談談二面角的三種求法

林菊芳

二面角問題的常見命題形式有：（1）求二面角的大小或范圍；（2）證明兩個平面互相垂直；（3）根據二面角的大小求參數的取值范圍.這類問題主要考查同學們的空間想象能力和運算能力.那么，解答這類問題有哪些方法呢？下面結合實例進行歸納總結.

一、直接法

直接法是指直接從題目的條件出發，通過合理的運算和嚴密的推理，得出正確的結果.我們知道，二面角的大小可用其平面角表示，因此求二面角的大小，關鍵是求其平面角的大小.在求二面角時，需先仔細審題，明確題目中點、線、面的位置關系，靈活運用三垂線定理、勾股定理、正余弦定理、夾角公式，根據二面角以及平面角的定義，作出并求出平面角，即可運用直接法快速求得問題的答案.

解答本題主要運用了空間向量法.首先利用面面垂直的性質定理得出OE ⊥ 平面ABCD ；然后找出兩兩垂直的三條直線，據此建立空間直角坐標系，求得各個點的坐標和各個平面的法向量（即垂直于平面的直線的方向向量），即可利用空間向量夾角公式解題.

一般地，若容易作出二面角的平面角，往往可以采用直接法求二面角的大小.該方法比較常用，且較為簡單，只需根據題意進行推理、運算，利用二面角的平面角的定義求解.如果不易找出或求出二面角的平面角，則往往需采用射影面積法和空間向量法，通過求平面圖形的面積和平面的法向量，來求得二面角的大小.同學們要熟練掌握這些常用方法的特點和應用技巧，以在求解二面角問題時做到得心應手.（作者單位：湖北省團風中學）