基于動力學性能的粉柱成型高速凸輪運動規律設計

孫衛　林松　江競宇

摘要：粉柱成型凸輪機構在高速運轉時，會引起從動件較大的彈性變形，機構會出現嚴重振動，從動件輸出端運動將偏離預期運動，產生無法忽視的動態誤差。此時采用傳統方法所設計的凸輪機構運動規律無法完全滿足工作需求，為此本文提出一種基于動力學性能的高速凸輪運動規律設計方法。首先建立凸輪傳動系統的動力學模型，對其進行動力學分析。然后根據所得凸輪系統動力學特性建立動力學性能評價指標，再將樣條曲線作為過渡曲線，建立優化目標函數，并通過遺傳算法實現目標函數的求解。在以動力學指標為主的同時，本文還綜合考慮了其它運動學指標，保證了高速凸輪機構從動件輸出端的運動和動力穩定性，為高速凸輪機構運動規律的設計提供了一個實用的基于動力學性能的設計方法。

關鍵詞：高速凸輪；運動規律；動力學特性；遺傳算法

中圖分類號：TH132.47 文獻標志碼：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.04.003

文章編號：1006-0316 （2023） 04-0017-08

Motion Law Design of High-speed Cam for Powder Column Forming

based on Dynamic Performance

SUN Wei，LIN Song，JIANG Jingyu

（ School of Mechanical Engineering， Tongji University， Shanghai 201804， China ）

Abstract：When the powder column forming cam mechanism runs at high speed， it will cause large elastic deformation of the follower. The mechanism will vibrate severely and the movement of the output end of the follower will deviate from the expected movement， resulting in a dynamic error. At this time， the motion law of the cam mechanism designed by the traditional method cannot fully meet the work requirements. This paper proposes a high-speed cam motion law design method based on dynamic performance. Firstly， the dynamic model of the cam transmission system is established and dynamic analysis is carried out. Then， according to the obtained dynamic characteristics of the cam system， the dynamic performance evaluation index is established， and then the spline curve is used as the transition curve to establish the optimization objective function. The solution of the objective function is realized by the genetic algorithm. While focusing on the dynamic index， we also considers other kinematic index comprehensively， which ensures the motion and dynamic stability of the output end of the high-speed cam mechanism follower， and provides a practical basis for the design of the high-speed cam mechanism motion law based on dynamic performance.

Key words：high-speed cam；motion law；dynamic characteristics；genetic algorithm

凸輪機構是由凸輪、從動件、機架3個基本構件組成的高副機構，具有精度高、運轉平穩、體積小等優點[1]。只要能設計及加工出適當的凸輪輪廓，就可以實現各種復雜的運動規律，在自動機械中被廣泛應用，如包裝機、開盒機、取紙機等[2-4]。然而在凸輪高速運轉的情況下，凸輪從動件的彈性變形和振動將導致從動件輸出端的位置較預定軌跡發生偏移，從而影響從動件輸出運動的準確性[5]。因此對于高速凸輪，振動問題不能忽視。

在傳統的設計方法中，當運動規劃確定后，就可以根據運動區間的邊界條件直接選取基本運動規律作為過渡曲線，常用的基本運動規律包括多項式、三角函數以及二者的組合[6]。在一般條件下，這些運動規律可以在運動學方面滿足工作要求，但在高速運動的情況下機構會產生振動、加劇磨損等問題，影響機構運行的穩定性和可靠性。

為了避免粉柱成型高速凸輪機構出現的這些問題，本文將從動件在一個周期內輸出運動的最大振幅作為主要優化目標，使用樣條曲線作為過渡曲線，運用遺傳算法，在迭代過程中調整樣條曲線控制點坐標，優化運動曲線，從而提高傳動精度，降低機器震動。與傳統設計方法相比，本文提出的設計方法減小了輸出端的動態偏差，提高了高速條件下從動件輸出運動的穩定性。

1 基于粉柱成型凸輪工況的計算模型的選定

對于給定的凸輪機構，在低速時它表現得像一個剛體系統，在中速時可視作一個彈性系統，而在高速時則是一個振動系統[7]。凸輪機構的這些力學表征通常用周期比來描述，周期比η是凸輪旋轉頻率f0＝Ω/（2π）與系統的固有頻率f1=ω1/（2π）之比，即η＝Ω/ω1＝f0/f1。其中，Ω為旋轉頻率f0對應的凸輪角速度；ω1為系統的固有頻率對應的角速度。根據凸輪機構的這些動力學表征，需要采用相應的“計算模型”來對凸輪傳動系統的運動情況進行分析和計算。可以通過周期比來判斷使用哪種“計算模型”。

當0＜η＜1/15時，運動激勵遠遠小于系統的固有頻率，此時系統中的構件不存在明顯的變形，工作端的動態偏差也很微小，因此可采用剛性計算模型。

當1/15＜η＜1/6時，盡管系統中的構件會發生一定變形，但不會產生劇烈共振，可采用彈性計算模型。

當η＞1/6時，運動激勵靠近系統的固有頻率，機構的共振效應明顯，工作段的動態偏差會急劇增大，需要采用振蕩機制計算模型。

本文研究的是高速工況下粉柱成型凸輪運動規律的設計方法，即η＞1/6時的情況，因此必須考慮機構的共振效應，需要選擇振蕩機制計算模型來進行分析和計算。

2 粉柱成型凸輪傳動系統動力學模型的建立

本文把粉柱成型高速凸輪傳動系統簡化為如圖1所示的動力學模型，它是一個滾子直動從動件盤形凸輪機構。其中，從動件的實際輸出運動y，可以表示為名義運動規律U和附加運動q的疊加，其傳動函數為：

對凸輪輸出端進行運動分析，可以得到動力學方程為：

式中：m為系統的等效質量，kg；b為系統的阻尼常數，N?s/m；c為系統的等效剛度，N/m；F（t）為輸出端上的外力，N。

代入式（1）可得：

4.3 基于遺傳算法的目標函數的求解

遺傳算法是模擬了生物進化論的自然選擇和遺傳學機理的計算模型，其本質是一種高效、并行、全局搜索方法[12]。遺傳算法包括三個基本運算：選擇運算、交叉運算、變異運算，通過迭代計算，不斷向最優解收斂。本文使用PyGAD庫中的遺傳算法模塊進行目標函數的優化，該模塊中遺傳算法的函數調用過程以及計算流程如圖2所示。

遺傳算法的關鍵參數設置如表2所示。

遺傳算法迭代計算的過程中，目標函數值的變化如圖3所示。圖3中橫坐標表示遺傳算法的迭代次數，縱坐標表示目標函數的數值。

根據計算結果，迭代次數達到93代時得到目標函數f的最小值，對應兩段樣條曲線的控制點的推程段和回程段坐標分別為：

[（0，0），（0.00026，0），（0.00118，0），（0.00311，0）， （0.00696，0.5），（0.00869，0.5），（0.00977，0.5），（0.01，0.5）]

[（0.025，0.5），（0.02781，0.5），（0.03199，0.5），（0.03267，0.5），（0.03693，0），（0.03871，0），（0.04004，0），（0.45，0）]

其中，每個控制點的橫坐標為單個周期內的時間點t，縱坐標為位移x，則控制點生成的樣條曲線對應凸輪運動規律。優化后的曲線與控制點如圖4所示。

基于動力學性能優化設計得到的運動規律，其對應的目標函數值f＝0.3224，各指標值分別為qmax＝0.1221，Vmax＝87.2432，Amax＝3.0794×104，Jmax＝4.5137×107，Tmax＝1.7715×106。

對于相同的運動規劃，按傳統方法，使用五次多項式作為過渡曲線設計得到的運動規律，其對應的目標函數值f＝0.3224，各指標值分別為qmax＝0.4862，Vmax＝93.7309，Amax＝2.8867×104，Jmax＝3.0000×107，Tmax＝1.6733×106。

4.4 結果分析與對比

基于動力學性能優化的運動規律和五次多項式運動規律的位移曲線及各項評價指標的對應曲線對比如圖5所示。

從連續性角度看，位移無突變，且盡可能使速度、加速度無突變，是評價運動規律性能優劣的前提。樣條函數優化后得到的運動規律與五次多項式插值運動規律都滿足這一前提。但是在高速運動條件下，也是造成振動的原因之一。

從兩者圖像上看，由于回程段的運動區間

大于推程段，因此五次多項式回程段的曲線較推成段明顯平緩。而本文采用的設計方法，是從整個周期范圍對運動規律進行優化，盡管回程段曲線不如五次多項式平緩，但是從整個周期范圍看，振動大大減小，這也是傳統設計方法的不足之處。

傳統方法僅單獨考慮某一段過渡曲線的性能，會造成整個周期內的較大振動，而使得總體的動力學性能不佳。

兩種設計方法得到的運動規律，各評價指標對比如表3所示。

對比兩者各評價指標，優化后運動規律在全周期范圍內的最大振幅遠小于五次多項式，表明優化后的從動件的輸出運動更穩定；兩者的最大加速度、最大速度、最大動載荷相近；盡管優化后的運動規律最大躍度大于五次多項式，但是其在全周期內連續，而五次多項式的躍度存在突變。對比兩者的性能評價函數，優化后的運動規律目標函數f的值遠小于五次多項式，表明優化后的運動規律的綜合性能更好。

5 結論

本文實現了一種基于動力學性能的粉柱成型高速凸輪運動規律設計方法。相比傳統凸輪運動規律設計方法，其優勢在于：

（1）通過凸輪傳動系統的動力學分析，得到一個運動周期內從動件輸出運動振幅的最大值qmax。相比于一般情況下對速度加速度等指標的優化，直接對qmax進行優化的方式更為有效。

（2）傳統設計方法只考慮某一段過渡曲線的設計方式，本文考慮整個周期內的運動規律，保證整體的動力學性能更優。在整個周期的范圍內盡可能地減小輸出運動的振動，因此能夠得到更好的動力學優化效果。

（3）使用B樣條曲線作為過渡曲線，相比直接選用多項式、三角函數或二者的組合的傳統設計方法，在相對低階的情況下獲得了更好的曲線連續性和優化空間。

（4）使用遺傳算法對運動規律進行優化，盡管由于迭代計算，設計耗時長于傳統方法，但獲得的運動規律動力學性能遠優于傳統方法。

綜上所述，本文為實際工程問題中高速凸輪運動規律的設計方法提供了如下支撐：如何建立凸輪傳動系統的動力學模型并對其進行動力學分析；如何根據凸輪系統動力學特性建立動力學性能評價體系并提取動力學評價指標；如何基于樣條曲線建立優化目標函數，并通過遺傳算法實現目標函數的求解。采用本文的設計方法所得到的凸輪運動規律，相比傳統設計方法，在兼顧運動學性能的同時擁有更優的動力學性能，在高速工況下具備更好的穩定性。

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收稿日期：2022-12-09

作者簡介：孫衛（1997－），男，安徽無為人，碩士，主要研究方向為機械制造及其自動化，E-mail：2032714@tongji.edu.cn。*通訊作者：林松（1957－），男，四川廣元人，工學博士（德），主要研究方向為產品研發方法及其智能設計、虛擬產品生產及其數字孿生、智能裝置及其人機協調、技術系統可靠性及其安全設計，E-mail：slin@tongji.edu.cn。