談談求解幾何體外接球半徑問題的兩種措施

李金山

若一個幾何體的所有頂點都在同一個球面上，則稱這個球是這個幾何體的外接球，這個球的半徑為幾何體的外接球的半徑.求幾何體外接球的半徑問題側重于考查簡單幾何體的特征以及球的定義，對同學們的空間想象和觀察能力有較高的要求.接下來，結合幾個例題，詳細介紹一下求幾何體外接球半徑的兩種措施.

一、利用轉化法

在求幾何體外接球的半徑時，我們經常要用到轉化法.首先要仔細觀察幾何體的特征，以確定球心的位置；然后過球心和幾何體的一個頂點作幾何體底面的垂線；再根據幾何體的特征添加輔助線，將問題轉化為平面圖形中的線段問題，利用平面幾何中的勾股定理、正余弦定理、相似三角形的性質、平行四邊形的性質、圓的定義等來求得各條線段的長，進而求得球的半徑.

一般地，若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，其長度分別為a、b、c ，就可以將這個三棱錐補成棱長分別為a、b、c 的長方體；若四個面均為直角三角形，則可以將其補為長方體；若棱錐的一條側棱垂直于底面，則可以將其補為直棱柱.

雖然求幾何體外接球的半徑較為復雜，但是只要仔細研究幾何體的結構特征，添加合適的輔助線，進行合理的割補，即可使復雜的問題簡單化，快速求得問題的答案.

（作者單位：江蘇省沭陽如東中學）