高觀點下探尋多邊形的內角和與外角和

葉瑩

三角形的內角和是一個重要的幾何量，在歐幾里得幾何學中，三角形的內角和為180度.在證明這一定理的時候，中學教科書［1］采用的方法是這樣的：首先過三角形的某一個頂點作與對邊平行的輔助線，再利用內錯角相等得到三角形的內角和為180度.而內錯角相等需要利用歐幾里得幾何的兩條公理：同位角相等和對頂角相等.由此可見，為了證明三角形的內角和為180度，需要兩條公理.中學課本證明完三角形的內角和為180度以后，再利用內角和外角互補的關系，得到外角和為360度.

在講完三角形的內角和與外角和以后，中學教材便開始講凸多邊形的內角和，課本中的講法通常是這樣的：從凸多邊形的某個頂點出發，可以作（n－3）條對角線，從而把多邊形分成了（n－2）個三角形，多邊形的內角和正好是這（n－2）個三角形的內角和，因而是（n－2）×180°.相應地，因為每個頂點對應的外角和內角互補，所有內角和與外角和的總和是n×180°，從而外角和是2×180°=360°，詳情可參考［1］.一般的教材也就到此為止，即得到凸n邊性內角和公式為（n－2）×180°，外角和為360°.以上的證明過程無疑是正確的，然而筆者認為，許多很自然的問題還沒有解決：1.如果是非凸多邊形，它的內角和應該是多少，外角和應該是多少？ 2.為什么多邊形的內角和與邊數有關，而外角和與邊數無關？3.證明多邊形的內角和公式和外角和公式，有沒有更加直觀和更加簡單的方法？筆者通過對這幾個問題的長期思考，結合現代微分幾何學的研究方法，認為多邊形的外角和是比多邊形的內角和更重要的幾何量.如果換一種方式來講解多邊形的內角和與內角和，則不但講解過程更加直觀，而且不需要任何公理，此外，該講解方法還適用于非凸多邊形，最后，該講解方法還可以很容易推廣到現代微分幾何學中的Gauss-Bonnet公式.下面筆者來詳細敘述這種直觀的講解方法.

我們來觀察一下三角形的制作過程.中學教科書中說，三條線段順次首尾相接就構成一個三角形，實際上，我們只需要把一條線段折三次就能得到一個三角形，仔細觀察折疊的過程，就能得到三角形的外角和為360度的結論.下面，我們來看看具體的折疊步驟：圖2

首先，取一條線段（如圖1）.

第一步：將AB段不動，BE段繞B點逆時針旋轉α角度（如圖2）.

第二步：將AB段、BC段不動，CE段繞C點逆時針旋轉β角度，使得D、A、B三點在同一條直線上（如圖3）.

第三步：將AB段、BC段、CD段都不動，DE段繞D點逆時針方向旋轉γ角度，使得DE與AB共線（如圖4）.

通過上述三步，一個三角形就形成了.巧合的是α、β、γ剛好是ΔABC的外角，那么它們的和是多少度呢？觀察DE段，它在第一步逆時針旋轉了α，第二步逆時針旋轉了β，第三步逆時針旋轉了γ，最終繞了一圈，回到了原來的方向，既然是繞了一圈，也就是說旋轉了360°，即 α+β+γ=360°，也即三角形的外角和是360°，得到了三角形的外角和為360°以后，因為每個頂點處的內角與外角互補，所以內角和與外角和的總和是3×180°，因而得到內角和是180°.上述過程的實施非常簡單，不需要教材中的輔助線等工具，并且這種方法可以推廣到多邊形，包括凸多邊形和非凸多邊形的情況.

先來看看凸n邊形的內角和與外角和，將一條線段分成（n+1）段，用同樣的方法，經過n步將線段繞不同的點旋轉一定角度，就可以得到一個凸多邊形（當然要求旋轉的角度和線段的分段要適當），因此凸n邊形的外角和360°，從而得到內角和是（n－2）×180°.

從上面的分析可以看出，無論是構造多少條邊的凸多邊形，其本質都是最后一段旋轉了一圈，而每一次旋轉的角度都是多邊形的一個外角，因此凸n邊形的外角和總是360°，這就是對多邊形外角和的直觀認識，這樣理解外角和還有以下兩個好處.

圖5

第一是只要適當定義外角，上述結果也可用于非凸多邊形的外角和與內角和.對于非凸的多邊形，一般來說，不能通過在某個頂點處作對角線，而將多邊形的內角和歸結為三角形的內角和.如對于下面的非凸六邊形（如圖5），無論從哪個頂點出發，引對角線都無法將它切割成幾個三角形，因而中學教材中的方法不適用于非凸多邊形.但只要稍微調整我們的方法，就能得到非凸多邊形的外角和和內角和公式，事實上，只需要注意旋轉的方向是逆時針方向還是順時針方向即可.我們以圖5中的多邊形為例，來看看具體的步驟.我們不妨規定逆時針方向為正方向，從而順時針方向就為負方向.在第一步時，沿逆時針方向旋轉了α度，記為+α.在第二步時，沿逆時針旋轉了β度，記為+β.在第三步時，沿順時針方向旋轉了γ度，旋轉的方向與前面相反，因而記為－γ.同理，第四步，因為是沿順時針方向旋轉了θ度，記為－θ.第五步和第六步是沿逆時針方向旋轉，因此應為正向.觀察整個過程，最后的結果是沿逆時針方向旋轉了360度，因此有.一般的，對于任意的n邊形，我們有外角和公式∑ni=1（－1）γiθi=360°，其中γi=1， ?若第i個頂點處是逆時針方向旋轉，

－1， 若第i個頂點處是順時針方向旋轉，? 有了上面的外角和公式以后，再利用內角與外角互補的關系，我們也可以得到任意n邊形的內角和是（n－2）×180°.

第二，該方法可以從離散情況推廣到連續情況，甚至既有離散也有連續的情況.仔細分析剛才的過程，發現多邊形的外角本身具有重要的幾何意義，在每個頂點處，我們是把直線彎曲一定的角度，從而得到兩條鄰邊，而這個彎曲的程度，就是這個頂點處外角的度數，換句話說，多邊形的外角衡量的是直線在這一點的彎曲程度，在微積分和微分幾何中，曲線的彎曲程度是用曲率來衡量的，既然外角和曲率都表示的是曲線（直線是特殊的曲線）的彎曲程度，因而它們具有同樣的幾何意義.將多邊形的外角換成曲率，求和變成積分，就應該得到∮kds=2π.事實上，上述公式正是微分幾何中的Gauss-Bonnet公式，詳情可參考［2］.即在R2的一條光滑簡單閉曲線上，曲率的曲線積分是2π，因此把多邊形的外角理解為曲線的彎曲程度，可以方便地把初等幾何學與現代微分幾何學聯系起來，當學生以后學習微分幾何學時，可以很直觀地理解曲率與Gauss-Bonnet公式.

在∮kds=2π中，我們要求曲線是光滑的、簡單閉曲線，簡單指的是曲線除了首尾相接以外，再無其它交點，光滑指的是曲線的方程在每一點可導.當然上述公式也推廣到按段光滑的簡單閉曲線，假設曲線由n段按段光滑的曲線Li（i=1，2，...，n）組成，其頂點為A1，...，An，頂點處的外角分別為α1，...，αn，則Gauss-Bonnet公式可表示為∑ni=1∫Likds+∑ni=1αi=2π.特別地，如果曲線的每一段都是直線，即k=0，則上式又回到了多邊形的外角和等于2π這個簡單的公式.

剛才講到的Gauss-Bonnet公式針對的是平面曲線，其實Gauss-Bonnet公式還可以進一步推廣到曲面上的曲線.假設區域D是曲面上按段光滑曲線L1，......，Ln所圍成的區域，為簡單起見，不妨假設D是單連通的，則曲面上的Gauss-Bonnet公式為∫DkdA+∑ni=1∫Likgds+∑ni=1αi=2π，其中k是曲面的Gauss曲率，kg是曲線的測地曲率，D是曲線所圍成的區域.假定n=3，kg=0，即Li都是測地線（可簡單地看成平面上的直線），則∫DkdA+π=∑3i=1（π－αi），右邊是曲面上三角形的內角和.如果曲面就是平面（k=0），則上式就是中學教科書中的結論，即平面上的三角形的內角和等于180°.如果不是平面上的三角形，則其內角和通常不等于180°.當k>0時，內角和大于180°；當k<0時，內角和小于180°.例如，球面上的三角形，其內角和大于180°.而馬鞍面上的三角形，其內角和小于180°.關于球面上的Gauss-Bonnet公式，詳情可參考［3］［4］.

綜上所述，在給中學生講述多邊形的內角和與外角和時，除了按照教科書中的講法來講之外，還可以從曲線彎曲的角度來先講外角和，再根據外角與內角互補的關系，得到多邊形的內角和公式.這樣講有幾個好處.第一個好處是非常直觀.不管是幾邊形，它都是一條線段經過若干次彎曲以后，繞了一圈，重新回到原來的方向所得到的圖形.每一次彎曲對應多邊形的一個外角，而繞一圈意味著多邊形的外角之和為2π，再由外角與內角互補，得到內角和為nπ－2π=（n－2）π.第二個好處是，上述內角和公式與外角和公式不僅適用與凸多邊形，也適用于非凸多邊形.凸多邊形的內角和可通過三角剖分得到，而非凸多邊形的內角和不能通過三角剖分得到，因而上述方法將凸多邊形的內角和公式推廣到了任意多邊形.第三個好處是將外角理解為曲線的彎曲，可以將多邊形外角和公式推廣到按段光滑封閉曲線的Gauss-Bonnet公式，使得學生在學習微分幾何時，可以快速地理解Gauss-Bonnet公式的直觀意義，從而發散學生的思維，供有余力的學生思考.第四個好處是可以讓學生知道，除了歐幾里得幾何以外，還有非歐幾里得幾何.在非歐幾里得幾何中，三角形的外角和與曲面的Gauss曲率相關.

參考文獻

［1］義務教育教科書《數學》八年級下冊［M］. 北京師范大學出版社.

［2］彭家貴，陳卿.微分幾何［M］，高等教育出版社.

［3］陳省身，陳維桓.微分幾何講義（第二版）［M］，北京大學出版社，2001.

［4］S.S.Chern， A simple intrinsic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifolds， Ann. of Math.，45（1944）， 747-752.