桁式鋼管混凝土系桿拱橋拱軸線及吊桿索力優化

徐海賓, 雷余鵬, 李磊

(1.河南理工大學土木工程學院, 焦作 454000; 2.河南省交通規劃設計研究院股份有限公司, 鄭州 450000)

鋼管混凝土系桿拱橋具有跨度大,適應性強,力學性能好,造型美觀等特點,在中外應用較為廣泛[1]。桁式鋼管混凝土系桿拱橋是以鋼管混凝土組合結構作為桁式拱肋的主要受力構件,用腹桿將拱肋各主管相互連接以形成桁式結構。系桿拱橋是一個基于拱肋,系桿,吊桿的三元組合體系,在確定系桿拱橋的最佳成橋狀態的過程中,單一的以拱肋內力或者系桿內力作為判定條件較為片面,將拱肋、系桿、吊桿所組成的三元體系作為一個整體綜合考慮,更加全面、合理。

眾多學者在成橋吊桿索力求解及優化和合理拱軸線求解兩方面做了大量研究,方有亮等[2]提出動態規劃方法對斜拉橋索力進行優化,結果表明主梁豎向位移與理想位移相差很小且內力分布更加合理。徐岳等[3]以結構體系應變能和拱肋截面偏心距最小為目的對下承式系桿拱橋吊桿索力與拱軸線進行優化,在不改變結構截面尺寸的前提下,使拱肋、吊桿和系桿的內力顯著減小。Chen[4]采用智能優化算法對拱橋索力進行優化分析,應用ANSYS優化分析功能對吊桿受力和吊桿結構參數敏感性進行分析,結果表明智能算法提高了短吊桿索力的精準識別。蔡儆等[5]將改進粒子群優化算法應用到系桿拱橋成橋索力優化中,能夠做到收斂速度快、索力合理。占玉林等[6]通過響應面法將優化目標函數與索力的關系顯式化構建響應面方程,并利用粒子群算法進行尋優,結果表明主梁最大剪力差、最大彎矩、豎向位移差均有所減小,索力及主梁彎矩更加均勻,線形更加合理。段君邦等[7]提出混沌映射和改進灰狼算法組合優化模型對拱橋索力進行優化,結果表明該優化模型對數據有良好的學習能力,可應用到拱橋索力優化中。Xie等[8]對傳統影響矩陣法進行改進以優化施工階段索力,結果表明精度滿足橋梁設計要求。郭鑫等[9]采用影響矩陣法對不對稱V型斜跨鋼箱拱橋索力進行優化,優化后索力較為均勻,并對優化后索力不同張拉順序進行研究。

侯春輝等[10]以彎曲能量最小法為目標,基于APDL語言對懸鏈線拱軸系數進行優化計算,方便快捷的計算出了拱軸系數的最優解。Zhang等[11]以主管偏心距最小法對大跨度鋼管混凝土拱橋拱軸線進行優化,顯著減小了拱橋關鍵截面的彎矩。劉永健等[12]求解出下承式拱橋合理拱軸線的解析解,在此基礎上定義了主拱恒載占比系數,得到了基于矢跨比和恒載占比系數的拱軸線快速計算方法,并通過工程實例驗證了方法可靠性。衛星等[13]探討了拱軸線形對鋼管混凝土拱橋結構力學行為的影響,得出拱軸線形對拱腳截面組合應力影響較大的結論。邱辰等[14]提出用級數函數來表示拱軸線方程,結果表明新型拱軸在線理論上的正確性,與懸鏈線相比拱橋內力與應力狀態有較大改善。

桁式拱肋截面與單管或雙管拱肋截面具有明顯差異,在考慮拱軸線線形時很難對桁式拱截面直接進行優化研究,因為每根主管上的偏心距不同導致其形心不一定處于4根主管的中心線上,所以在對桁式拱軸線進行優化時要綜合考慮各根主管的內力分布。同時,吊桿索力變化對桁式拱的各個主管都有影響。上述研究多將拱軸線優化和吊桿索力優化分開考慮,而實際二者相互影響。因此,將二者一并考慮更加合理。現從桁式拱肋各主管的內力分布著手,同時考慮系桿的內力分布情況,通過基于影響矩陣的最小結構體系應變能原理,基于MATLAB編制無約束優化算法程序,確定系桿拱橋最佳成橋狀態。對優化后主拱和主梁截面內力、應力進行分析。

1 吊桿索力優化

系桿拱橋是外部靜定內部超靜定結構,拱肋是以承受壓力為主,承受彎矩為輔的構件;吊桿主要承受軸向拉力,不承受彎矩;系桿同時兼顧承壓和受彎。各構件截面剪力值相應于軸力或彎矩值相比較小,可以暫不考慮。所以系桿拱橋的結構體系應變能包括拱肋和系桿的拉壓應變能和彎曲應變能,表達式為

(1)

式(1)中:Ma(x)和Mt(x)分別為荷載作用下拱肋和系桿的截面彎矩值;Na(x)和Nt(x)分別為荷載作用下拱面和系桿的截面軸力值;Ea和Et分別為拱肋和系桿的截面彈性模量;Ia和It分別為拱肋截面和系桿截面的抗彎慣性矩;Aa和At分別為拱肋和系桿的截面面積。

若采用有限元法對系桿拱橋進行優化分析,則需要對系桿拱橋的拱肋和系桿單元離散化。假設離散單元截面面積和彈性模量為常量,彎矩沿單元軸向線性變化,則單個離散單元內力計算簡圖如圖1所示。

圖1 離散單元彎矩計算簡圖Fig.1 Calculation diagram of bending moment of discrete element

則用離散單元端部彎矩表示單元任意截面的彎矩值的表達式為

(2)

式(2)中:Ln為第n個離散單元的單元長度;Ml,n和Mr,n為離散單元左右兩端的彎矩值;x為任意截面距離左端的距離。

同理,離散單元任意截面的軸力值為

(3)

式(3)中:Nl,n和Nr,n為離散單元左右兩端的軸力值。

將式(2)和式(3)代入式(1)中可得出結構在單元離散化后的結構體系應變能,其表達式為

(4)

式(4)中:Ln為第n個離散單元的單元長度;En為第n個離散單元的截面彈性模量;In為第n個離散單元的截面抗彎慣性矩;An為第n個離散單元的截面面積;n為系桿拱橋的拱肋、系桿的離散單元總數。

若將離散結構單元左端、右端彎矩向量分別記為ML和MR,單元左、右端軸力向量分別為NL和NL,同時構造對角矩陣B和D,對角線元素分別為bii=Li/6EiIi和dii=Li/6EiAi,式(4)可由矩陣表達,即

(5)

假設在成橋狀態下,離散單元彎矩、軸力由外荷載和吊桿索力內荷載產生,則有

(6)

式(6)中:ML0和MR0分別為在外荷載作用下的單元左右兩端彎矩;MLX和MRX分別為在單位吊桿力內荷載作用下單元左右兩端彎矩的影響矩陣;NL0和NR0分別為外荷載作用下的單元左右兩端軸力;NLX和NRX分別為單位吊桿力內荷載作用下單元左右兩端軸力的影響矩陣;X為吊桿索力。

將式(6)代入式(5)中,則有

(7)

當采用無約束優化算法對吊桿索力未知量進行求解時,則需要滿足

(8)

滿足式(8)的X即為使結構體系應變能最小的無約束優化吊桿索力,可通過軟件MATLAB進行求解。

在上述無約束吊桿索力的作用下,系桿拱橋的結構體系應變能會有所降低,但不能保證拱肋截面內力處于最佳狀態。

2 桁式拱拱軸線優化

桁式拱肋是由4根主管和若干腹桿組成的桁式結構,在對其拱軸線進行優化時需要關注每根主管上的內力分布,即同時滿足各主管偏心距達到閾值要求,為主管偏心距最小法。

實現桁式拱主管偏心距最小法的步驟如下。

(1)計算桁式拱肋各主管在初始拱軸線y0時的單元左右兩端的彎矩和軸力,并提取各主管離散單元節點坐標(xi,zi)。

(2)計算各主管截面偏心距e,引入主管偏心距閾值El,將閾值El作為迭代邊界條件。為加快收斂速度,引入節點坐標修正系數λ。迭代過程表明,為快速實現偏心距達到閾值,偏心距大于15 mm時,λ取1.2,反之則取0.5。

(3)若需要對節點坐標進行修正,修正量的計算公式為

Δi=λe

(9)

(4)計算修正后的各單元節點坐標,將修正后的節點坐標代入有限元模型中。重新計算單元兩端彎矩和軸力并計算偏心距,直至各主管的偏心距均滿足e≤El。閾值El取0.01 m。

以最小結構體系應變能原理對吊桿索力優化的同時,采用主管偏心距最小法對桁式拱肋拱軸線進行優化。在偏心距滿足閾值后的優化吊桿索力為最優索力,對修正后的節點坐標進行擬合成光滑曲線作為合理拱軸線。系桿拱橋在擬合拱軸線和優化吊桿索力的作用下,能夠滿足全橋結構體系應變能達到最小且拱肋彎矩處于較小且均勻的狀態。系桿拱橋一體優化流程如圖2所示。

圖2 拱橋一體優化流程Fig.2 Arch bridge integrated optimization process

3 工程應用

河南某下承桁式鋼管混凝土系桿拱橋,工程概況為:主橋理論跨徑為L=160 m,計算矢高f=32 m,矢跨比f/L=1/5;拱軸線形為懸鏈線,拱軸系數m=1.3;主拱為鋼管混凝土結構,4根主管由腹桿連接起來形成桁式結構;拱肋主管采用變截面,在距離拱腳20 m處,鋼管壁厚由0.02 m變為0.016 m,單根鋼管直徑為0.9 m;管內填充C50微膨脹混凝土,腹桿內不填充混凝土;主梁采用箱型變截面,端部是實體結構,跨中采用箱型截面;全橋吊桿共48根,吊桿間距為6 m。

為模擬橋梁所受實際荷載,在恒載+0.5倍活載作用下對橋梁進行分析。橋梁恒載包括一期、二期恒載,一期恒載包括自重,二期恒載包括橋面鋪裝、拱肋護鎖區荷載、欄桿荷載等;活載包括汽車荷載以及人群荷載。C50混凝土容重按26 kN/m3,鋼材容重80 kN/m3,鋪裝厚度為0.01 m瀝青混凝土,容重為24 kN/m3,汽車荷載為公路-I級×1.3倍,人群荷載集度為3.5 kN/m2。基于Midas Civil的有限元模型如圖3所示。

圖3 全橋有限元模型Fig.3 Full bridge finite element model

3.1 求解優化吊桿索力及合理拱軸線

通過迭代計算,求解出一組無約束優化吊桿索力值和索力設計值對比如圖4所示;對各主管控制截面修正后節點坐標用三次樣條差值函數進行拱軸線擬合,選取使各主管內力較優的那根主管拱軸線作為各主管拱軸線。經過對比分析,選取上弦桿控制截面節點坐標擬合的拱軸線作為各主管的合理拱軸線。上弦桿控制截面節點坐標變化如表1所示。

表1 上弦桿控制截面節點坐標變化Table 1 Change of control section dode coordinates of upper chord

圖4 優化前后吊桿索力對比Fig.4 Comparison of suspender cable force

由表1可得出:上弦桿各控制截面節點坐標調整值最大的節點在距離拱腳6 m處,調整值為0.223 m;調整值最小的節點在距離拱腳39 m處,調整量為0.001 m。由此可以看出,對拱軸線進行優化時,拱肋節點坐標調整幅度較小。

由圖4可得出:優化后吊桿索力值較設計值均有不同程度的減小且更加均勻,其中9號吊桿索力降低最多,減小了826 kN,減小約37.5%;1號短吊桿減小了804 kN,減小約28.7%,說明短吊桿在運營階段不易發生疲勞破壞,有利于吊桿在成橋狀態下的安全使用。

3.2 內力分析

選取上、下弦桿半結構作為內力比較對象。優化前后拱橋上、下弦桿彎矩值對比如圖5所示。

圖5 主拱上、下弦桿彎矩值對比Fig.5 Comparison of bending moment of main arch upper chord and lower chord

由圖5可得出:上、下弦桿截面彎矩圖走勢大致相同,優化前跨中截面均為上下錯落走勢,優化后變得均勻,最大彎矩值均出現在拱腳處。上弦桿拱腳處的彎矩值優化后有所減小,在兩端拱腳處分別減小了767 kN·m和665 kN·m,分別減小約47%和42%;下弦桿拱腳處的彎矩值優化后反而有所增大,拱腳兩端分別增大了400 kN·m和561 kN·m,分別增大了40%和57%。優化前后,上、下弦桿的彎矩值除拱腳外都有所減小且在主拱跨中位置彎矩值變得均勻。軸力值對比如圖6所示。

圖6 主拱上、下弦桿軸力值對比Fig.6 Comparison of axial force of main arch upper chord and lower chord

由圖6可得出:上、下弦桿的軸力分布趨勢各自大致相同,上弦桿在近端拱腳處軸力基本沒有發生變化,遠端拱腳處軸力發生了突變,整個上弦桿的跨中控制截面處軸力均有不同幅度的減小,最大處減小了851 kN,減小了7%;下弦桿拱腳處軸力有所減小,兩端分別減小了1 246 kN和1 476 kN,減小了8%和10%,跨中控制截面軸力略有增大,增大值為200 kN,增大了2%。上、下弦桿各控制截面的總軸力值有所減小,說明由軸力產生的拉壓應變能減小。

主梁優化前后彎矩值和軸力值對比如圖7所示。由圖7可得出:主梁彎矩值和軸力值優化前后的變化幅度不大,主梁彎矩值在優化后的跨中正彎矩區和邊跨與拱腳連接處的負彎矩區均有所增大,優化后最大負彎矩在拱腳處為-23 536 kN·m,最大正彎矩在跨中處為11 074 kN·m;主梁全截面受壓,最大軸力值均在拱腳處為60 100 kN,符合剛性系桿能夠同時承受彎矩和軸力的特點。

圖7 主梁彎矩值、軸力值對比Fig.7 Comparison of bending moment and axial force of main girder

3.3 應力分析

鋼管混凝土作為組合結構,鋼管和混凝土的承載力是不同的,需要對其截面處應力分配情況進行計算,判斷鋼管和混凝土所分配應力是否滿足承載力要求。何星傳等[15]對鋼管混凝土拱橋的拱肋截面應力分布情況進行了公式推導,得出了鋼管混凝土拱肋的截面應力是按照材料的彈性模量進行分配。

對于小偏心受壓構件其應力比公式為

(10)

式(10)中:σs和σc分別為鋼管和混凝土的應力;Es和Ec分別為鋼管和混凝土彈性模量;Is和Ic分別為鋼管和混凝土的截面慣性矩;As和Ac分別為鋼管和混凝土的截面面積;D和d分別為拱肋截面直徑和鋼管壁厚。

本文研究中的鋼管混凝土拱肋各離散單元屬于小偏心構件,適用于式(10)。系桿拱橋拱肋鋼材采用的是Q345,其屈服強度為345 MPa;管內混凝土采用的是C50微膨脹混凝土,其抗壓強度為50 MPa。通過式(10)進行計算,鋼管和混凝土應力分布結果如圖8和圖9所示。

圖8 主拱上、下弦桿鋼管應力Fig.8 Steel tube stress of upper and lower chord of main arch

圖9 主拱上、下弦桿混凝土應力Fig.9 Concrete stress of upper and lower chord of main arch

由圖8可得出:上、下弦桿鋼管所分配的應力較大值均現在拱腳處。上弦桿拱腳處鋼管的應力值分別為104 MPa和110 MPa,下弦桿分別為131 MPa和137 MPa,均小于Q345鋼材的屈服強度345 MPa。跨中大部分應力值都在50～80 MPa,說明跨中各控制截面的應力值均遠小于鋼材的屈服強度,保證了成橋狀態下鋼管不會屈服。

由圖9可得出:上、下弦桿混凝土所分配應力值基本處于8.5～14 MPa,均小于C50微膨脹混凝土的抗壓強度,說明在成橋狀態下混凝土不會發生受壓破壞,保證了運營階段管內混凝土的安全使用。

4 結論

對桁式系桿拱橋拱肋、吊桿、系桿的三元體系結構的最佳成橋狀態進行分析,采用基于影響矩陣的最小結構體系應變能原理對系桿拱橋吊桿索力進行優化,并通過無約束優化算法進行求解;以主管偏心距最小法對桁式拱肋拱軸線進行優化。對主拱和主梁內力進行對比分析以及組合結構截面應力分配進行計算,得出以下結論。

(1)優化后吊桿索力值與設計值相比均有不同程度的減小且吊桿索力更加均勻,提高了吊桿使用階段的安全性;最短吊桿的索力減小了近30%,對于短吊桿線剛度大對應吊桿索力大的特點,降低其索力值使短吊桿在成橋狀態下不易發生疲勞破壞。

(2)以主管偏心距最小法對桁式拱拱軸線的優化可以顯著降低主拱上、下弦桿各主管截面彎矩值和軸力值,同時實現各主管除拱腳外的截面上彎矩處于一個均勻的狀態,符合柔性拱受力特點。下弦桿拱腳處彎矩值有所增大,但系桿拱橋拱腳處構件截面尺寸較大,可以承受較大彎矩值。

(3)一體優化方法對主梁內力優化效果并不明顯,其原因是主梁內力主要依靠主梁預應力和構件截面尺寸來調整。

(4)在優化吊桿索力和合理拱軸線作用下的拱橋,拱肋截面鋼管和混凝土截面分配應力均小于材料承載力,符合規范要求。