周期性有砟軌道結(jié)構(gòu)垂向彎曲振動波復(fù)頻散分析

徐 偉

（中鐵二十五局集團(tuán)有限公司，廣東 廣州 510600）

列車和軌道接觸產(chǎn)生的振動，既可能對鋼軌結(jié)構(gòu)造成損傷，影響列車的運(yùn)行安全，又會產(chǎn)生輻射噪聲對沿線居民的生活帶來影響。因此，振動控制一直是軌道交通中迫切需要解決的問題之一[1]。振動是以彈性波的形式在結(jié)構(gòu)中傳播的，研究軌道結(jié)構(gòu)振動傳播規(guī)律對于軌道結(jié)構(gòu)的振動控制具有重要意義。

軌道結(jié)構(gòu)可視為由相同的結(jié)構(gòu)單元沿縱向規(guī)律排布的周期性結(jié)構(gòu)。周期性特征對于內(nèi)部振動波的傳播具有濾波特性，在特定的頻率范圍內(nèi)彈性波因?yàn)樗p而無法在結(jié)構(gòu)中傳播，也被稱為帶隙特性[2]。對軌道結(jié)構(gòu)開展頻散分析對于了解其振動傳遞特性具有重要意義。頻散分析從波傳播的角度，僅建立一個(gè)周期單元的分析方式，因此具有直觀、建模工作量小、計(jì)算效率高等優(yōu)點(diǎn)。頻散分析也成為了研究軌道結(jié)構(gòu)傳播規(guī)律以及軌道結(jié)構(gòu)振動控制的重要分析方式[3-6]。

頻散分析根據(jù)其計(jì)算模式的不同，可以分為實(shí)頻散和復(fù)頻散。實(shí)頻散是通過給定實(shí)波數(shù)，求解頻率，這種模式求解思路清晰，能夠得到彈性波的傳播特性，但無法知道衰減。求解實(shí)頻散的方法很多，常見的求解方法有傳遞矩陣法[7]、平面波展開法[8]、有限元法[9]、能量法[3，10]等。然而在實(shí)際的軌道結(jié)構(gòu)中，往往需要得到結(jié)構(gòu)的衰減特性來判斷減振性能，而這是實(shí)頻散所不能反映的。復(fù)頻散是通過給定頻率，求解復(fù)波數(shù)。相比于實(shí)頻散而言，通過復(fù)頻散結(jié)構(gòu)能夠直接獲取周期軌道結(jié)構(gòu)波的衰減規(guī)律，在進(jìn)行阻尼、頻變效應(yīng)分析時(shí)更加直觀，具有更大的應(yīng)用價(jià)值。

復(fù)頻散是通過頻率求解波數(shù)，這在傳統(tǒng)的頻散求解方式中是一種逆向求解問題，會導(dǎo)致原本簡單的線性問題轉(zhuǎn)化為非線性問題，因此求解難度大。相比于實(shí)頻散，復(fù)頻散的求解方式相對較少。目前，復(fù)頻散的主要求解方法有傳遞矩陣法[5]，平面波展開法[11]和有限元法[12]等。這些方法在各自領(lǐng)域中都有較好的使用，但也有著各自的局限性。傳遞矩陣法的傳遞矩陣中不含有波數(shù)，因此能夠簡單的求解出復(fù)頻散。但僅適用于簡單的一維問題。平面波展開法主要用于二維周期結(jié)構(gòu)的復(fù)頻散求解問題，該方法思路清晰，但在組元參數(shù)速度差異較大時(shí)，收斂速度較慢；有限元法雖具有很好的幾何適用性，但其計(jì)算精度依賴于網(wǎng)格劃分精度，這不利于大量的參數(shù)掃描或參數(shù)改變。因此有必要發(fā)展一種具有良好適用性、計(jì)算效率高的復(fù)頻散求解方法。

能量法可以將求解微分方程問題轉(zhuǎn)化為對泛函極值問題的求解，能夠簡化耦合問題的計(jì)算。但傳統(tǒng)的能量法在構(gòu)建位移函數(shù)時(shí)難度較大，且其位移函數(shù)中含有波數(shù)項(xiàng)，在掃描波數(shù)計(jì)算的過程中，需要不斷地進(jìn)行重復(fù)性計(jì)算。通過引入虛擬彈簧[13]來模擬復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的各類邊界條件，將約束轉(zhuǎn)化為虛擬彈簧的彈性勢能，使得波數(shù)項(xiàng)僅存在于周期邊界的彈性勢能，再將彈性勢能中的含波數(shù)項(xiàng)與無波數(shù)項(xiàng)分離，便可以通過給定頻率求解得到復(fù)頻散。本文將基于能量法，結(jié)合虛擬彈簧模型，提出一種新的復(fù)頻散結(jié)構(gòu)求解方法。并利用該方法對周期性有砟鐵路軌道結(jié)構(gòu)垂向振動彎曲波的復(fù)頻散阻尼效應(yīng)、頻變效應(yīng)進(jìn)行分析。

1 理論計(jì)算

根據(jù)文獻(xiàn)[13]，通過引入虛擬彈簧模型來模擬復(fù)雜的邊界耦合條件，約束便轉(zhuǎn)化為了系統(tǒng)中的彈性勢能，再將含有波數(shù)項(xiàng)的虛擬彈簧剛度矩陣與不含波數(shù)項(xiàng)的矩陣分開，在每次掃描波數(shù)時(shí)，便僅需計(jì)算虛擬彈簧的剛度矩陣，無需其他冗余計(jì)算。那么，在進(jìn)行頻散復(fù)頻散求解即根據(jù)給定頻率求解波數(shù)時(shí)，將虛擬彈簧剛度矩陣中的含波數(shù)項(xiàng)與無波數(shù)項(xiàng)分開，使得復(fù)平面內(nèi)復(fù)雜的非線性微分振動方程求解轉(zhuǎn)化為線性方程求解特征值問題，在保證計(jì)算準(zhǔn)確性的前提下簡便計(jì)算。

1.1 有砟軌道模型論述

有砟軌道結(jié)構(gòu)中主要包括鋼軌、扣件、軌枕與道砟。為同時(shí)考慮剪切效應(yīng)與彎曲效應(yīng)且減小誤差，本文將用連續(xù)Timoshenko 梁模型來表示鋼軌。因本文主要分析垂向振動的波傳播規(guī)律，文中扣件與道砟均被考慮為支撐彈簧與黏性阻尼的并聯(lián)系統(tǒng)；軌枕考慮為集中質(zhì)量塊，如圖1 所示。

圖1 有砟軌道結(jié)構(gòu)物理模型Fig.1 Physical model of ballast track structure

軌道結(jié)構(gòu)為沿縱向線對稱的重復(fù)周期性結(jié)構(gòu)，因此，本文僅取一個(gè)元胞中的單側(cè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，最小周期的長度為扣件的間隔l。如圖2 所示，相鄰的周期單元之間設(shè)置虛擬彈簧，將轉(zhuǎn)角彈簧和線彈簧同時(shí)連接上一單元的末端與下一單元的首端，二者分別用以滿足轉(zhuǎn)角與位移的周期邊界條件。建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，其中沿鋼軌縱向?yàn)閤 軸，鋼軌的垂向位移與轉(zhuǎn)角分別表示為w，γ，軌枕等效為集中質(zhì)量其垂向振動位移可以表示為u。根據(jù)能量法計(jì)算原理，鋼軌的位移場函數(shù)由形函數(shù)f（x）和與時(shí)間相關(guān)的系數(shù)α（t）表示為

圖2 有砟軌道結(jié)構(gòu)計(jì)算模型Fig.2 Calculation model of ballast track structure

式中：N 為形函數(shù)的個(gè)數(shù)；上標(biāo)H 為Hermite 轉(zhuǎn)置；

1.2 構(gòu)建能量泛函

本文的計(jì)算基于能量泛函變分原理，其中系統(tǒng)的總能量為系統(tǒng)的應(yīng)變能與外力做功之和，因此，下文將對鋼軌的應(yīng)變能與動能、扣件的勢能、軌枕的動能、道砟的勢能以及虛擬彈簧的勢能進(jìn)行計(jì)算。軌道為沿縱向?qū)ΨQ的結(jié)構(gòu)，取一條鋼軌進(jìn)行分析，將鋼軌考慮為Timshenko 梁，根據(jù)能量泛函變分原理，可以得到鋼軌因垂向振動變形而產(chǎn)生的應(yīng)變能、動能可以表示為

式中：UB、EB、Ab、ρb分別為鋼軌應(yīng)變能、動能、橫截面積與密度；Ib為截面慣性矩；kb為剪切系數(shù)；Eb為鋼軌的楊氏模量；Gb為剪切模量（Gb=Eb/2（1+μ），μ 為鋼軌泊松比）；KB、МB分別為鋼軌的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣。

本文中軌枕被等效為集中質(zhì)量塊，則其動能ER可由下式計(jì)算得到

式中：mr、МR分別為軌枕的等效質(zhì)量、質(zhì)量矩陣，O1為2N×2N 的零矩陣。

本文將扣件、有砟道床等效為支撐彈簧，扣件與道砟的垂向剛度系數(shù)可分別表示為ks1，ks2。考慮扣件及道砟的阻尼效應(yīng)時(shí)，扣件剛度和道砟剛度采用復(fù)剛度形式，則二者的剛度可以表示為=kf（1+iηf），=ks(1+iηs) ，其中ηf和ηs分別為扣件和道砟的阻尼損耗因子，則其垂向彈性勢能為

式中：Ks1，Ks2分別為扣件與道砟的彈性勢能矩陣。

本文選擇虛擬彈簧模型來模擬軌道結(jié)構(gòu)滿足周期性結(jié)構(gòu)的條件，各元胞結(jié)構(gòu)之間的虛擬彈簧都需要滿足沿x 軸的位移與轉(zhuǎn)角條件，kx為沿x 軸波數(shù)，則x 軸約束條件與虛擬彈簧的彈性勢能可以表示為

式中：Usp為道砟勢能；kst，ksr分別為虛擬彈簧的位移與轉(zhuǎn)角系數(shù)；Ksp為扣件的剛度矩陣。令λ=e-ikxl，則可以得到虛擬彈簧的剛度矩陣為

綜上，該模型單個(gè)周期單元的系統(tǒng)總能量泛函便可以得到，再由Lagrange 方程可得

式中：M=MB+MR。那么，通過掃描波數(shù)kx，并對式（11）特征值求解就可以得到軌道結(jié)構(gòu)的實(shí)頻散。

1.3 復(fù)頻散計(jì)算

復(fù)頻散的求解模式頻散是通過已知頻率，得到對復(fù)波數(shù)，這是一種逆向求解問題。此時(shí)邊界條件約束內(nèi)存在未知波數(shù)kx時(shí)，直接求解復(fù)平面內(nèi)的非線性問題計(jì)算較為復(fù)雜。因此，為解決這一難題，把虛擬彈簧剛度矩陣Ksp中的含有波數(shù)項(xiàng)與不含波數(shù)項(xiàng)分開，便能夠?qū)⒎蔷€性微分振動方程求解轉(zhuǎn)化為易于求解的線性方程求解特征值問題，可以得到

而后，將上式代入式（10），整理可以得到

為便于求解，再針對上式運(yùn)用降階法，令λα=η，即λα-η= 0，可以得到

由于頻率ω 是已知的，那么通過對上式進(jìn)行特征值求解即可求得λ，則復(fù)波數(shù)kx也可得到，進(jìn)而得到結(jié)構(gòu)頻散復(fù)頻散。

2 數(shù)值分析

本文采用虛擬彈簧來模擬周期邊界條件約束，彈簧剛度系數(shù)的理論值應(yīng)趨于無窮大，但在實(shí)際計(jì)算中無法達(dá)到，須取一個(gè)相對大的值代入計(jì)算，但取值過大又會超過計(jì)算機(jī)的計(jì)算量程導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出錯(cuò)，若是取值偏小則無法達(dá)到準(zhǔn)確性要求。其次，矩陣維度即形函數(shù)的個(gè)數(shù)越多鋼軌形變位移的擬合效果越好，但過多也會增加計(jì)算成本。因此，矩陣維度與虛擬彈簧剛度的取值很大程度上影響著計(jì)算的速度與準(zhǔn)確性。

2.1 收斂性分析

考慮到計(jì)算中矩陣維度和虛擬彈簧剛度系數(shù)對計(jì)算效率性和結(jié)果精確性的影響，本節(jié)將以圖1為結(jié)構(gòu)對象，隨機(jī)選取3 條頻散曲線，采用控制變量法，分析在N，kst，ksr取不同值時(shí)波數(shù)的收斂性，后二者因數(shù)值取值可以相同，統(tǒng)一以ksp替代。有砟軌道結(jié)構(gòu)模型的各項(xiàng)參數(shù)見表1[5]。

表1 雙層有砟軌道結(jié)構(gòu)模型材料參數(shù)Tab.1 Material parameters of double-layer ballasted track structure model

由圖3 可知，在形函數(shù)個(gè)數(shù)N 等于9，kst=1011N/m2，ksr=1011N/rad 時(shí)，各階對應(yīng)波數(shù)的數(shù)值已經(jīng)明顯穩(wěn)定，那么可以認(rèn)為實(shí)際計(jì)算所求得的解便已經(jīng)收斂，后續(xù)計(jì)算也使用此參數(shù)。

圖3 有砟軌道結(jié)構(gòu)模型收斂性分析Fig.3 convergence analysis of ballast track structure model

2.2 準(zhǔn)確性驗(yàn)證

為和既有文獻(xiàn)進(jìn)行對比，在本節(jié)中，將扣件與道砟的阻尼均考慮為0，對有砟軌道模型的復(fù)頻散進(jìn)行求解，具體結(jié)果如圖4 所示，其中灰色標(biāo)注區(qū)域即是計(jì)算所得的頻散帶隙范圍。

圖4 有砟軌道結(jié)構(gòu)頻散曲線圖Fig.4 Frequency dispersion curve of ballasted track structure

由圖3 可見，在0～2 500 Hz 內(nèi)，三段帶隙的范圍分別為：0～130 Hz，181～262 Hz，1 080～1 127 Hz，與文獻(xiàn)[5]中實(shí)頻散的各階帶隙結(jié)果吻合度較高，各段的帶隙起始、截止頻率的對比如表2，驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。

表2 有砟軌道模型帶隙范圍對比Tab.2 Comparison of band gap range of ballasted track modelHz

3 復(fù)頻散特性分析

在實(shí)際軌道結(jié)構(gòu)中，材料往往具有阻尼效應(yīng)和參數(shù)的頻變等。這對軌道結(jié)構(gòu)中波的傳播影響是實(shí)頻散的求解模式難以體現(xiàn)的。相較于實(shí)頻散而言，復(fù)頻散能夠更直觀地表示帶隙內(nèi)波的衰減規(guī)律，便于觀察參數(shù)頻變及阻尼效應(yīng)等對帶隙的影響，本節(jié)就將從這兩方面進(jìn)行分析。

3.1 剛度頻變效應(yīng)分析

由圖1 可以看到，扣件是軌道結(jié)構(gòu)的重要彈性支撐、減振元件，其主要支撐性能源自于扣件系統(tǒng)中的高分子黏彈性材料墊板，而彈性墊板的動剛度又受頻率的影響[14-15]。在實(shí)頻散計(jì)算中，頻率作為因變量不能進(jìn)行頻變效應(yīng)的分析；與之相反，復(fù)頻散計(jì)算中的頻率為自變量，十分便于我們分析扣件剛度的頻變效應(yīng)。Maes 等[16]測量了在20～2 500 Hz 內(nèi)彈性墊板的動剛度與頻率的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)二者具有密切地線性相關(guān)性，且可由下式擬合

式中：kdsp為扣件的動剛度；f0取4 Hz，為起始剛度；kf取25 kN/mm，其中，kf可以認(rèn)為是扣件的靜態(tài)剛度。圖5 為彈簧剛度與頻率的變化曲線圖。

圖5 彈簧剛度與頻率的變化曲線Fig.5 Variation curve of spring stiffness versus frequency

有砟軌道的其他參數(shù)取值和表1 中一致。圖6是頻變效應(yīng)對有砟軌道復(fù)頻散曲線的影響對比。從圖6 中可以明顯看到，在2 000 Hz 內(nèi)，隨著扣件剛度的增加，帶寬與衰減能力均相應(yīng)地增加，頻散曲線整體向高頻移動。但第一階帶隙受剛度的影響相對較小，這是因?yàn)榇藭r(shí)的剛度變化不大。第二、三段頻散的虛部（反映結(jié)構(gòu)衰減）受剛度的影響較大，這與其形成機(jī)理有關(guān)。第二段帶隙形成是鋼軌與軌枕之間的共振所致，因此剛度影響劇烈。扣件剛度的增加使得更大頻率范圍的彈性波向下傳播，從而帶寬增大。第三段帶隙是布拉格散射所致，該段頻率與晶格長度有關(guān)，其帶寬與扣件的剛度相關(guān)。綜上，上述的頻變效應(yīng)會導(dǎo)致低估衰減域的寬度，因此頻變效應(yīng)對振動傳播的影響是不可忽視的。

圖6 有砟軌道結(jié)構(gòu)扣件剛度頻變效應(yīng)頻散曲線圖Fig.6 Dispersion curve of ballast track structure fastenerstiffness frequency variation effect

3.2 阻尼效應(yīng)影響分析

在軌下彈性墊板的阻尼參數(shù)發(fā)生改變時(shí)，扣件阻尼會隨之改變，從而影響到結(jié)構(gòu)振動的傳播。然而在實(shí)頻散計(jì)算中，阻尼往往被忽略不計(jì)，這是因?yàn)閷?shí)頻散無法得到帶隙內(nèi)部的具體衰減情況，但復(fù)頻散結(jié)構(gòu)是通過給定頻率對波數(shù)進(jìn)行逆向求解，能夠直接觀察到帶隙內(nèi)阻尼效應(yīng)對波傳播的影響，彌補(bǔ)了實(shí)頻散無法直觀表達(dá)帶隙內(nèi)波衰減特性的不足。

觀察圖7～圖8，在阻尼參數(shù)變化時(shí)，頻散曲線的實(shí)數(shù)部分無法明顯看出帶隙內(nèi)的衰減變化趨勢，頻散的虛數(shù)部分更直觀地刻畫了禁帶內(nèi)波的衰減規(guī)律，更便于觀察參數(shù)變化對帶隙內(nèi)衰減規(guī)律的影響。阻尼變化對于“pinned-pinned”頻率處的作用較小，但對于局域共振帶隙影響較大，使得無阻尼狀況時(shí)的通帶也發(fā)生了微小衰減，出現(xiàn)局域共振均攤化現(xiàn)象，帶寬增大，帶隙的衰減峰值降低，但結(jié)構(gòu)的整體衰減能力增大，且衰減的程度隨著阻尼的增加而增大。相較于扣件阻尼而言，道砟阻尼的增加對有砟軌道結(jié)構(gòu)的影響更為劇烈。

圖7 有砟軌道結(jié)構(gòu)頻散曲線隨扣件阻尼變化關(guān)系圖Fig.7 Ballast track structure dispersion curve with fastener damping

圖8 有砟軌道結(jié)構(gòu)頻散曲線隨道砟阻尼變化關(guān)系圖Fig.8 Ballast track structure dispersion curve with ballast damping

3.3 綜合影響

根據(jù)3.1 節(jié)，3.2 節(jié)可知，不論頻變效應(yīng)還是材料阻尼對軌道結(jié)構(gòu)的影響都是不可忽略的。而這些又是實(shí)頻散所不能反應(yīng)的。在實(shí)際的軌道結(jié)構(gòu)中，材料阻尼和扣件減振墊的剛度頻變效應(yīng)是同時(shí)存在的，因此為了能夠更加貼合工程實(shí)際，在本節(jié)中，我們將研究阻尼和頻變效應(yīng)疊加時(shí)對頻散曲線的影響。

此時(shí)扣件的頻變效應(yīng)的變化趨勢參考式（14），且f0取4 Hz，kf取25 kN/mm；扣件的阻尼ηf取0.2；道砟的阻尼ηs取1.0。其他參數(shù)取值和表1 一致。

圖9 為不考慮任何效應(yīng)和兩者都考慮的復(fù)頻散曲線對比圖。如圖9 所示，綜合考慮阻尼和頻變效應(yīng)對復(fù)頻散的實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分均有較大影響，尤其是虛數(shù)部分。如圖9（a）所示，實(shí)數(shù)部分的主要影響在前面一、二段帶隙部分，對于布拉格帶隙的影響不大。如圖9（b）所示，阻尼和頻變效應(yīng)使得原本有兩段明顯的衰減區(qū)域合并為一段，在低頻處的波都會發(fā)生衰減，這也就意味著，在200 Hz以內(nèi)的振動可能都會向下傳播到地基；并且布拉格帶隙會被拓寬，衰減程度也會增加。綜合來看，不考慮阻尼和頻變實(shí)頻散，會低估軌道結(jié)構(gòu)的實(shí)際帶隙寬度。

圖9 綜合考慮下的有砟軌道復(fù)頻散曲線圖Fig.9 Ballasted track dispersion curves considering damping and frequency change effects

4 結(jié)論

1）扣件剛度的頻變效應(yīng)對帶隙的帶寬與衰減能力影響較大，在計(jì)算中需要考慮在內(nèi)，不應(yīng)忽略。其中布拉格散射產(chǎn)生的帶隙對剛度的變化尤為敏感。

2）有砟軌道結(jié)構(gòu)的扣件阻尼和道砟阻尼均會使無阻尼狀況時(shí)的通帶產(chǎn)生衰減，雖會降低局域共振帶隙的最大衰減，但增大了衰減域，總體上增加了軌道結(jié)構(gòu)衰減能力。這兩者阻尼對布拉格帶隙的影響不大。

3）綜合考慮頻變效應(yīng)和阻尼對復(fù)頻散的實(shí)部虛部均會產(chǎn)生較大影響，且不考慮任何效應(yīng)會導(dǎo)致實(shí)際帶隙被低估。