基于變徑基圓漸開線渦旋壓縮機的幾何模型及優化研究

彭 斌, 劉慧鑫, 陶耀輝

(蘭州理工大學 機電工程學院,蘭州 730050)

渦旋壓縮機具有結構簡單、噪聲低、效率高等優點,廣泛應用于制冷、醫療、食品等行業[1].傳統由基圓漸開線構成的渦旋壓縮機在幾何理論、熱動力學模型及優化等方面的研究已經趨于成熟[2].而變徑基圓渦旋壓縮機較高的齒頭強度、較低的齒高、較小的渦旋齒質量使得其具有更好的綜合性能[3-4].

目前,對變徑基圓渦旋壓縮機的研究主要集中在型線設計及幾何模型推導層面,田亞永[5]利用微分幾何共軛曲面理論,證明了變徑基圓漸開線作為渦旋型線的可行性;丁佳男等[6]推導了漸開線發生角是否在X軸起始位置的兩種變基圓渦旋型線的雙圓弧齒頭修正幾何模型;王吉岱等[7]構建了變基圓渦旋膨脹機的幾何模型并推導了各膨脹腔的容積計算公式;唐景春等[8]推導了變徑基圓型線齒頭雙圓弧加直線修正幾何模型,研究了修正角度對修正齒軸向投影面積及內壓比的影響.

對渦旋壓縮機的優化主要集中在幾何參數的研究,采用的方法主要為線性加權法、pareto支配法.陳進等[9]首次提出了利用多目標遺傳算法優化渦旋型線參數的方法;彭斌等[10]推導了單渦圈雙圓弧及雙圓弧加直線修正齒頭的幾何模型,借助多目標遺傳算法對各參數進行了優化分析;Peng等[11]利用改進的遺傳算法對低壓比的雙渦圈渦旋壓縮機的比功率及型線參數進行了優化選取;劉濤等[12]基于自適應的NSGA-II算法,以軸向力與內容積比為優化目標,對變截面渦旋壓縮機性能進行了優化研究.

以上對渦旋壓縮機的研究主要集中在等壁厚圓漸開線渦旋類型且關于變徑基圓渦旋壓縮機幾何模型的研究,存在著模型不完善、不精確等問題.同時對變徑基圓渦旋壓縮機的優化研究考慮的約束較少[13].因此,本文在完善變徑基圓渦旋壓縮機幾何模型的基礎上,嘗試構建一種考慮約束條件的多目標優化分析模型,為變徑基圓渦旋壓縮機的優化研究及定量分析提供進一步的理論參考.

1 變徑基圓渦旋壓縮機的幾何模型

1.1 變徑基圓渦旋壓縮機渦旋齒的幾何模型

變徑基圓渦旋壓縮機渦旋齒結構是由相位差為π的動靜渦旋齒構成,其基本幾何結構參數如表1所示,根據法向等距原理[14]推導其動渦旋齒型線方程如下.

表1 基本幾何結構參數Tab.1 Basic geometric parameters

動渦旋齒外側型線方程:

(1)

式中:c=δ0/a0.

動渦旋齒內側型線方程:

(2)

Rob=a0(π-αin-αou)+

(3)

根據表1所示基本幾何結構參數構建的齒頭修正變徑基圓渦旋壓縮機在吸氣結束時刻的動、靜渦旋齒嚙合幾何模型如圖1(a)所示,工作腔從外到內依次為第3壓縮腔、第2壓縮腔及中心腔, 嚙合三維模型如圖1(b)所示.

圖1 動靜渦旋齒幾何模型Fig.1 Schematic diagram of geometrical model of orbiting and fixed scroll teeth

由于變徑基圓渦旋齒在不同展角處的基圓半徑及齒厚都不相同,其齒頭修正方法與普通圓漸開線渦旋齒齒頭雙圓弧修正有一定的差異,文獻[3]中給出了其修正原理示意如圖2(a)所示.圖中:t1,t2,t3為齒頭部分3處齒厚的大小;Rin,Rou為修正圓弧及連接圓弧半徑;aou為漸開線展角Φ處對應的基圓半徑;ρou為外型線的曲率半徑;γ,β,λ,d1為修正角度及距離參數.在此基礎上,利用面積分塊法推導其修正齒面積如圖2(b)所示.圖中,Sbj為單個完整渦旋齒未修正部分面積.

圖2 雙圓弧齒頭修正原理及齒頭面積計算模型Fig.2 Modification principle and teeth head area calculation model of double-arc modification

修正齒軸向投影面積為

Sm=S1+S2-S3+S4

(4)

式中:S1為扇形BEC的面積;S3為扇形A′FB的面積;S2為漸開線扇形EHC面積;S4為漸開線扇形OHPO與三角形POF的面積和.

1.2 變徑基圓渦旋壓縮機3種工作腔容積求解方法比較分析

準確且簡便的渦旋壓縮機工作腔容積變化規律是其幾何模型及熱動力學模型建立與求解的關鍵,目前常用的求解方法有法向等距法[15]、圖解法以及格林定理法[16].利用格林定理不難推導封閉壓縮工作腔的軸向投影面積為

(5)

式中:xf,in,yf,in為靜渦旋齒內側型線方程.

當φou=φe時有:

(6)

因此,單個吸氣腔軸向投影面積計算公式為

As=A(φe)

(7)

壓縮腔投影面積隨主軸轉角θ的變化規律為

A(θ)=A(φe-θ)

(8)

對表1所示渦旋壓縮機的基本幾何結構參數利用3種求解方法進行求解比較分析,其示意如圖3所示.

圖3 不同容積求解方法計算結果對比Fig.3 Comparison of calculation results of different working chamber volume solving methods

由圖3可見,利用3種方法求解的壓縮腔軸向投影面積變化規律高度一致.對3個不同轉角位置(如圖3中1, 2, 3)所示的曲線放大觀察,格林定理法與圖解法的誤差較小而法向等距與其兩者的誤差相對較大,在這3個位置處格林定理法與圖解法的誤差分別為 0.036%、0.055%及 0.042 3%,主要原因是作圖時的測量誤差;法向等距法與圖解法的誤差分別為0.106%、0.128%及 0.078 4%.兩者產生差異的原因是格林定理法的計算過程是直接利用生成變徑基圓渦旋齒的型線參數方程進行代入求解,因此,誤差相對較小;而法向等距法進行了幾何等效處理,在平移組成封閉工作腔的內外型線時會造成微小的面積偏移誤差,格林定理法雖然精度較高,但由于組成封閉工作腔的型線類型在不斷變化,對于吸氣過程及后續壓縮過程面積的推導極其抽象復雜[17].相反,法向等距法由于其簡單易懂且精度滿足要求,廣泛應用于變壁厚渦旋壓縮機的幾何模型快速建立中.

對3組不同幾何結構參數的變徑基圓渦旋壓縮機進行計算分析,研究其吸氣結束時刻的單腔軸向投影面積的大小,計算結果如表2所示.表中幾何參數1來源于表1,幾何參數2和3分別來源于文獻[18]和[19].

表2 單腔軸向投影面積

從表2可知,3組不同幾何結構參數的變徑基圓渦旋壓縮機的吸氣終了軸向投影面積大小滿足圖3所示的變化規律,再次證明了以上關于幾何分析的正確性及通用性.

1.3 完整工作腔容積的變化規律

文獻[15]中利用法向等距法給出了變徑基圓渦旋壓縮機壓縮腔及排氣腔容積的計算公式,對相應公式進行坐標變換及利用法向等距法推導出吸氣腔的容積V0,計算公式如下.

當0≤θ≤2π時,

V0=2HRob{L0+δ0[(φe-π-θ)δ1-

(φe-π)δ1-54.789 1sinθ]}

(9)

式中:H為齒高;L0為基線長,

L0=

(10)

行程容積為

Vs=2HAs=V0(2π)

(11)

式中:V0(2π)為θ=2π時V0的函數值.

理論內壓縮比為

(12)

式中:θd為開始排氣角;V(θd)為θ=θd時完整工作腔容積V的函數值;k為絕熱指數.

由于渦旋壓縮機的實際動、靜渦旋盤是沿著齒高(軸向)方向進行拉伸生成的,所以工作腔容積及渦旋齒體積的計算為相應幾何體的軸向投影面積與齒高的乘積,為了使得計算量減小,令H取值為 1 mm,但不影響變徑基圓渦旋壓縮機工作腔容積及相應幾何模型變化規律的趨勢及精確程度.利用MATLAB數值計算軟件對表1所示參數的變徑基圓渦旋壓縮機進行編程計算,得到其從吸氣開始到排氣結束的完整工作腔容積V變化規律如圖4所示.

圖4 工作腔容積及其變化率變化規律Fig.4 Evolution and derivative of working chamber volume with orbiting angle

圖4(a)所示為變徑基圓渦旋壓縮機完整工作腔容積隨主軸轉角的變化規律.同其他類型渦旋壓縮機一致,在吸氣階段,工作腔容積逐漸增大至峰值然后小幅度的減小直到吸氣腔完全閉合,隨著壓縮階段的逐漸進行,工作腔容積持續減小直到動靜渦旋齒達到最終嚙合點即主軸轉角為θd時,第2壓縮腔與中心腔相連通進入排氣階段,持續到排氣腔容積減小為0,排氣過程結束.圖4(b)所示為工作腔容積的變化率隨著主軸轉角的變化規律.由圖可知,各個階段工作腔容積的變化速率存在明顯差異,吸氣階段,工作腔容積先增加較快,當dV/dθ=0時,吸氣腔容積達到最大,隨后,dV/dθ<0,工作腔容積逐漸減小一直到排氣過程結束.

1.4 齒面積利用率計算模型

由于變徑基圓渦旋壓縮機的渦旋齒壁厚逐漸變化,屬于漸變壁厚渦旋類型,且渦旋齒的面積利用率能夠衡量其材料的使用率[20-21],同時也能間接反映工作腔軸向投影面積的大小及汽車空調用渦旋壓縮機輕量化的要求,齒面積利用率越小,耗材越少,質量越小.定義齒面積利用率ζ為動靜渦旋齒的齒面積和占兩者嚙合所需最小盤面積的大小,計算示意如圖5所示.

圖5 齒面積利用率計算模型Fig.5 Calculation model of area utilization rate

動、靜渦旋齒嚙合所需最小盤徑[3]:

(13)

動、靜渦旋齒面積:

So=Sf=Sx

(14)

Sx=Sbj+Sm

(15)

式中:Sm為齒頭采用雙圓弧修正的修正齒軸向投影面積.

因此,齒面積利用率為

不同初始基圓半徑a0對應的齒面積利用率隨基圓半徑變化系數δ0的變化如圖5(b)所示.從圖中可知,隨著δ0的增大,齒面積利用率均呈非線性的增大趨勢,且增大速率越來越慢.不同基圓半徑對應的變化規律曲線匯聚于δ0=0點,δ0<0時,ζ與a0成正比;δ0>0時,ζ與a0成反比.同理,隨著αin的增大,ζ也相應增大.因此,合理地選擇型線參數對齒面積利用率指標有著重要影響.

2 型線參數對齒面積利用率及行程容積的影響

為了研究各型線參數對變徑基圓渦旋壓縮機幾何性能的影響程度大小,為后續的優化分析確定最佳的決策變量,定義行程容積與齒面積利用率的靈敏度模型為

(16)

(17)

式中:Xi=[x1x2x3x4x5x6]T=[a0δ0αinΦφeH]T.

行程容積及齒面積利用率的靈敏度模型如圖6所示,從圖6(a)可知,a0,δ0,φe,H與行程容積之間為正比關系,αin與其為反比關系,修正展角Φ對其幾乎沒有影響;從圖6(b)可知,a0,δ0,αin與齒面積利用率之間為正比關系,而Φ,φe,H對其幾乎不產生影響,δ0,αin對兩種幾何性能的影響遠大于其他參數,且基圓半徑變化系數的影響最大.

圖6 靈敏度分析模型Fig.6 Model of sensitivity analysis

3 多目標優化分析模型的建立與求解

基于建立的變徑基圓渦旋壓縮機幾何模型,對某款汽車空調用變基圓半徑漸開線渦旋壓縮機[18]幾何結構參數及性能進行優化分析,比較不同優化算法求解性能指標的差異.

3.1 目標函數及決策變量的確定

從上述分析知,δ0,αin對行程容積及齒面積利用率的影響尤其顯著,且Vs與ζ之間不能同時取得最優,存在明顯的沖突關系.因此,選取Vs與ζ為優化目標,δ0,αin為優化決策變量.

3.2 約束條件的確定

(1) 變徑基圓渦旋壓縮機常用于汽車空調等領域[11].因此,動靜渦旋齒的最小嚙合盤徑定為

80 mm≤Dmin≤150 mm

(18)

(2) 采用法向等距法生成渦旋齒,回轉半徑大小會影響齒厚大小及內外型線位置.因此,將其定為

a0≤Rob≤2a0

(19)

(3) 為了使得優化分析有意義,須保證優化分析之后的內壓縮比不小于優化前的內壓縮比.因此,將其定為

ε0≥ε

(20)

(4) 考慮到變徑基圓渦旋壓縮機在φe處渦旋齒的強度及剛度,將該處齒厚t(φe)定為

1 mm≤t(φe)=[(xm,in(φe-π)-

xm,ou(φe))2+(ym,in(φe-π)-

ym,ou(φe))2]1/2≤3 mm

(21)

(5) 為了使得渦旋壓縮機的壁厚變化規律適應工質在工作腔內壓力、溫度向中心腔靠近逐漸增大的變化規律,將基圓半徑變化系數定為

-1≤δ0≤0

(22)

3.3 求解結果及比較分析

多目標優化算法與傳統的線性加權法相比,能夠把可供決策者選取的多組解以非劣解集的形式可視化,更具優勢.多目標遺傳算法(NSGA-II)及多目標粒子群(MOPSO)算法是在傳統遺傳算法及粒子群算法的基礎上,加入了非支配排序算子,超體積(HV)、反世代距離(IGD)、計算時間(T)能夠衡量算法的優劣,HV值越大,IGD值越小,時間越短,算法越優秀.表3所示為以上兩種算法求解標準測試函數BT1的相關性能指標對比.從表3可知,在相同種群數量及迭代次數的條件下,NSGA-II在計算時間、HV及IGD指標均優于MOPSO.圖7所示為多目標優化算法NSGA-II及MOPSO求解標準測試函數BT1(f1,f2為其兩個目標函數)的結果.由圖可見,MOPSO求解[22]獲得的pareto前沿均勻性及準確性均差于NSGA-II對應的求解結果.因此,對于測試函數BT1, NSGA-II更具優勢.圖8(a)所示為只考慮δ0,αin上下邊界約束條件的求解結果,由圖可知,對于較少的決策變量,MOPSO與NSGA-II能解得差異極小的非劣解集,但MOPSO對應解的分布均勻性弱于NSGA-II, 且計算時間為12.70 s,多于11.11 s.圖8(b)為考慮非線性約束條件的求解結果,其計算時間為25.56 s,雖計算效率弱于圖8(a)中的結果,但求解的非劣解集更精確,范圍更小,決策者選取優秀的解也更容易.從圖8(b)中選取一組非劣解及其對應的型線參數與優化前作對比,如表4所示.

圖7 測試函數求解結果Fig.7 Solutions to test function

圖8 優化分析模型求解結果Fig.8 Solutions to optimization analysis model

表3 性能指標對比 Tab.3 Comparison of performance indicators

表4 優化型與優化前幾何性能對比

由表4可知,優化分析之后的優化型在滿足內壓比的條件下,較優化前,行程容積增大了6.95%,齒面積利用率下降了4.26%,證明了本優化分析模型的實用性.同時,在本優化分析模型及測試函數上,NSGA-II綜合性能均優于MOPSO.

4 結語

完善了變徑基圓渦旋壓縮機的幾何模型,給出了其完整工作過程的容積變化規律,討論了格林定理法、圖解法及法向等距法計算結果的差異性,3種方法的計算結果誤差小,均可用于變徑基圓渦旋壓縮機幾何模型的求解,但法向等距法更簡單易懂.建立了變徑基圓渦旋壓縮機齒面積利用率的計算模型,分析了各幾何結構參數對行程容積及齒面積利用率的影響程度,發現基圓半徑變化系數及內側型線發生角的影響尤為顯著.構建了一種以Vs與ζ為優化目標的多目標優化分析模型,優化分析之后的性能均優于優化前,且優化算法NSGA-II較MOPSO更具優勢,該模型能為變徑基圓渦旋壓縮機的優化研究提供進一步的理論參考.