BFSK 信號循環平穩特性分析

王 召，劉大偉

（中國民用航空飛行學院洛陽分院，河南 洛陽 471000）

在通信、遙測、雷達和聲吶系統中，一些人工信號是一類特殊的非平穩信號，它們的非平穩特性表現為周期平穩[1]。以雷達回波為例，若天線指向不變，則地雜波的回波等于照射區域所有散射體的子回波之和，雖然有隨機起伏，但整體是平穩的。若天線隨時間作勻速轉動，則在一個掃描周期內，地雜波的回波是非平穩的，但是每經過一個掃描周期后，天線又指向原處，則回波的非平穩性表現為周期平穩，此時平穩過程模型將不再適用于此類信號，因此，引入循環平穩信號的概念[2]。

1 BFSK 信號循環平穩特性

1.1 循環平穩過程定義

通常把統計特性呈周期或多周期（各周期不能通約）平穩變化的信號統稱為循環平穩或周期平穩，循環平穩信號可進一步分為一階（均值）、二階（相關函數）和高階（高階累積量）循環平穩[3]，信號的循環平穩特性通常表現在信號的二階統計量上，即信號的自相關特性。

一個隨機過程x（t），如果其均值Ex（t）和自相關函數Rx（t，τ）均具有周期性（周期均為T），即滿足

那么這個隨機過程稱為廣義的循環平穩過程[3]，對應的信號稱為循環平穩信號。

1.2 BFSK 信號模型

頻移鍵控信號（FSK），其實質是利用載波頻率來傳送數字信息，即利用所傳送的數字信息來控制載波頻率。BFSK 信號為二進制頻移鍵控信號，其具體形式數字符號“0”對應載波頻率f1，符號“1”對應載波頻率f2，即其信號模型為

式中：f1、f2為載波頻率，θ1、θ2為初始相位，g（t）為矩形脈沖（開關信號），Ts為矩形脈沖的寬度，aˉn與an互為反碼。

1.3 BFSK 信號循環平穩特性分析

要證明BFSK 信號具有循環平穩特性，應證明其均值和自相關函數是具有相同周期的周期函數[4]。

BFSK 信號x（t）的均值表示為

由式（5）可得，BFSK 信號x（t）是關于時間t 的周期為T0=1/f1或T0=1/f2的周期函數。

由時變自相關函數的定義式可得，BFSK 信號的時變自相關函數（對稱形式）為

由式（6）可得，BFSK 信號x（t）的時變自相關函數是關于時間t 的周期為T0=1/f1或T0=1/f2的周期函數。

綜上可得，BFSK 信號x（t）的期望與時變自相關函數為具有相同周期T0的周期函數，即有BFSK 信號是循環平穩信號。

1.4 BFSK 信號的循環自相關函數和循環譜

結合式（6），由循環自相關函數的定義式可得，BFSK 信號的循環自相關函數（對稱形式）為

由式（7）可得，循環自相關函數Rαx（τ）是關于時延τ 和循環頻率α 的二元函數。信號x（t）的循環自相關函數中存在非零的α 頻率的譜線（α=±2f1、α=±2f2），使得Rαx（τ）≠0，由二階循環平穩的判定依據可得，BFSK信號是二階循環平穩信號。

由循環維納-辛欽關系可得，BFSK 信號的循環譜密度函數的表達式為

由式（8）可得，BFSK 信號的循環譜密度函數在平面（α，f）上共存在8 個譜峰，其位置分別如下：點（±2f1，0）、（±2f2，0）、（0，±f1）和（0，±f2），具體的仿真驗證見下文。

2 數值仿真結果

為驗證本文推導出的BFSK 信號具有循環自相關函數和循環譜的正確性，根據BFSK 信號模型，分別給出循環自相關函數和循環譜的仿真結果。

2.1 仿真參數設置

表1 給出了BFSK 信號循環平穩特性仿真環境的主要技術參數。

表1 仿真參數

2.2 仿真結果

圖1 為BFSK 信號的時域波形圖。由圖1 中可得，BFSK 信號中載波頻率隨數字信息0 或1 變化：數字符號“0”對應載波頻率f1，數字符號“1”對應載波頻率f2。

圖1 BFSK 信號的時域波形

圖2 為BFSK 信號的循環自相關函數（CAF）三維圖，圖中X 軸表示時延，Y 軸表示循環頻率α，Z 軸表示循環自相關函數Rαx（τ）的幅值。由圖2 可得：BFSK 信號的循環自相關函數在X-Y 平面上存在5 處譜峰，譜峰位置如圖2 所示，與理論推導公式（7）整體相一致。

圖2 BFSK 信號的循環自相關函數（CAF）三維圖

圖3 為BFSK 信號的循環自相關函數等高線圖（俯視圖），圖中X 軸表示循環頻率α，Y 軸表示時延。由圖3 可得：在（α=0、α=±800 Hz、α=±1 600 Hz）處存在5 處譜峰，與式（7）理論整體相吻合。

圖3 BFSK 信號的循環自相關函數俯視圖

綜上仿真結果可得，對于BFSK 信號，其循環自相關函數在非零頻率（α=±2f1、α=±2f2）處出現明顯的峰值，即滿足Rαx（τ）≠0，由二階循環平穩的判定依據可得，BFSK 信號是二階循環平穩信號。

圖4 為BFSK 信號的循環譜密度函數圖，圖中X軸表示譜頻率f，Y 軸表示循環頻率α，Z 軸表示循環譜的幅值。由圖4 可得：BFSK 信號的循環譜在X-Y 平面上有8 個譜峰，譜峰位置如圖4 所示，與理論推導公式（8）整體相一致。

圖4 BFSK 信號循環譜密度函數（CSD）三維圖

BFSK 信號的循環譜密度函數在平面（α，f）上共存在8 個譜峰，其位置分別如下：點（±2f1，0）、（±2f2，0）（0，±f1）和（0，±f2）。

圖5 為BFSK 信號的循環譜密度函數沿α=0 的切面圖，圖中X 軸表示譜頻率f，Y 軸表示循環譜密度函數Sαx（f）的幅值。由圖5 可得：循環譜密度函數在α=0 處有4 處譜峰，位置分別為（0，±f1）和（0，±f2），印證了載波的頻譜搬移的作用，與理論推導公式（8）整體相一致。

圖6 為BFSK 信號的循環譜密度函數沿f=0 的切面圖，圖中X 軸表示循環頻率α，Y 軸表示循環譜密度函數Sαx（f）的幅值。由圖6 可得：循環譜密度函數在f=0處有4 處譜峰，位置分別為（±2f1，0）、（±2f2，0），與理論推導公式（8）整體相一致。

圖6 循環譜密度函數沿f=0 的切面圖

圖7 為BFSK 信號功率譜密度函數圖，圖中X 軸表示頻率f，Y 軸表示功率譜的幅值。與圖5 的結果相吻合，進一步驗證了循環譜密度函數理論分析的正確性。

圖7 BFSK 信號功率譜密度函數

綜上仿真結果可得，對于BFSK 信號，在（±2f1，0）和（±2f2，0）處存在譜峰，即有α1=±2f1和α2=±2f2處表現出譜相關特征；f=0 截面上的譜峰間距比α=0（功率譜）截面上譜峰間距大，且為2 倍關系，即有α2-α1=2（f2－f1）。

3 結論

本文證明了BFSK 信號具有循環平穩特性，推導了BFSK 信號的循環自相關函數和循環譜密度表達式，結果表明，BFSK 信號的循環譜位置與2 個載波頻率有關，計算機仿真驗證了理論分析的正確性，為測距儀信號的循環平穩特性分析提供了參考借鑒。