基于精確星歷最小二乘擬合的軌道快速遞推方法*

車 征

（陜西星邑空間技術有限公司 西安 710043）

1 引言

高精度的軌道快速遞推模型可為衛星敏感器、控制器等部件的在軌自主工作提供位置輸入信息。由于星上計算資源和運算效率限制，無法使用高精度數值積分方式進行軌道預報。傳統的攝動分析方法采用一階或二階攝動理論［1～2］，雖然能夠進行較快速的平均根數與瞬時根數的轉換和軌道遞推，但需要計算大量的公式推導工作，且在攝動模型項較多時運算仍然較為復雜。GPS 星歷外推使用了一種參數擬合的方式，將攝動規律轉為有限個參數描述的近似項［3～5］。參數個數從最初的16參數、發展出18 參數、22 參數等［6～9］。這種方法具有很高的擬合精度，但缺點是僅僅適用于短時間內的位置解算，當擬合時段變長則誤差急劇增大，且沒有包含速度信息，不適合用于長時間軌道遞推［10～13］。還有一種方法是多項式插值方式［14～15］，在擬合區間內能夠實現很高精度，但多項式階數較高時計算量較大，且用于預報存在發散趨勢。

本文從瞬根數變化規律中提取軌道根數各分量的頻率信息，使用含少量待定系數的三角函數和線性函數組合關系式描述軌道根數的變化趨勢，使用精確動力學預報結果通過最小二乘擬合的方式確定系數值。避免了復雜的解析公式運算，同時保證了與精確動力學模型預報結果的吻合度。仿真算例表明擬合結果可以保證24h 平均預報誤差小于400m，且計算耗時小。

2 擬合模型

基本思想為根據瞬根周期規律進行傅里葉分解，找出每個根數變化的短周期頻率，分別指定擬合函數，對每個軌道根數單獨擬合。以第一類無奇點根數為變量，定義各個分量的變化規律如下：1）a的周期為T/2，還包括隨時間線性變化項。2）ex和ey的周期為T/3和T。3）i的周期為T/2和1/2天。4）Ω的周期為T/2，還包括隨時間線性變化項。5）λ的周期為T和1/2天，還包括隨時間線性變化項。T為平均軌道周期。因此設置擬合函數如下式：

一共有30 個參數。對六根數分別擬合，設待擬合的參數符號為x（代表a，ex，ey，i，Ω，λ中的一個），待擬合參數的初值為x0到xn，則：

利用不同時間共m 組x 的精確動力學模型預報數據，有

其中L=xpre-x為按照式（1）和時間序列預報的xpre與真實動力學積分得到的x之間的偏差。

則根據L可以反算出x0到xn應修正量和修正后的待擬合變量為

其中（a，ex，ey，i，Ω，λ）對各自待擬合變量的偏導數為

重復式（3）～（6）直到計算的x0到xn應修正量接近0，即表示待擬合變量收斂。由于最小二乘方法需要一個較為準確的初值才能穩定收斂，下節給出初值的計算方法。

3 擬合初值計算方法

3.1 a的系數初值計算

對于給定的數值積分獲得的一系列時刻的a（ti），i=1 到N，首先根據大氣衰減較小的假設，取a3=0。然后根據式（1），可知

當tf遠大于T時，可以認為

其中Δt為數據時間間隔，且(N-1)ΔtΔn是一個小量，則

T作為常值用于隨后各個軌道根數系數的擬合過程中。根據式（1）的性質，可知：

則：

3.2 ex，ey 的系數初值計算

則

求解方程組得：

同理利用

可計算：

ey的初值計算與式（15）到式（18）完全相同。

3.3 i的系數初值計算

同樣地，i0初值直接取i 的平均值，。根據和i(T)的特性，有：

3.4 Ω的系數初值計算

根據：

可得：

3.5 λ 的系數初值

首先λ3初值取為式（10）中的軌道角速度n。

根據下式：

得：

再根據下式：

得：

4 測試結果

初始瞬根為［7130km，0，98°，0°，0°，360°］。則擬合一天的參數為

a=7120.9688+9.0790 sin(2πt/T+1.5751)-3.3803e-08t

ex=-0.00046978+0.0007439 sin(6πt/T+1.5752)+0.0002941 sin(2πt/T-1.5749)

ey=2.2291e-5+0.0007435 sin(6πt/T+0.004545)+0.0009327 sin(2πt/T-3.1340)

i=1.7105+8.9871e-05 sin(4πt/T-1.5839)+2.7833e-05 sin(2πt/43200-0.6091)Ω=2.0126e-05+9.0666e-05 sin(4πt/T-3.1393)+1.9014e-07t

λ=0.0001174+0.0009410 sin(2πt/T-3.0928)+0.001049t+9.7748e-05 sin(2πt/43200-2.1751)+9.4583e-05 sin(4πt/T+0.008591)

對應的殘差換算到三維位置偏差見圖1，平均總誤差小于400m。設去除3 倍周期以內的短周期項后的剩余長期項（常數項、長周期項和時間線性項）為平根數，與瞬根的對比如圖2～圖7。

圖1 位置殘差

圖2 半長軸長期項提取

圖3 ex長期項提取

圖4 ey長期項提取

圖5 i長期項提取圖

圖6 Ω長期項提取

圖7 λ 長期項提取

可見擬合獲得的平根能夠很好地反映軌道根數長期變化。

5 結語

本文使用三角函數和時間線性函數來逼近低軌近圓軌道的軌道根數變化趨勢，給出了最小二乘擬合函數系數的算法和流程，并設計了快速獲得擬合系數初值的計算方法。仿真實例表明，擬合方法能夠快速獲得較高精度的軌道根數遞推函數，24h數據擬合精度達到400m，且計算量很小。算法可用于星上快速軌道遞推和瞬平根數轉換。