圓錐曲線的又一奇妙性質

李剖華

受文［1］啟發，筆者最近探得了圓錐曲線的過頂點且互相垂直的兩弦的一個統一性質，現以定理形式介紹如下：

定理1 如圖1，設A1、A2分別是雙曲線C：x2/a2－y2/b2=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點，點M、N為雙曲線C上不同于A1、A2的兩點，且滿足MA1⊥NA1，則（1）直線MA2與直線NA1的交點R在定直線l：x=a（b2－a2）/a2+b2上；

（2）若a≠b，則直線MN過定點Q（a（a2+b2）/b2－a2，0）；若a=b，則直線MN與x軸平行．

證明：（1）設M的坐標為（x0，y0），則直線MA1的斜率k1=y0/x0+a，∵MA1⊥NA1，∴直線NA1的斜率k2=－1/k1=－x0+a/y0.∴直線NA1的方程為y=－x0+a/y0（x+a）①，直線MA2的方程為y=y0/x0－a（x－a）②，聯立①②消除y得－x0+a/y0（x+a）=y0/x0－a（x－a），化簡、整理可得（1+x20－a2/y20）x=a（1－x20－a2/y20）③.∵點M（x0，y0）在雙曲線C上，∴x20/a2－y20/b2=1，∴y20=b2/a2（x20－a2）④，將④代入③即得x=a（b2－a2）/a2+b2，即直線MA2與直線NA1的交點R在定直線l：x=a（b2－a2）/a2+b2上．

參考文獻

［1］李康海．圓錐曲線焦點弦的一個有趣性質［J］．數學通報，2001，7.

［2］張漢清．圓錐曲線的一個奇妙性質［J］．數學通報，2001，9.