基于“根+空”理念的數學專題復習教學

王偉　欒功

［摘 要］基于“根+空”理念的數學專題復習教學的核心在于“尋根置空”。文章以“一次函數”的專題復習課為例，探討如何尋學生認知的“根”，并通過問題置空留白，讓學生經歷知識體系重構、問題解決的過程，促使學生的數學經驗向數學思維進階，促進學生核心素養的發展。

［關鍵詞］“根+空”理念；專題復習；一次函數

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）17-0009-04

一、問題的提出

專題復習課是日常數學教學中的一種常見課型，數學一線教師在專題復習課中常采用兩種教學模式，一是“講練式”教學，以教師講授知識為主，從知識梳理、重難點講解到典型例題剖析，學生的問題解決水平主要停留在模仿和記憶的層面；二是“互動式”教學，教師設置問題鏈，搭建好“腳手架”，引導學生開展復習，并提煉方法和結論。在這些教學模式下，一旦缺乏教師對問題的分解以及教師不能層層設計遞進問題，學生在獨立解決問題時就會無從入手。這樣的課堂很熱鬧，但學生實際學習效果不佳，學生發現問題、分析問題、解決問題等能力的培養也有所欠缺。

二、基于“根+空”理念的數學專題復習教學模式構建

基于“根+空”理念的專題復習教學的關鍵點在于做好課堂教學的前置研究，尋根抓根，依托“基礎”“概念”“公式”“原理”“思想”等尋找知識的生長點及思維的起點，挖掘問題的本質（根），找到思維的回歸點（根）。尋根主要依托教師對于“四基”的把握和理解。

“根”依據四基可分為知識之根、技能之根、方法之根和經驗之根四種類型。針對相同內容，復習課的“根”和新授課的“根”是有所區別的，復習課的“根”依托于新授課且是在新授課的“根”的基礎上進階。以“一次函數”的專題復習課為例，其知識之根體現于學生已經初步掌握一次函數的圖象與性質、一次函數與方程、不等式的相關知識；技能之根體現于學生可以初步借助一次函數的相關知識解決問題；方法之根體現于學生對數形結合思想、分類討論思想等能夠牢固掌握；經驗之根體現于學生能夠借助函數解析式畫出函數圖象，并借助函數圖象研究函數的相關性質。

“空”指的是置空留白，置空留白的意義在于為學生創設更多的學習機會。基于“根+空”理念的數學專題復習教學可分為四步：創設情境，自主建構；適時小結，生成思維；典例導引，拓展思維；感悟提升，形成素養。在基于“根+空”理念的數學專題復習教學中，教師創設一個開放性問題情境，通過讓學生主動發現和提出問題的方式引導學生進行知識體系的自主建構；適時小結，將專題復習內容進行梳理提煉，幫助學生完善知識體系；通過典型例題引導學生進行辨析及變式，將教學內容問題化，將問題思維化，使學生的思維可視化，讓學生在解決問題的過程中實現對知識的遷移與應用；總結問題解決的策略與方法，深化學生思維，突出問題解決的通性通法，促進學生深度學習，提升學生數學素養。

三、基于“根+空”理念的數學專題復習教學實施

（一）創設情境，自主建構

教師：同學們，我們已經學完了一次函數，請大家觀察一次函數的圖象，并結合函數圖象提出一個數學問題，然后展示問題，由其他同學解答。

學生聽說自己提出問題可以由其他同學解答，紛紛觀察函數圖象，并從不同的角度提出了以下問題。

問題1：這種圖象是什么函數的圖象？

問題2：如何求一次函數[y=kx+b]的解析式？

問題3：一次函數與坐標軸的交點是怎樣的？

問題4：一次函數的圖象的變化趨勢如何？

問題5：觀察一次函數[y=kx+b]的圖象，[y=0]時，[x]的值為多少？

問題6：觀察一次函數[y=kx+b]的圖象，當[y>0]時，[x]的取值范圍是什么？當[y<0]時，[x]的取值范圍是什么？

教師：這些問題是從有關函數的哪些角度提出的？大家還可以從其他角度提出問題嗎？

教師：這些問題分別是從一次函數的定義、一次函數的解析式、一次函數與坐標軸的交點、一次函數的圖象特征（增減性）、一次函數與方程的關系、一次函數與不等式的關系等角度提出的，我們還能從哪些角度提出問題？

學生認為還可以提出以下問題。

問題7：當[kx+b=2]時，求[x]的值。

問題8：當直線[y=kx+b]的圖象向上或向下或向左或向右平移2個單位時，求平移后直線的解析式。

問題9：當直線[y=k1x+b1]與直線[y=k2x+b2]平行或垂直時，它們的系數又有什么關系？

教師：剛才大家從不同的角度提出了很多關于一次函數的問題，請大家針對以上出現的知識點進行分類整理，畫出一次函數的全章知識結構圖，畫完知識結構圖以后，可相互參考完善，最終形成一個較為完整的知識結構圖。

教學設計及實施說明：教師創設一個開放的問題情境，讓學生結合情境提出問題，并且展示自己提出的問題由其他同學解答。在解決問題的過程中，學生對于一次函數的知識進行回憶、重組，先獨立繪制知識結構圖再相互補充，最終形成較為完整的知識結構圖。在學生不斷地從不同的角度提出問題和回答問題的過程中，教師置空留白，而學生在補白的過程中自主完成知識的建構，成為知識建構的主動參與者。這種教學方式，學生十分喜歡，在這樣的教學中，學生參與度很高，更容易內化知識，思維能力得到了有效提升。

（二）適時小結，生成思維

教師適時小結（如圖1），將專題復習內容進行梳理提煉，幫助學生有效構建知識體系。

教學設計及實施說明：教師適時小結，梳理提煉復習內容，使得學生的一次函數的知識結構從內隱化到外顯化，幫助學生形成完整的知識體系，并且進一步內化理解相關知識。

（三）典例導引，拓展思維

［例1］如圖2所示，平面直角坐標系中，直線[y1=kx+b]與[x]軸交于點[A（6，0）]，與[y]軸交于點[B]，與直線[y2=2x]交于點[C（a，4）]。求點[C]的坐標及直線[AB]的表達式。

變式1：點[M（x1，m）]，[N（x2，n）]在[y1=kx+b]圖象上，當[x1<x2]時，比較[m、n]的大小。

變式2：當[y1=y2]時，求[x]的值。

變式3：當[y1<y2]時，求[x]的取值范圍。

變式4：如圖3所示，在[x]軸上有一點[E]，過點[E]作直線[l⊥x]軸，交直線[y=2x]于點[F]，交直線[y=kx+b]于點[G]，若[GF]的長為3，求點[E]的坐標。

變式5：在[y]軸上是否存在一點[H]，使以[O]、[C]、[H]為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出點[H]的坐標；若不存在，請說明理由。

簡析：將點[C]的坐標代入直線[y=2x]的解析式即可得出[a=2]，即得[C]點坐標[（2，4）]，再用待定系數法求出直線[AB]的表達式[y=-x+6]，主要考查代入法求一次函數解析式。已知圖象兩點坐標可求一次函數解析式。

變式1：由于[k=-1]，圖象下降，[y]隨[x]的增大而減小，當[x1<x2]時，[m>n]，考查一次函數圖象的增減性。

變式2：當[y1=y2]時，[x=2]，考查一次函數與方程的關系。

變式3：當[y1<y2]時，[x>2]，考查一次函數與不等式的關系。

變式4：設點[E]的坐標為[（t，0）]，由直線[l⊥x]軸，點[F]、點[G]、點[E]的橫坐標相同，代入直線[AB]的表達式[y=-x+6]和直線[OC]的表達式[y=2x]，寫出點[F（t，2t）]、點[G（t，-t+6）]，由[FG=3]，可得方程[2t-（-t+6）=3]，解得[t=3]或[t=1]，從而求得點[E]的坐標為[（3，0）]或[（1，0）]。借助函數點的坐標表示線段長度，轉化為有關線段的幾何計算，考查應用函數圖象性質解決簡單的幾何圖形問題的能力。

變式5：根據題意，要使以[O]、[C]、[H]為頂點的三角形是等腰三角形，則分[OH=OC]，[CH=OC]，[HO=HC]三種情況，分情況討論，求得點[H]的坐標是

教學設計及實施說明：通過對典型例題的剖析及變式，使例題成為能一題多變的“題根”。教學時，教師可以運用一題多變的方式來培養學生思維的靈活性，并且鼓勵學生從不同的角度去思考問題，避免思維固化，進而培養學生思維的發散性。變式教學的應用，能夠借助題目的變式達到復習鞏固延伸知識點，照顧優等生和后進生的目的，提高學生的課堂參與度。教師可引導學生掌握數學問題中的文字、圖形、符號語言之間的轉化關系，搭建條件和問題求解之間的橋梁，幫助學生掌握解決問題的基本方法和基本思路，拓展學生的認知思維，提高復習課的例題講解和變式延伸的效能。

［例2］請根據學習函數的經驗，對函數[y=x-2]的圖象與性質進行探究。

（1）畫出[y=x-2]的圖象；

（2）結合函數圖象，從形狀、變化范圍、增減性、最值等方面說明該函數的一個性質；

（3）請結合函數圖象提出一個問題。

簡析：

（1）畫出函數圖象，如圖4所示。

（2）函數的性質：函數的最小值為-2；函數圖象是軸對稱圖形，對稱軸是[y]軸；當[x≤0]時，圖象下降，[y]隨[x]的增大而減小，當[x≥0]時，圖象上升，[y]隨[x]的增大而增大。

（3）提出問題

①[（3，5）]是否在函數圖象上？

方法1：將[x=3]代入解析式求解[y]；方法2：在圖象上找到[x=3]的點，觀察點的縱坐標是否為5。

②若[A（a，8）]，[B（10，8）]為該函數圖象上不同的兩點，求[a]的值。

方法：將[y=8]代入解析式求解[x]；方法2：觀察圖象，由于該函數圖象關于[y]軸對稱，因此可由點的對稱性求解。

③在函數[y=x-2]中，自變量[x]的取值范圍是多少？

④[P（x1，y1）]，[Q（x2，y2）]為函數[y=x-2]圖象上的任意兩點，其中[x1<x2]，若對于[x1+x2>m]，都有[y1<y2]，請結合函數圖象，直接寫出[m]的取值范圍。

當[P]、[Q]兩點在[y]軸異側時，∵[y1<y2]，∴點[P]在[y]軸左側，點[Q]在[y]軸右側，且[x1<x2]，

當[P]、[Q]在[y]軸同側時，可得[P]、[Q]都在[y]軸右側，此時[x1+x2>0]，同理可得：[m≥0]，

綜上，[m]的取值范圍是[a≥0]。

教學設計及實施說明：通過借用一次函數的研究思路、內容、方法，思考對新函數的認識，并提出問題；教師留出大片的“空白”，讓學生主動補白，利用自己的知識背景、活動經驗，根據自己的理解，遷移運用知識，提出問題、解決問題；讓學生從做題者轉化為命題者，從被動解決問題到主動提出問題，積累經驗，拓展思維。

（四）感悟提升，形成素養

教師：（1）本節課我們解決了什么問題？具體步驟是什么？（2）本節課我們采用了哪些辦法？（3）本節課的學習為后續學習提供哪些幫助？

教學設計及實施說明：數學專題復習課一般起到承上啟下的作用，也是知識間銜接的有效途徑，數學專題復習課以問題展開，以問題結束，讓學生帶著問題進來，同樣讓學生帶著更高層次的問題離開課堂。教師引導學生對已學知識進行專題復習，可以促使學生重構知識體系，熟練掌握各種解題方法和技巧，提升綜合應用的能力和學科核心素養。

四、數學專題復習教學建議

基于“根+空”理念的專題復習教學的核心是尋根置空，尋根置空是一種教學設計的理念，尋根的關鍵在于教師對課堂教學進行前置研究，尋根抓根?；诮處煂λ幕陌盐?，應從知識、技能、方法、經驗四個方面尋根。復習課的“根”是在教師深度研究學生完成新知學習的基礎上建立的認知結構，置空留白以問題解決為主要形式，通過設計一個或多個符合教學目標與學情的情境（問題或活動），激發學生的學習興趣和探究欲望，增強學生的問題解決意識，通過不斷的留白補白，讓學生在解決問題的過程中熟練地從已有的知識結構中提取有用的知識信息，從而發展邏輯推理能力與分析和解決問題的能力，培養應用意識和創新意識，發展科學素養。

基于“根+空”理念的專題復習教學模式如圖5所示。

基于“根+空”理念的專題復習教學的成功標志是通過問題解決啟發學生思考，使學生能夠將知識結論遷移到不同的問題情境，在變換問題提出的角度和方式時能夠借助經驗解決問題。師生、生生自由對話，在一次次留白和補白中完成教學任務，有更多的學生主動參與課堂，課堂充滿溫度?！白灾餍浴笔呛饬炕凇案?空”理念的專題復習教學取得成功的又一重要標志。

基于“根+空”理念的專題復習教學依托四基從知識、技能、方法、經驗等方面進行尋根抓根，通過設計問題置空留白，從“創設情境，自主建構”“適時小結，生成思維”“典例導引，拓展思維”“感悟提升，形成素養”這四個環節引導學生完成知識網絡的自主重構，讓學生從習題訓練到問題解決，重構知識結構圖?；凇案?空”理念的專題復習教學指向問題解決中的知識遷移與應用，關注學生思維能力的培養和分析問題和解決問題能力的提升，是指向核心素養的一種新型復習教學方式，也是落實立德樹人以及“雙減”政策的有效途徑。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 張東.基于發現和提出問題推進初中數學復習課教學的實踐與思考［J］.數學通報，2019（4）：37-40.