導數試題中的易錯易誤點歸類剖析

■貴州省遵義市第四中學 劉德文

長期以來,高中數學中導數板塊的內容都是同學們學習的痛點。雖說運用導數解決問題是一種十分優美的方式,但是不少同學在實際解題過程中會出現因為對導數的工具性認識不足,理解不夠透徹,掉進命題人設置的各種各樣的陷阱里面,進而造成在考試中出現失分的現象。針對上述情況,本文從以下八個容易出現錯誤的題型入手,分析常見錯解情況,再剖析同學們出錯的原因,最后給出正確解答,從而幫助大家一起厘清概念,精準理解,高效解題。

易錯點一、對導數定義理解不清

易錯點二、忽略函數的定義域

錯因分析:求函數的單調遞增區間時,由f′(x)>0解出x,再與定義域求交集才是函數的單調遞增區間;求函數的單調遞減區間時,由f′(x)<0解出x,再與定義域求交集才是函數的單調遞減區間。同學們要牢記函數單調區間的求法,一定要定義域優先。

正解:前面同錯解得-1

易錯點三、誤以為導數不存在,切線就不存在

錯因分析: 錯解1主要是未能厘清導數與切線、切線斜率之間的關系,誤以為導數不存在,切線就不存在;錯解2考生混淆切線斜率為0與斜率不存在。實際上,大家要準確理解斜率不存在,可以理解為該切線為x=x0,結合過原點(0,0),其實切線方程就是x=0。

易錯點四、對曲線切線的定義理解有誤

錯解:由于直線y=4x-4 與曲線C相切,因此除切點P(2,4)外沒有其他的公共點。

錯因分析:對于圓、橢圓等封閉的幾何圖形來說,“切線與曲線有唯一公共點”,就是說直線與這些曲線的交點只有切點,沒有其他點,但對一般曲線來說是不一定成立的,同學們可以畫出三次函數的草圖試一試。

易錯點五、混淆單調區間為D 與在區間D 上單調

易錯點六、誤以為導數為0的點一定取得極值

例6已知函數f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1處取得極值0,則m+n=( )。

A.4 B.11

C.4 或11 D.3或9

錯因分析:若函數在x=x0可導,則f′(x0)=0是函數在x=x0處取得極值的必要條件,而非充要條件。如y=x3在x=0處的導數值為0,但0不是該函數的極值點。因此,需要將求出的m、n的值代入導函數中檢驗。

易錯點七、混淆極值與最值

例7求函數f(x)=x3-2x2+x在[-3,3]上的最值。

錯因分析:函數并不一定在極值點處取最值,最值是針對函數的整個區間而言,是整體性質,而極值是局部性質,是兩個不同的概念。對于閉區間而言,需要將極值與端點處的函數值進行比較,才能得出函數的最值。

易錯點八、對極值理解有偏差

當x∈(0,1)時,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上單調遞減;當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上單調遞增。所以g(x)min=g(1)=e,所以k

綜上所述,k≤e。故選A。