突出關鍵能力注重方法對策
——坐標系與參數方程考向探析

■陜西省漢中市西鄉縣第二中學 陳 剛

坐標系與參數方程為高考選考內容之一,題量、考查難度都相對穩定。近幾年高考全國卷坐標系與參數方程考查的問題主要有:極坐標方程、參數方程與普通方程的互化;求曲線的軌跡方程;利用極坐標方程、參數方程解決交點問題、距離問題、最值問題等。試題分設兩問,第一問考查內容多為極坐標方程、參數方程與普通方程的互化或求曲線的軌跡方程,第二問考查內容多為利用參數方程中參數的幾何意義或極坐標方程中極徑和極角的幾何意義解決問題,內容涉及交點、距離、面積、弦長等問題。在解決此類問題的過程中,需要注意數形結合、轉化與化歸等數學思想的應用。整體來講,考查難度定位中等偏易,是考生容易突破的一道題目。本文結合實例探析2023 年高考全國卷坐標系與參數方程的考向、?？碱}型及解題方法。主要目的是幫助同學們把握高考脈搏,提高復習備考效果和效率。

題型一、求曲線的極坐標方程

總結：求曲線的極坐標方程的一般步驟:(1)建立適當的極坐標系,設P(ρ,θ)是曲線上任意一點。(2)由曲線上的點所滿足的條件,列出曲線上任意一點的極徑ρ和極角θ之間的關系式。(3)將列出的關系式進行整理、化簡,得出曲線的極坐標方程。

題型二、極坐標方程、參數方程與普通方程的互化

(1)求曲線C1和曲線C2的極坐標方程;

總結：(1)直角坐標方程與極坐標方程的互化:如果將極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合,極軸與x軸重合,則同一個點可具備極坐標（ρ,θ）和直角坐標（x,y）,那么兩種坐標間的轉化公式為(2)參數方程與直角坐標方程的互化——消參法,消去參數的方法一般有三種:①代入消參。利用解方程的技巧求出參數的表達式,然后代入消去參數。②整體消參。根據參數方程本身的結構特點,靈活地選用一些代數方法從整體上消去參數。③三角消參。利用三角恒等式消去參數,如平方消參等。但要注意將參數方程化為普通方程時取值范圍要保持一致,防止變量x和y取值范圍的擴大或縮小,必須根據參數的取值范圍確定函數f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范圍。另外,確定曲線的參數方程時,一定要根據實際問題的要求確定參數的取值范圍,必要時通過限制參數的范圍去掉多余的解。

題型三、極坐標方程的應用(如距離問題、最值問題)

例3在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρ=6cosθ。

(1)求直線l的極坐標方程和曲線C1的直角坐標方程;

總結：(1)用極坐標系解決問題時,要注意題目中的幾何關系,如果幾何關系不容易通過極坐標表示,可以先化為直角坐標方程,將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題加以解決。(2)用極坐標方程解決有關距離問題時,通常利用ρ和θ的幾何意義,直接求解,能達到化繁為簡的解題目的。(3)用極坐標方程解決有關最值問題時,往往通過極坐標方程引入三角函數,利用三角函數模型求解最值,這比在直角坐標系中求最值的運算量小。另外,還要注意數形結合的應用,即充分利用ρ和θ的幾何意義。

題型四、參數方程的應用(如距離問題、最值問題)

(1)若直線l與曲線C沒有公共點,求t的取值范圍;

在解決與坐標系和參數方程有關的問題時,從坐標系和參數方程本身從發,選取適當的方法往往可以取得事半功倍的效果。另外,坐標系和參數方程雖然是選考內容,但如果能夠將它們和普通方程有機聯系,相互補充,在解決與圓錐曲線有關的高考小題和解答題時,也可以優化解題思路、發散思維,從而簡化計算過程,減少運算量,提高解題的效率。