2019年高考數學浙江卷壓軸題的自然解法

甘志國

(北京豐臺二中,北京 100071)

文章針對2019年高考數學浙江卷第22題壓軸題給出多種自然解法.

注:e=2.718 28…為自然對數的底數.

分析在第(1)問中,參數a變成了常數-3/4,因而難度不大,只是在根式求導、恒等變形上有些計算量.

可嘗試著用減元法來證明這個二元條件不等式成立.

①

故h(t)單調遞增.

4tlnt+t2+1≤0

②

下面用四種方法證明該結論成立.

進而可得

下證當00.

再由恒等式4x3+8x2+5x-1=(2x+1)(2x2+3x-1)+4x,可得欲證結論成立.

再證當x>1時,φ′(x)<0,即證

4x4+4x3-3x2-6x+1<0,

即證(x-1)(4x3+8x2+5x-1)<0,

即證4x3+8x2+4x+(x-1)>0.

進而可得欲證結論成立.

所以φ(x)在(0,1),(1,+∞)上分別單調遞增、單調遞減.再由φ(1)=0,可得不等式②成立.

再由恒等式8t4-8t3+9t2-4t+4=2t2[(2t-1)2+3]+(t-2)2,可得ρ′(x)<0,ρ(x)單調遞減.又由ρ(1)=0,可得φ(x)在(0,1),(1+∞)上分別單調遞增、單調遞減.再由φ(1)=0,可得不等式②成立.

解法3在不等式②中可設x=t4(x>0),得

因而不等式②成立.

所以r(x)單調遞增,得

③

④

小結在高考導數題中,求參數取值范圍時,常常用特殊值試探出一個必要條件(即得到參數的一個取值范圍;對于難一點的問題,有時要多取幾次特殊值,得到參數的最小取值范圍,即求交集),再想辦法證明該必要條件也是充分條件(往往是要證明一個條件不等式成立).如果是多元不等式,往往需要減元,減元的方法有主元法、均值不等式法、分類討論法、換元法(有時用三角換元法還可把無理式化成有理式)等.