基于改進(jìn)灰色關(guān)聯(lián)分析的航天產(chǎn)品性能樣機(jī)仿真結(jié)果一致性驗(yàn)證方法

高 山, 智永鋒, 張 普, 左 軒

(西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院, 陜西 西安 710129)

0 引 言

隨著計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)的發(fā)展,以高超聲速飛行器為代表的復(fù)雜航天產(chǎn)品的研制與實(shí)驗(yàn)逐漸由以物理樣機(jī)和地面試驗(yàn)為主要方式的傳統(tǒng)模式,轉(zhuǎn)變?yōu)橐詳?shù)字樣機(jī)和計(jì)算機(jī)仿真試驗(yàn)為主要方式的數(shù)字化模式。為保證航天產(chǎn)品性能樣機(jī)的可靠性,其校核、驗(yàn)證與確認(rèn)(verification, validation and accreditation, VV&A)是性能樣機(jī)研制過程中的重點(diǎn)。在航天產(chǎn)品性能樣機(jī)的研制過程中,VV&A應(yīng)該貫穿性能樣機(jī)的整個生命周期,而在所有VV&A階段中,仿真結(jié)果驗(yàn)證是至關(guān)重要的一環(huán)[1-3]。進(jìn)行仿真結(jié)果驗(yàn)證最直接的手段是檢驗(yàn)仿真系統(tǒng)輸出數(shù)據(jù)與實(shí)際系統(tǒng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的一致性[4]。

灰色關(guān)聯(lián)分析(grey relational analysis, GRA)法因其計(jì)算簡便且對樣本容量要求較小而被廣泛應(yīng)用于仿真結(jié)果一致性驗(yàn)證[5-7]。但由于經(jīng)典的鄧氏關(guān)聯(lián)分析模型在應(yīng)對某些特殊情況時存在較大的誤差和一定的局限性,多年來許多國內(nèi)外學(xué)者都采取了各種方法對其進(jìn)行改進(jìn)與提升。文獻(xiàn)[8]采用線性變換的方法重新定義了灰色關(guān)聯(lián)系數(shù);文獻(xiàn)[6]采用兩屬性合成的方法改進(jìn)了關(guān)聯(lián)度模型;文獻(xiàn)[9]基于層次分析法與樣本距離對GRA法進(jìn)行了改進(jìn);文獻(xiàn)[10]用向量夾角余弦確定指標(biāo)權(quán)重;文獻(xiàn)[11]用歐氏距離法對關(guān)聯(lián)模型進(jìn)行了改進(jìn);文獻(xiàn)[12]引入歐幾里得貼近度改進(jìn)灰色關(guān)聯(lián)模型;文獻(xiàn)[13]將曲線形狀與數(shù)值相結(jié)合構(gòu)造關(guān)聯(lián)模型;文獻(xiàn)[14]將GRA與灰色綜合評價結(jié)合應(yīng)用;文獻(xiàn)[15]在灰色關(guān)聯(lián)模型中引入了一階及二階斜率差;文獻(xiàn)[16-18]定義了新的關(guān)聯(lián)系數(shù);文獻(xiàn)[19-24]分別用不同方法對關(guān)聯(lián)系數(shù)進(jìn)行賦權(quán)從而改進(jìn)GRA法;文獻(xiàn)[25-26]用向量投影方法對GRA進(jìn)行了改進(jìn);文獻(xiàn)[27]應(yīng)用線性變換定義新的關(guān)聯(lián)系數(shù);文獻(xiàn)[28]應(yīng)用形狀與數(shù)值相似性改進(jìn)了灰色關(guān)聯(lián)模型;文獻(xiàn)[29]提出一種新的分辨系數(shù)量化方法;文獻(xiàn)[30]定義了三種新的灰色關(guān)聯(lián)度;文獻(xiàn)[31]應(yīng)用差因子和商因子對GRA進(jìn)行改進(jìn);文獻(xiàn)[32]在文獻(xiàn)[31]的基礎(chǔ)上加入了曲線距離分析;文獻(xiàn)[33]定義了因變量與主變量來改進(jìn)GRA;文獻(xiàn)[34]利用斜率代替差值來構(gòu)造灰色關(guān)聯(lián)模型。

現(xiàn)有的研究雖然都對灰色關(guān)聯(lián)模型進(jìn)行了改進(jìn),但由于應(yīng)用的領(lǐng)域和具體對象不同,所采用的方法的原理和思路也各不相同。如文獻(xiàn)[35]用改進(jìn)的GRA研究不同合金的工藝參數(shù)關(guān)系;文獻(xiàn)[36]用改進(jìn)的GRA不同部門對中國海陸經(jīng)濟(jì)的影響;文獻(xiàn)[37]分析防災(zāi)基礎(chǔ)設(shè)施的承災(zāi)能力;文獻(xiàn)[38]將改進(jìn)GRA應(yīng)用于構(gòu)建彈藥航空適應(yīng)性的研究;文獻(xiàn)[39]用于優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的短期負(fù)荷預(yù)測,等等。這些應(yīng)用領(lǐng)域中對灰色關(guān)聯(lián)模型的改進(jìn)更集中于關(guān)聯(lián)系數(shù)的計(jì)算與評價指標(biāo)權(quán)重的計(jì)算。文獻(xiàn)[5-7,15,28,31-32]將GRA應(yīng)用于仿真模型驗(yàn)證或數(shù)據(jù)一致性分析,與本文的研究應(yīng)用目標(biāo)類似,但由于數(shù)據(jù)來源不同、數(shù)據(jù)類型不同或研究對象不同,關(guān)注的側(cè)重點(diǎn)及改進(jìn)的思路也有所不同。

本文僅以更適用于航天產(chǎn)品性能樣機(jī)仿真結(jié)果驗(yàn)證為目的對GRA法進(jìn)行改進(jìn),在原灰色關(guān)聯(lián)模型的基礎(chǔ)上引入一種更加簡便的距離分析法,使其可以在判斷數(shù)值一致性的同時兼顧曲線距離帶來的影響,從而提高驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1 GRA法

1.1 鄧氏灰色關(guān)聯(lián)度模型

GRA法的原理是通過計(jì)算仿真序列與參考序列之間的灰色關(guān)聯(lián)度來判斷二者的相似程度。設(shè)X0={x0(1),x0(2),…,x0(n)}為系統(tǒng)的參考序列,x0(k)為X0在第k點(diǎn)上的觀測值,Xi={xi(1),xi(2),…,xi(n)}為系統(tǒng)的仿真序列,xi(k)為Xi在第k點(diǎn)上的觀測值,定義γ(x0(k),xi(k))為一個非負(fù)實(shí)數(shù),稱為x0(k)與xi(k)的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)。定義

(1)

式中:γ(X0,Xi)為序列X0與序列Xi的灰色關(guān)聯(lián)度,γ越大,則代表兩組序列的相關(guān)度越高。同時,γ需滿足表1內(nèi)所描述的灰色四公理。

表1 灰色四公理Table 1 The four grey axioms

鄧氏灰色關(guān)聯(lián)模型是鄧聚龍教授提出的灰色關(guān)聯(lián)度模型[40],計(jì)算方法為

γ(x0(k),xi(k))=

(2)

式中:ρ為分辨系數(shù),ρ∈[0,1],一般取0.5。

1.2 鄧氏灰色關(guān)聯(lián)度模型的適用性分析

由式(2)可以看出,鄧氏灰色關(guān)聯(lián)度模型是通過多條仿真序列中某一條仿真序列內(nèi)的點(diǎn)與其對應(yīng)的參考序列中的點(diǎn)之間的距離,與所有仿真序列中與參考序列距離最大的點(diǎn)和距離最小的點(diǎn)之間的關(guān)系,來判斷該仿真序列與參考序列之間的關(guān)聯(lián)度的。當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)所有仿真序列與參考序列都確定時,分子是一個不變的常數(shù),分母的大小取決于|x0(k)-xi(k)|的值,且其值越大,計(jì)算所得的關(guān)聯(lián)度越小。

應(yīng)用GRA法要求仿真序列與參考序列一一對應(yīng),且擁有相同的量綱。在分析很多問題時,需要先對數(shù)據(jù)進(jìn)行初值化處理與無量綱處理。但對于航天產(chǎn)品性能樣機(jī)的仿真結(jié)果序列來說,每一條仿真序列與其對應(yīng)的參考序列都有相同的量綱,因其描述的是相同飛行狀態(tài)下的同一個物理量,所以不需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行無量綱處理。只要保證仿真序列中的數(shù)據(jù)與參考序列中的數(shù)據(jù)一一對應(yīng),也不需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行初值化處理。從這個角度來看,GRA法非常適合用于性能樣機(jī)仿真結(jié)果的驗(yàn)證。

但鄧氏灰色關(guān)聯(lián)度模型在應(yīng)用于仿真結(jié)果驗(yàn)證時存在一定的局限性。在比較數(shù)據(jù)序列的一致性時,如果仿真序列與參考序列恰好為等距序列或遠(yuǎn)距序列,則容易產(chǎn)生錯誤的判斷。所謂等距序列,即所有|X0(k)-Xi(k)|都相等,此時可以算得X0與Xi的灰色關(guān)聯(lián)度為1,依據(jù)規(guī)范性有X0=Xi,但實(shí)際上,其可能是平行于參考序列的序列,或所有點(diǎn)都等距離分布在參考序列上方或下方的序列。若以此判定仿真序列與參考序列完全一致,則可能造成判定結(jié)果有誤。而遠(yuǎn)距序列則是指,仿真序列與參考序列差距很大,但各仿真序列之間的數(shù)值卻非常接近,此時由于式(2)中分子與分母的取值非常接近,灰色關(guān)聯(lián)度的計(jì)算結(jié)果γ會很接近1,若以此判定仿真序列與參考序列一致性很高,則顯然判定結(jié)果有誤。

造成鄧氏關(guān)聯(lián)度模型存在局限性的根本原因,是由于其只關(guān)心仿真序列與參考序列之間幾何形狀和變化趨勢的相似性,卻忽略了仿真序列與參考序列之間的距離。不考慮序列之間的距離在某些應(yīng)用領(lǐng)域是可行的,并不會對問題的判定結(jié)果造成太大的影響。但對于仿真結(jié)果驗(yàn)證來說,同一參數(shù)同一狀態(tài)下的仿真數(shù)據(jù)應(yīng)該和參考數(shù)據(jù)有較高的一致性才能保證仿真系統(tǒng)擁有較高的可靠性,此時僅關(guān)注序列的幾何形狀顯然不足以判斷兩組序列的一致性。因此,在航天產(chǎn)品性能樣機(jī)的仿真結(jié)果驗(yàn)證中,應(yīng)用GRA法必須解決其無法判斷仿真序列與參考序列間距離差異的問題。

2 改進(jìn)的GRA法

本文對GRA法的改進(jìn)思路即在原灰色關(guān)聯(lián)模型的基礎(chǔ)上增加對曲線距離差異的度量,從而使改進(jìn)的灰色關(guān)聯(lián)模型可以同時從曲線距離和曲線形狀兩個方面來檢驗(yàn)序列的一致性。改進(jìn)的GRA法命名為考慮距離的GRA法,下面對其原理進(jìn)行詳細(xì)介紹。

2.1 數(shù)據(jù)序列距離分析方法

為了可以在GRA法中兼顧仿真序列與參考序列間的距離,本文提出一種用于判斷數(shù)據(jù)序列曲線間距離大小的方法,稱其為距離分析方法。

設(shè)X0={x0(1),x0(2),…,x0(n)}為參考序列,Xi={xi(1),xi(2),…,xi(n)}為仿真序列,X0與Xi中的元素x0(k)和xi(k)具有相同的量綱和采樣間隔,且一一對應(yīng),則X0與Xi之間的平均距離為

(3)

(4)

(5)

2.2 序列距離分析與GRA相結(jié)合

單獨(dú)的距離參數(shù)δD或灰色關(guān)聯(lián)度γ都不足以完全判斷仿真序列與參考序列之間的一致性,需要將二者結(jié)合起來。若將距離參數(shù)δD或灰色關(guān)聯(lián)度γ視作評價仿真序列與參考序列之間的一致性的兩個指標(biāo),由鄧氏灰色關(guān)聯(lián)度模型的定義和計(jì)算方法可以知道,灰色關(guān)聯(lián)度γ∈[0,1]且越大越好,即γ是一個趨向于1的極大型指標(biāo)。同理,由距離參數(shù)的定義和計(jì)算方式可以知道,距離參數(shù)δD≥0且越小越好,即δD是一個趨向于0的極小型指標(biāo)。因此,只要將δD轉(zhuǎn)換成同樣趨向于1的極大型指標(biāo)即可將δD與γ結(jié)合起來。定義一個新的關(guān)聯(lián)度γC,稱為一致性關(guān)聯(lián)度,其計(jì)算方法為

γC=ω1(1-δDi)+ω2γ

(6)

式中:ω1和ω2為距離參數(shù)δD與灰色關(guān)聯(lián)度γ關(guān)于兩組序列一致性的相對權(quán)重,且ω1+ω2=1。對于大多數(shù)仿真參數(shù)序列的一致性而言,距離與形狀同等重要,ω1和ω2默認(rèn)取0.5。但在具體應(yīng)用中,需要根據(jù)所驗(yàn)證的仿真數(shù)據(jù)本身的特點(diǎn)來確定,可以由主題專家根據(jù)經(jīng)驗(yàn)直接確定,也可以采用層次分析法等權(quán)重計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算,這里不做贅述。

但式(6)中存在一個問題,如果δD>1,則(1-δD)<0,此時,若|ω1(1-δD)|>ω2γ,則會出現(xiàn)γC為負(fù)數(shù)的情況,雖然γC為負(fù)說明兩組序列之間的一致性更差,關(guān)聯(lián)度更小,并不影響驗(yàn)證結(jié)果的判斷,但γC<0與灰色四公理中的規(guī)范性相悖。所以,在應(yīng)用中,可先行計(jì)算δD,當(dāng)出現(xiàn)δD>1的情況時,即表示兩組序列之間的距離過大,那么不用計(jì)算γ和γC即可直接判斷兩組序列不一致。如果δD≤1,則繼續(xù)計(jì)算兩組序列的灰色關(guān)聯(lián)度。之后依據(jù)距離與曲線形狀的相對權(quán)重計(jì)算一致性關(guān)聯(lián)度。用一致性關(guān)聯(lián)度判斷仿真序列與參考序列的一致性需要提前規(guī)定一致性系數(shù)ξ,若γC≥ξ則判定兩組序列一致,反之則判定不一致。ξ的大小需要依據(jù)所驗(yàn)證的仿真數(shù)據(jù)的具體情況確定。

2.3 改進(jìn)GRA模型的實(shí)施步驟

考慮序列距離的GRA驗(yàn)證方法的實(shí)施步驟如圖1所示,實(shí)施的具體步驟如下。

圖1 考慮序列距離的GRA步驟Fig.1 Steps of the distance-considered GRA

步驟 1獲取參考序列X0與仿真序列Xi,參考序列與仿真序列需滿足相同的采樣條件。

步驟 2對比各序列長度是否相等,若不相等則需先進(jìn)性長度一致性處理,各序列中的點(diǎn)需一一對應(yīng)。

步驟 3依據(jù)式(3)～式(5)計(jì)算各仿真序列Xi的距離參數(shù)δDi。

步驟 4判斷距離參數(shù)δDi是否大于1,若δDi>1則直接判定該仿真序列與參考序列不一致,若δDi≤1,則進(jìn)行步驟5。

步驟 5依據(jù)式(2)計(jì)算仿真序列與參考序列的灰色關(guān)聯(lián)度γi。

步驟 6確定曲線距離與曲線形狀對序列一致性的影響權(quán)重ω1和ω2,在沒有特殊要求時,一般取ω1=ω2=0.5。

步驟 7依據(jù)式(6)計(jì)算仿真序列與參考序列的一致性關(guān)聯(lián)度γCi。

步驟 8依據(jù)提前確定的一致性系數(shù)ξ判斷序列的一致性,若γCi≥ξ則判定兩組序列一致,反之則判定兩組序列不一致。

2.4 改進(jìn)GRA模型的性質(zhì)

在第2.2節(jié)中已經(jīng)論證過,δD>1時可以直接判定兩組序列不一致,因此在分析考慮距離的灰色關(guān)聯(lián)模型性質(zhì)的時候,僅討論0≤δD≤1時的情況。

(1) 規(guī)范性

當(dāng)0≤δD≤1時,0≤1-δD≤1,因?yàn)?≤γ≤1,0≤ω1≤1,0≤ω2≤1,所以0≤γC≤1。

當(dāng)Xi=Xj時,δD=0,γ=1,所以γC=1。

當(dāng)Xi≠Xj時,1-δD<1,γ<1,所以γC<1。

因此,考慮距離的GRA模型滿足規(guī)范性。

(2) 整體性

因此,考慮距離的GRA模型滿足整體性。

(3) 偶對稱性

因?yàn)棣腄i的大小僅與Xi有關(guān),而與Xj無關(guān);同理δDj的大小僅與Xj有關(guān),而與Xi無關(guān)。因此,只要γ滿足偶對稱性,則γC亦滿足偶對稱性。

(4) 接近性

3 數(shù)值算例分析

為了更直觀地對比考慮距離的GRA法與GRA法在判斷序列一致性時的準(zhǔn)確度,本文采用構(gòu)造典型數(shù)值算例的方法來對兩種模型進(jìn)行比較分析。

3.1 等距序列算例分析

算例 1設(shè)參考序列為X0,仿真序列分別為X1、X2、X3,X0={30,32,31,28,29,30,33,35,31,32},且X1、X2、X3滿足如下條件:

X1(i)=X0(i)-10

(7)

(8)

X3(i)=X0(i)+10

(9)

得到3條仿真序列的數(shù)值如表2所示,將所有序列繪制成曲線圖如圖2所示。

圖2 算例1中各序列曲線圖Fig.2 Curves of the data series in example 1

表2 序列X1、X2、X3取值Table 2 Values of series X1, X2,X3

分別用經(jīng)典GRA法與本文提出的考慮距離的GRA法計(jì)算序列X1、X2、X3的鄧氏灰色關(guān)聯(lián)度γ和一致性關(guān)聯(lián)度γC,ω1和ω2取0.5,隨后對數(shù)據(jù)一致性進(jìn)行判斷,ξ取0.9,計(jì)算結(jié)果與判斷結(jié)論如表3所示。

采用GRA法計(jì)算序列X0與序列X1、X2、X3的灰色關(guān)聯(lián)度均為1,由規(guī)范性可知,X0=X1=X2,顯然這與實(shí)際不符。從圖2可以清晰地看出,這3條序列是互不相同的。同時,由于ξ為0.9,γ>ξ,判定仿真序列X1、X2、X3均與參考序列X0一致,這顯然也是錯誤的。

采用考慮距離的GRA法計(jì)算得到3組序列一致性關(guān)聯(lián)度為0.84,ξ為0.9,γC<ξ,可以判定仿真序列X1、X2、X3均與參考序列X0不一致,與實(shí)際情況相符合。

3.2 遠(yuǎn)距序列算例分析

算例 2設(shè)參考序列為X0,仿真序列分別為X1、X2、X3,各序列的數(shù)值如表4所示,將所有序列繪制成曲線圖如圖3所示。

在形勢風(fēng)云變幻的市場上，用戶需求是一直在變化的。黃總認(rèn)為，很多時候客戶甚至并不知道自己需要什么樣的產(chǎn)品解決方案。“由于大多數(shù)客戶對物流設(shè)備制造業(yè)其實(shí)并不了解，他們并不知道市面上有什么樣的產(chǎn)品解決方案可以解決他們遇到的問題。因此我們要明明白白地告訴客戶，你的企業(yè)需要什么樣的產(chǎn)品和服務(wù)，我們又能提供給你哪些方案。”除了為客戶提供信息咨詢及建議外，牧星還針對一些規(guī)模較小的客戶提供了第三方倉儲物流服務(wù)。“這就使得我們可以為客戶提供更好的服務(wù)，進(jìn)一步控制他們的物流成本，使得他們免除后顧之憂，將更多的精力放在企業(yè)發(fā)展上。”

圖3 算例2中各序列曲線圖Fig.3 Curves of the data series in example 2

表4 序列X0、X1、X2、X3取值Table 4 Values of series X0,X1,X2, X3

分別用經(jīng)典GRA法與本文提出的考慮距離的GRA法計(jì)算序列X1、X2、X3的鄧氏灰色關(guān)聯(lián)度和一致性關(guān)聯(lián)度,ω1和ω2取0.5,隨后對數(shù)據(jù)一致性進(jìn)行判斷,ξ取0.9,計(jì)算結(jié)果與判斷結(jié)論如表5所示。

表5 算例2中各序列的γ和γC計(jì)算結(jié)果Table 5 Results of γ and γC of series in example 2

采用GRA法計(jì)算序列X1、X2、X3的灰色關(guān)聯(lián)度分別為0.92、0.91和0.92,由于ξ=0.9,γ>ξ,判定仿真序列X1、X2、X3均與參考序列X0一致。從圖3可以清楚地看到,序列X1、X2、X3均與參考序列X0相差非常大,故判斷結(jié)果與實(shí)際不符。

采用考慮距離的GRA法計(jì)算得到序列X1、X2、X3的一致性關(guān)聯(lián)度分別為0.60、0.59與0.60,ξ為0.9,γC<ξ,可以判定仿真序列X1、X2、X3均與參考序列X0不一致,與實(shí)際情況相符合。

通過算例1和算例2可以證明,考慮距離的GRA法可以很好地彌補(bǔ)GRA法在分析等距序列與遠(yuǎn)距序列時存在的缺陷,從而提高仿真結(jié)果一致性驗(yàn)證的準(zhǔn)確性。

4 結(jié)束語

本文以更好地應(yīng)用于航天產(chǎn)品性能樣機(jī)的仿真結(jié)果驗(yàn)證為目標(biāo)對鄧氏灰色關(guān)聯(lián)模型進(jìn)行改進(jìn),提出一種序列距離分析方法并將其與GRA法相結(jié)合,形成了考慮序列距離的GRA法,且用一致性關(guān)聯(lián)度代替灰色關(guān)聯(lián)度來判斷仿真序列與參考序列之間的一致性。最后,通過兩組數(shù)值算例驗(yàn)證了考慮序列距離的GRA法在分析等距序列與遠(yuǎn)距序列時可以很好地彌補(bǔ)GRA法存在的缺陷,從而提高了驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確度。

本文雖然證明了考慮序列距離的GRA法的有效性,但該方法依然存在不足之處。如序列距離與序列形狀的相對權(quán)重與判斷序列一致性的一致性系數(shù)的取值,在一定程度上更依賴于驗(yàn)證人員的經(jīng)驗(yàn)與主觀判斷,使得考慮序列距離的GRA法不能做到完全客觀。在后續(xù)的研究中,希望可以解決這個問題。