一種采用圖像誤差反饋的Risley棱鏡光電跟蹤系統的閉環控制方法

張文博　吳圣雨　陶冶

摘要：為了解決采用圖像誤差反饋的Risley棱鏡閉環控制問題，本文提出一種基于逆解算法的閉環控制方法。該方法首先根據兩個棱鏡的角度通過正向精確解析法計算視軸的指向矢量，再根據圖像誤差計算目標的偏離矢量，通過矢量合成可得到目標的方位，然后根據目標方位利用逆解算法可計算得到兩組解，最后再利用本文提出的最優解算法來完成系統的閉環控制。另外，本文通過構建系統的仿真模型，分別對基于一級近軸近似法和兩步法這兩種逆解算法的跟蹤精度進行了分析，仿真結果驗證了該閉環控制方法的可行性。并根據仿真結果，提出一種求逆解的優化方法，不僅可獲取較高的跟蹤精度，而且提高了棱鏡控制的平滑性，優化了系統控制的奇異性問題。

關鍵詞：Risley棱鏡；閉環控制；逆解；最優解；圖像誤差反饋

中圖分類號：TP211+.6 文獻標志碼：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.08.002

文章編號：1006-0316 （2023） 08-0008-08

A Closed Loop Control Method of Risley Prism Photoelectric Tracking System

Using Image Error Feedback

ZHANG Wenbo，WU Shengyu，TAO Ye

（ School of Mechanical Engineering， Sichuan University， Chengdu 610065， China ）

Abstract：In order to solve the problems in closed loop control of Risley prism using image error feedback， a closed loop control method based on inverse solution algorithm is proposed. The direction vector of the axis of sight is first calculated through the forward accurate analytical method according to the angle of the two prisms. The deviation vector of the target is then calculated according to the image error， and the orientation of the target is obtained through vector synthesis. According to the orientation of the target， the inverse solution algorithm can be used to calculate two groups of solutions. Finally， the optimal solution algorithm proposed is used to complete the closed-loop control of the system. In addition， by building the simulation model of the system， this paper analyzes the tracking accuracy of the two inverse solutions based on the first order paraxial approximation method and the two-step method respectively. The simulation results verify the feasibility of the closed-loop control method. An optimization method for solving the inverse solution is proposed， which can not only obtain high tracking accuracy， but also improve the smoothness of the prism control and optimize the singularity of the system control.

Key words：Risley prism；closed-loop control；inverse solution；optimal solution；image error feedback

隨著機載平臺以及目標機動性能的提升，尤其是小型高性能無人機的發展，由于其自身重量及動力限制，機載光電跟蹤系統對小型、輕量化、高精度和高響應速度的視軸指向控制機構有了更多的需求[1]。傳統的光電跟蹤系統大多采用萬向式視軸指向控制機構[2]，但其體積和質量都較大。Risley棱鏡采用一對共軸獨立旋轉的楔形棱鏡，可實現大范圍的視軸指向控制，具有結構緊湊、指向精度高、動態性能好、剛度高等優點[3-4]，滿足機載光電跟蹤系統的需求。Risley棱鏡應用于目標跟蹤時，需要根據目標的方位角和俯仰角求解兩個棱鏡對應的轉角，即求逆解。由于棱鏡轉角與目標方位間存在著非線性、強耦合的關系[5-6]，很難獲取精確逆解，很多學者對逆解算法進行了大量研究[7-10]。另外，Risley棱鏡系統在光軸附近還存在控制奇異性問題[11]，即目標越靠近光軸，對棱鏡角速度和角加速度的要求越高。同時，系統的各種誤差會進一步影響視軸指向精度[12]，這些都增加了閉環控制的難度。

Risley棱鏡系統的閉環控制一直是研究的熱點和難點。Alajlouni等[13]提出傍軸解和旋轉方向選擇算法，用于解決激光路徑跟蹤的控制問題，并給出了系統的仿真模型，但該系統的輸入為給定目標軌跡，而光電跟蹤系統一般是采用圖像誤差反饋進行閉環控制。在基于圖像誤差反饋的閉環控制研究中，李安虎等[14]提出一種適用于遠場和近場目標跟蹤的自適應雙棱鏡視軸調整方法，然而該方法較為耗時，不適用于動態目標的實時跟蹤。為縮短時間，李安虎等[15]又提出一種逆射線跟蹤和迭代細化方法，由于該方法需要獲取目標和系統之間的距離信息，在遠距離目標跟蹤時，該方法的有效性降低。李錦英等[16]提出一種實時扇區選擇的閉環跟蹤方法，當目標在分區的邊界處移動時，切換閉環控制參數會導致較大的跟蹤誤差。李

錦英等[17]還提出一種適用于近遠場目標跟蹤的旋轉矩陣誤差解耦方法，將旋轉矩陣與目標像素脫靶量相乘，以獲得極坐標系中的方位和俯仰誤差，兩棱鏡同向旋轉以校正方位誤差，反向旋轉以校正俯仰誤差，該方法可以獲得平滑穩定的跟蹤效果，但在視場內的不同位置，方位、俯仰誤差與同向、反向旋轉角度之間也是非線性關系，很難準確計算棱鏡的旋轉角度。

目前，對采用圖像誤差反饋的Risley棱鏡光電跟蹤系統閉環控制方法的研究仍然很少。因此，本文提出了一種基于圖像誤差反饋和逆解算法的閉環控制方法。假設在理想條件下，即不考慮各種誤差的影響，且用正向精確解析法[7]的計算結果表示Risley棱鏡系統的視軸指向，分析一級近軸近似法和兩步法這兩種逆解算法[8]的求解精度，并建立采用圖像誤差反饋的系統仿真模型，分別對基于這兩種逆解算法以及這兩種算法相結合的閉環控制方法的跟蹤精度進行仿真分析。仿真結果表明，理想條件下該閉環控制方法可行。

1 正逆解算法理論及逆解精度

Risley棱鏡利用楔形棱鏡對光束的折射特性，不僅可調整出射光束的方向，還可調整視軸指向。系統采用兩個參數相同且共軸獨立旋轉的楔形棱鏡，可實現大范圍的光束或視軸指向偏轉。對Risley棱鏡系統的研究可分為兩個基本問題，即正向問題和反向問題。正向問題是根據兩個棱鏡的旋轉角度求解出射光束的方向，反向問題是根據視軸或者出射光束的方向求解兩個棱鏡的旋轉角度，正解和逆解即是用來描述這兩個問題的算法。本節首先分析正向精確解析法的相關理論，然后分別分析反向一級近軸近似法、兩步法這兩種逆解算法的理論，并分析理想條件下兩種算法的求解精度。

1.1 正向精確解析法理論

周遠等[7]采用一級近軸近似法和精確解析法分析了Risley棱鏡系統的光束指向解析解，對比分析了兩種算法的計算結果，并通過實驗對兩種算法的指向精度進行了驗證。該實驗結果表明，精確解析法能夠準確描述Risley棱鏡系統的光束指向，因此本文采用此算法來表示系統的光束或視軸指向。當兩個棱鏡的參數確定時，對于任意給定的兩個棱鏡旋轉角度，由文獻[7]中的正向精確解析法可求得出射光束的俯仰角和方位角。正向精確解析法采用矢量形式的斯涅爾定律，通過非近軸光線追跡可得：

1.2 反向一級近軸近似法理論及精度

一級近軸近似法反向求解數學模型如圖1所示。由文獻[8]可知，對于確定的Risley棱鏡系統，單個棱鏡對光束的偏轉矢量大小 和 是固定的，對于任意的出射光束俯仰角 和方位角 ，以給定的 和 和 為邊可以構造兩個全等的三角形，因此一個給定的光束指向存在兩組反解。采用一級近軸近似法求解時，可以首先根據矢量三角形的幾何關系求出兩個內角 和 的大小，再根據方位角 求得兩組逆解，為：

在分析反向一級近軸近似法的求解精度時，首先以給定光束或視軸的俯仰角和方位角作為輸入，采用此逆解算法可得到兩組解，然后分別將兩組解通過正向精確解析法進行計算，可得到兩組解的理論指向，最后與輸入進行比較，即可得到此算法兩組解的求解精度。

由本文采用的棱鏡參數可知，一級近軸近似法計算出的最大俯仰角 ＝0.583 rad。在采用反向一級近軸近似法求解時，當俯仰角輸入 ＞ 時，超出了此算法的有效范圍。因此，需要對 進行縮放，為：

反向一級近軸近似法兩組解的求解精度如圖2所示。可以看出，兩組解的求解精度具有一致性，方位角的變化對求解精度幾乎沒有影響，隨著俯仰角增大，求解精度先降低后上升，俯仰角較小時求解精度較高。

1.3 兩步法理論及精度

2? Risley棱鏡閉環控制方法

系統工作時，采用相機對視場內的目標進行成像探測，當目標T出現在相機的視場內時，通過目標檢測可以獲取目標在圖像中的像素坐標，若目標不在圖像的中心，根據目標偏離中心的圖像誤差，通過控制棱鏡旋轉即可將目標鎖定在視場中心。對于隨機運動的目標，也可以根據實時圖像誤差反饋，通過控制Risley棱鏡來實現對目標的閉環跟蹤。

為了解決Risley棱鏡光電跟蹤系統的閉環控制問題，本文提出一種基于圖像誤差反饋和逆解算法的閉環控制方法。首先，需要根據兩個棱鏡的當前角位置反饋，通過正向精確解析法計算出視軸P指向的方位矢量。然后，根據圖像誤差反饋和相機的視場大小可以計算出目標T偏離視軸P的方位矢量，將兩個矢量合成即可得到目標的方位矢量。由目標的方位矢量可以得知目標的方位角和俯仰角，再通過逆解計算可獲取兩組解。最后，選取一組最優解用于棱鏡控制，即可調整視軸指向目標，實現系統的閉環控制。該閉環控制方法主要包括目標方位計算、逆解計算、最優解算法三部分，其中逆解計算已在上節給出，本節主要對目標方位計算和最優解算法進行分析。

2.1 目標方位計算

目標方位矢量合成示意圖如圖5所示。Risley棱鏡光電跟蹤系統采用編碼器獲取兩個棱鏡的實時角位置 和 ，根據棱鏡角位置通過正向精確解析法即可實時計算得到視軸的指向矢量p，矢量p與X軸的夾角表示視軸指向的方位角 ，矢量大小表示俯仰角 。

2.2 最優解算法

在根據目標俯仰角和方位角進行求解時，對于不同的逆解算法均有兩組解，在光軸位置處，甚至有無窮組逆解。為了實現對棱鏡的最優控制，本文提出一個最優解算法。在機電系統中，一般情況下控制指令每次執行完成的響應時間越短越好，由于兩個棱鏡是同時控制的，因此，對于不同組的逆解，可以通過比較兩個棱鏡每次完成指令執行所需的時間，選擇一組耗時最短的解來控制棱鏡。可以將其分成兩種情況來實現棱鏡的最優控制。

第一種情況是目標不在光軸及其附近位置處，此時有兩組解。假設采用第一組解，棱鏡1和2從當前位置轉到指令位置的最小轉動角度分別為?θ11和?θ21。采用第二組解，棱鏡1和2從當前位置轉到指令位置的最小轉動角度分別為?θ12和?θ22。一般情況下，轉動角度越小響應時間越短。因此，第一步可以先分別找出每組解兩個棱鏡的最大轉動角度；第二步比較兩組最大轉動角度的大小，轉動角度小的一組即為最優解，若兩組最大轉動角度相同則進入第三步；第三步找出每組解兩個棱鏡的最小轉動角度；第四步比較兩組最小轉動角度的大小，轉動角度小的一組即為最優解，若兩組最小轉動角度相同，可選任意一組為最優解。

第二種情況是目標在光軸及其附近位置處，即目標俯仰角小于由跟蹤精度確定大小的一個值。在滿足跟蹤精度的前提下，目標在光軸附近可認為在光軸處，此時有無窮組解，理論上只需將兩個棱鏡的轉角調整為相差180°，因此不需要求解逆解。可以根據兩個棱鏡的實時角位置反饋進行求解，第一步計算兩個棱鏡旋轉至相差180°時的最小旋轉角度；第二步將最小旋轉角度平分，即為每個棱鏡此周期的旋轉角度；第三步選擇棱鏡的旋轉方向，使兩個棱鏡的角度相差180°。

3 系統建模與仿真

為驗證本文所提出的閉環控制方法，采用Simulink構建Risley棱鏡光電跟蹤系統的仿真模型，如圖6所示。該模型可以模擬運動目標，并采用圖像誤差作為反饋，能夠對閉環控制方法的跟蹤精度進行仿真分析。

仿真時系統采用的棱鏡參數與上文相同。并假設目標在距離Risley棱鏡系統2000 m遠處，且垂直于棱鏡光軸的一個平面內沿“8”字形軌跡勻速運動，周期為200 s。目標在平面中的運動軌跡如圖7所示，以光軸在平面中的指向位置為坐標原點建立笛卡爾坐標系，目標運動起點為（1400 m， 0 m），目標在1和4階段圍繞坐標點（700 m， 0 m）做圓周運動，在2和3階段圍繞坐標點（-700 m， 0 m）做圓周運動。已知目標的運動周期和軌跡，可計算得到目標的運動速度v為43.96 m/s。

4 結論

Risley棱鏡光電跟蹤系統具有廣闊的應用前景，其閉環控制問題一直是研究的熱點與難點。目前，對采用圖像誤差作為反饋的閉環控制問題的研究相對較少，針對此問題，本文提出一種基于逆解算法的閉環控制方法。該方法首先根據兩個棱鏡的角度和圖像誤差來計算目標的方位，再通過逆解算法計算得到兩組解，接著利用最優解算法選出一組用于棱鏡的閉環控制。然后，本文采用Simulink構建系統的仿真模型，分析了采用不同逆解算法時的跟蹤精度。仿真結果驗證了該閉環控制方法的可行性，但逆解算法的求解精度對跟蹤精度的影響較大。最后，本文根據兩種算法的仿真結果，提出一種求逆解的優化方法，優化了系統控制的奇異性問題。另外，由于本文是在理想條件下進行仿真分析的，而實際系統中存在著各種誤差，以指數級增加了非線性系統的控制難度，如何解決誤差影響下的Risley棱鏡閉環控制問題是系統研制的關鍵，也是下一步研究的重點。

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