 深圳 518000)

在每個圍繞恒星運動的行星中,或者圍繞行星的衛星體系中,都存在5個特殊的點,例如在日地系統中的5個特殊的點,衛星處于這些點上在受太陽、地球兩大天體引力的作用下,能三者保持相對靜止,我們把這些點叫拉格朗日點.如圖1所示,這5個點上的衛星擁有的特點和穩定性也有不同,這5個點是怎么推算出來的?它們的穩定性如何?下面具體分析.

圖1

1 在L1(L2、L3)點上的穩定性

1.1 衛星在L1點上位置關系

如圖2所示,以M1表示太陽的質量,M2表示地球的質量,m表示衛星質量,r表示日地間距,ω表示地球公轉的角速度.若衛星在離地球距離為x處的L1點繞太陽做圓周運動,且衛星的周期和地球的公轉周期相等,據萬有引力定律和牛頓第二定律,對衛星分析,有

圖2

(1)

對地球分析,有

(2)

由式(1)(2)得

1.2 衛星在L1點上穩定性

下面分析該軌道的穩定性.設衛星繞太陽運動的軌道半徑略減Δx(Δx→0),此時衛星的合力為

在略移軌道運動所需的向心力為

比較兩者有

故衛星將在萬有引力作用下繼續遠離原來軌道,該軌道不穩定.

當衛星處于圖1中L3位置時,由于M1?M2,地球對衛星的引力遠小于太陽對衛星的引力,衛星基本在地球公轉軌道上繞太陽做圓周運動.如此衛星繞太陽運動的軌道半徑略減Δx,此衛星在萬有引力的作用下將不再回到原來軌道,故此衛星是不穩定的.

上面分析可知,L1、L2、L3都不穩定,下面分析L4、L5點的穩定性.

2 在L4(L5)點上的穩定性

從孤立系統動量守恒蘊含的質心平衡態來考慮一般三星的情況.

孤立系統在絕對均勻的空間中可以利用變分法得到系統的一個運動積分,以常矢量的形式存在,我們定義其為系統的總動量

(3)

對于空間中任意相對原參考系以v速度運動的慣性參考系,系統的動量為

(4)

可以斷言,一定存在某個慣性系使得P′=0,其相對原參考系的速度為

(5)

可以看到

(6)

可以自然地定義R為系統質心徑矢,v為質心的速度,而孤立系統動量守恒蘊含了該關系的質心處于平衡狀態.

2.1 確定三星圓周運動的圓心為系統質心

宇宙中孤立的三星系統中一類是以不共線的質量分別為m1、m2、m3三顆星的形式存在的,理想化的模型是平面上繞定點旋轉的3個質點.明晰系統質心必定處于平衡態,且質心本身的運動狀態于問題而言無關緊要,故認定質心靜止,那么空間各向同性蘊含三星圓周運動時的圓心必須是系統的質心.

2.2 確定以三星為頂點的三角形為正三角形

為了證明這個問題,如圖3所示,以m1為原點,由m1指向m2、m3的單位矢量分別為s0、l0,且令三星之間的距離分別為r1、r2、r3,從而系統質心的矢徑為

圖3

(7)

其中M=m1+m2+m3.同時m2、m3對m1的合力為

(8)

合力必定指向質心,得出R和F共線,進而得出

r2=r3.

(9)

由對稱性可知r2=r1,r3=r1,從而得出r1=r2=r3,意味著質量不同的三星為頂點的三角形是正三角形,即使偏離軌道,萬有引力的合力會將衛星拉回原來的軌道.故衛星在L4、L5點上的軌道是穩定的.

2.3 確定三星系統的運動情況

問題第3步是只對m1列動力學方程有

(10)

其中任意(s0、l0)夾角為60°,從式(7)和式(8)中可得出R、F的范數R、F為

(11)

(12)

而r1=r2=r3,令r1=r2=r3=L,L是表征三星問題的唯一幾何度量,并由三星系統所含能量唯一確定,從而有

(13)

(14)

將式(13)(14)代回式(10)得到

(15)

啟示:這個完美的答案可以視為是雙星問題的自然推廣,但多星問題有驚人的任意性.這個簡潔的結果不適合四星體系,因為四星系統(非線性形式)的頂點多面形而無法如三星系統一般能確定為正多邊形,平面的維數為2,即僅僅兩個線性無關矢量得以形成,而四星系統中有3個矢量,以“合力指向質心”所得到的線性方程組會有無窮組解.小說《三體》中的“蝴蝶效應”其實和此問題有關.